Giải Toán 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông Giải SGK Toán 8 Hình học Tập 2 (trang 84, 85)

Giải bài tập SGK Toán 8 trang 84, 85 giúp các em học sinh lớp 8 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 8: Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông Hình học 8 Chương 3. Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 8 Chương III Hình học 8 tập 2.

Giải bài tập Toán Hình 8 tập 2 Bài 8 Chương III: Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Lý thuyết bài 8: Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Giải bài tập toán 8 trang 84 tập 2
Giải bài tập toán 8 trang 84, 65 tập 2: Luyện tập

Lý thuyết bài 8: Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

1. Định lí 1

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lý thuyết

2. Định lí 2

Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

3. Định lí 3

Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Giải bài tập toán 8 trang 84 tập 2

Bài 46 (trang 84 SGK Toán 8 Tập 2)

Trên hình 50 hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?

Bài 46

Xem gợi ý đáp án

Xét ∆DAC và ∆BAE ta có:

$\widehat A$ chung

$\widehat{D} = \widehat{B} = 900$

$\Rightarrow ∆DAC ∽ ∆BAE$ (g-g)

Xét ∆DFE và ∆BFC có:

$\widehat{D} = \widehat{B} = 900$

$\widehat{DFE} = \widehat{BFC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow ∆DFE ∽ ∆BFC$ (g-g)

Xét ∆DFE và ∆BAE ta có:

$\widehat{D} = \widehat{B} = 900$

$\widehat E$ chung

$\Rightarrow ∆DFE ∽ ∆BAE$ (g-g)

Do đó: $∆DAC ∽ ∆BAE∽ ∆DFE∽ ∆BFC$

Bài 47 (trang 84 SGK Toán 8 Tập 2)

Tam giác ABC có độ dài các cạnh là 3cm, 4cm, 5cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là 54cm². Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Xem gợi ý đáp án

Bài 47

Xét ∆ABC có AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm.

Ta có:

${3^2} + {4^2} = 25 = {5^2} \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A (định lí Pitago đảo)

Nên ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6c{m^2}$

Vì $∆ABC ∽ ∆A'B'C'$ (gt)

$\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = \dfrac{{AC}}{{A'C'}}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} = {\left( {\dfrac{{AB}}{{A'B'}}} \right)^2}$ (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

Do đó: $\dfrac{6}{54} = {\left( {\dfrac{{AB}}{{A'B'}}} \right)^2}$

$\eqalign{ & \Rightarrow {\left( {{{AB} \over {A'B'}}} \right)^2} = {1 \over 9} \cr & \Rightarrow {{AB} \over {A'B'}} = {1 \over 3} \cr & \Rightarrow A'B' = 3AB = 3.3 = 9cm \cr}$

Tức là độ dài mỗi cạnh của tam giác A'B'C' gấp 3 lần độ dài mỗi cạnh của cạnh của tam giác ABC.

Vậy ba cạnh của tam giác A'B'C' là A'B'=9cm, A'C'= 12cm, B'C'=15cm.

Bài 48 (trang 84 SGK Toán 8 Tập 2)

Bóng của cột điện trên mặt đất có độ dài là 4,5m. Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao 2,1m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 0,6m. Tính chiều cao của cột điện.

Xem gợi ý đáp án

Bài 48

Giả sử cột điện là AB có bóng trên mặt đất là AC.

Thanh sắt là A'B' có bóng trên mặt đất là A'C'.

Vì cột điện và thanh sắt đều vuông góc với mặt đất nên hai tam giác ABC và A'B'C' đều là tam giác vuông.

Vì cùng một thời điểm tia sáng tạo với mặt đất một góc bằng nhau nên ta suy ra $\widehat {ACB} = \widehat {A'C'B'}$

$\Rightarrow$ Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' đồng dạng (hai tam giác vuông có hai góc nhọn bằng nhau)

$\Rightarrow \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow AB = \dfrac{AC.A'B'}{A'C'}$

$\Rightarrow AB= \dfrac{4,5.2,1}{0,6}= 15,75\, m$

Vậy cột điện cao 15,75m.

