Giải Toán 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông Giải SGK Toán 8 Hình học Tập 2 (trang 84, 85)

Xét ∆DAC và ∆BAE ta có:

$\hat{A}$ chung

$\hat{D}=\hat{B}=900$

$\Rightarrow ∆DAC\backsim ∆BAE$ (g-g)

Xét ∆DFE và ∆BFC có:

$\hat{D}=\hat{B}=900$

$\widehat{DFE}=\widehat{BFC}$(đối đỉnh)

$\Rightarrow ∆DFE\backsim ∆BFC$ (g-g)

Xét ∆DFE và ∆BAE ta có:

$\hat{D}=\hat{B}=900$

$\hat{E}$ chung

$\Rightarrow ∆DFE\backsim ∆BAE$ (g-g)

Do đó: $∆DAC\backsim ∆BAE\backsim ∆DFE\backsim ∆BFC$

Xét ∆ABC có AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm.

Ta có:

$3^2+4^2=25=5^2\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại A (định lí Pitago đảo)

Nên $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.AC={\displaystyle \frac{1}{2}}.3.4=6c{m}^2$

Vì $∆ABC\backsim ∆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (gt)

${\displaystyle \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}}={\left({\displaystyle \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}}\right)}^2$ (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

Do đó: ${\displaystyle \frac{6}{54}}={\left({\displaystyle \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}}\right)}^2$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow {\left(\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}\right)}^2=\frac{1}{9}\\ & \Rightarrow \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\\ & \Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }=3AB=3.3=9cm\end{array}$

Tức là độ dài mỗi cạnh của tam giác A'B'C' gấp 3 lần độ dài mỗi cạnh của cạnh của tam giác ABC.

Vậy ba cạnh của tam giác A'B'C' là A'B'=9cm, A'C'= 12cm, B'C'=15cm.

Giả sử cột điện là AB có bóng trên mặt đất là AC.

Thanh sắt là A'B' có bóng trên mặt đất là A'C'.

Vì cột điện và thanh sắt đều vuông góc với mặt đất nên hai tam giác ABC và A'B'C' đều là tam giác vuông.

Vì cùng một thời điểm tia sáng tạo với mặt đất một góc bằng nhau nên ta suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }}$

$\Rightarrow$ Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' đồng dạng (hai tam giác vuông có hai góc nhọn bằng nhau)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow AB={\displaystyle \frac{AC.A^{\prime }{B}^{\prime }}{A^{\prime }{C}^{\prime }}}$

$\Rightarrow AB={\displaystyle \frac{4,5.2,1}{0,6}}=15,75m$

Vậy cột điện cao 15,75m.

$\hat{A}=\hat{H}={90}^o$

$\hat{B}$ chung

$\Rightarrow ∆ABC\backsim ∆HBA$ (1) (g-g)

Xét ∆ABC và ∆HAC có:

$\hat{A}=\hat{H}={90}^o$

$\hat{C}$ chung

$\Rightarrow ∆ABC\backsim ∆HAC$ (2) (g-g)

Từ (1) và (2) suy ra $∆HAC\backsim ∆HBA$ (vì cùng đồng dạng với ∆ABC)

b) ∆ABC vuông tại A (giả thiết) nên áp dụng định lí Pitago ta có:

$\begin{array}{rl}& B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\\ & =12,{45}^2+20,{50}^2=575,2525\\ & \Rightarrow BC=\sqrt{575,2525}\approx 24cm\end{array}$

∆ABC ∽ ∆HBA (chứng minh trên)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{HB}}={\displaystyle \frac{BC}{BA}}$

$\Rightarrow HB={\displaystyle \frac{A{B}^2}{BC}}\approx {\displaystyle \frac{12,{45}^2}{24}}\approx 6,5cm$

$\Rightarrow CH=BC-BH\approx 24-6,5=17,5cm.$

Mặt khác: ${\displaystyle \frac{AC}{AH}}={\displaystyle \frac{BC}{BA}}$ (do ∆ABC ∽ ∆HBA theo câu a)

$\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{AB.AC}{BC}}\approx {\displaystyle \frac{12,45.20,50}{24}}$

$\Rightarrow AH\approx 10,6cm$

Giả sử thanh sắt là A'B', có bóng là A'C'.

Vì ống khói và thanh sắt đều vuông góc với mặt đất nên hai tam giác ABC và A'B'C' đều là tam giác vuông.

Vì cùng một thời điểm tia sáng chiếu nên ta suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }}$

$\Rightarrow$ Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' đồng dạng (hai tam giác vuông có hai góc nhọn bằng nhau)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow AB={\displaystyle \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }.AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}}$

$\Rightarrow AB={\displaystyle \frac{2,1.36,9}{1,62}}$

$\Rightarrow AB\approx 47,8m$

∆AHB ∽ ∆CHA (g.g) vì $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^o,\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$)

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AH}{CH}}={\displaystyle \frac{BH}{AH}}$

$\Rightarrow A{H}^2=CH.BH=25.36$

$\Rightarrow A{H}^2=900\Rightarrow AH=30cm$

Vậy $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}.AH.BC={\displaystyle \frac{1}{2}}.30.(25+36)=915cm2$

Áp dụng Py-ta-go cho 2 tam giác vuông ABH và ACH ta được:

$\begin{array}{l}A{B}^2=B{H}^2+A{H}^2\\ \Rightarrow A{B}^2={25}^2+{30}^2=1525\\ \Rightarrow AB\approx 39,05cm\\ A{C}^2=C{H}^2+A{H}^2\\ \Rightarrow A{C}^2={36}^2+{30}^2=2196\\ \Rightarrow AC\approx 46,86cm\end{array}$

Chu vi tam giác ABC là: P = AB + AC + BC= 39,05 + 46,86 + 61 = 146,91cm

∆ABC vuông tại A có đường cao AH, BC = 20cm, AB = 12cm. Ta tính HC.

Ta có: ∆ABH ∽ ∆CBA vì:

$\hat{B}$ chung

$\hat{H}=\hat{A}={90}^o$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AB}{CB}}={\displaystyle \frac{BH}{BA}}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow A{B}^2=HB.CB$

$\Rightarrow BH={\displaystyle \frac{A{B}^2}{CB}}={\displaystyle \frac{{12}^2}{20}}=7,2(cm)$

$\Rightarrow CH=BC-BH=20-7,2=12,8cm$