Giải bài tập toán 8 trang 84, 85 tập 2: Luyện tập

Bài 49 (trang 84 SGK Toán 8 Tập 2)

Ở hình 51, tam giác ABC vuông ở A và có đường cao AH.

a) Trong hình vẽ có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau? (Hãy chỉ rõ từng cặp tam giác đồng dạng và viết theo các đỉnh tương ứng).

b) Cho biết AB = 12,45cm, AC = 20,50cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH và CH.

Bài 49

Xem gợi ý đáp án

a) Xét ∆ABC và ∆HBA có:

$\widehat{A} = \widehat{H}={90^o}$

$\widehat{B}$ chung

$\Rightarrow ∆ABC ∽ ∆HBA$ (1) (g-g)

Xét ∆ABC và ∆HAC có:

$\widehat{A} = \widehat{H}={90^o}$

$\widehat{C}$ chung

$\Rightarrow ∆ABC ∽ ∆HAC$ (2) (g-g)

Từ (1) và (2) suy ra $∆HAC ∽ ∆HBA$ (vì cùng đồng dạng với ∆ABC)

b) ∆ABC vuông tại A (giả thiết) nên áp dụng định lí Pitago ta có:

$\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr & \;\;\;\;\;\;\;\;= 12,{45^2} + 20,{50^2} = 575,2525 \cr & \Rightarrow BC = \sqrt {575,2525} \approx 24\,cm \cr}$

∆ABC ∽ ∆HBA (chứng minh trên)

$\Rightarrow \dfrac{AB}{HB} = \dfrac{BC}{BA}$

$\Rightarrow HB = \dfrac{AB^{2}}{BC} ≈ \dfrac{12,45^{2}}{24}≈ 6,5 cm$

$\Rightarrow CH = BC - BH \approx 24 - 6,5 = 17,5 cm.$

Mặt khác: $\dfrac{AC}{AH} = \dfrac{BC}{BA}$ (do ∆ABC ∽ ∆HBA theo câu a)

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} \approx \dfrac{12,45.20,50}{24}$

$\Rightarrow AH \approx 10,6 cm$

Bài 50 (trang 84 SGK Toán 8 Tập 2)

Bóng của một ống khói nhà máy trên mặt đất có độ dài là 36,9m. Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao 2,1m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 1,62m. Tính chiều cao của ống khói (h.52).

Bài 50

Xem gợi ý đáp án

Bài 50

Giả sử thanh sắt là A'B', có bóng là A'C'.

Vì ống khói và thanh sắt đều vuông góc với mặt đất nên hai tam giác ABC và A'B'C' đều là tam giác vuông.

Vì cùng một thời điểm tia sáng chiếu nên ta suy ra $\widehat {ACB} = \widehat {A'C'B'}$

$\Rightarrow$ Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' đồng dạng (hai tam giác vuông có hai góc nhọn bằng nhau)

$\Rightarrow \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow AB= \dfrac{A'B'.AC}{A'C'}$

$\Rightarrow AB= \dfrac{2,1.36,9}{1,62}$

$\Rightarrow AB ≈ 47,8m$

Bài 51 (trang 84 SGK Toán 8 Tập 2)

Chân đường cao AH của tam giác vuông ABC chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài 25cm và 36cm. Tính chu vi và diện tích của tam giác vuông đó (h.53).

Bài 51

Xem gợi ý đáp án

∆AHB ∽ ∆CHA (g.g) vì $\widehat{AHB} = \widehat{AHC}=90^o , \widehat{BAH} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ với $\widehat {HAC}$ )

$\Rightarrow \dfrac{AH}{CH }= \dfrac{BH}{AH}$

$\Rightarrow A{H^2}=CH.BH = 25.36$

$\Rightarrow A{H^2}= 900 \Rightarrow AH = 30cm$

Vậy $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}.AH.BC = \dfrac{1}{2}.30.(25 + 36) = 915 cm2$

Áp dụng Py-ta-go cho 2 tam giác vuông ABH và ACH ta được:

$\begin{array}{l} A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {25^2} + {30^2} = 1525\\ \Rightarrow AB \approx 39,05cm\\ A{C^2} = C{H^2} + A{H^2}\\ \Rightarrow A{C^2} = {36^2} + {30^2} = 2196\\ \Rightarrow AC \approx 46,86cm \end{array}$