Toán 8 Bài 3: Hình thang cân Giải Toán 8 Cánh diều trang 101, 102, 103, 104

Giải Toán 8 Bài 3: Hình thang cân là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 8 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 8 Cánh diều tập 1 trang 101, 102, 103, 104.

Giải bài tập Toán 8 Cánh diều tập 1 trang 101 → 104 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh ôn tập Bài 3 Chương V: Tam giác, tứ giác. Vậy mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn:

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 1 trang 103, 104

Bài 1

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và T là giao điểm của AC và BD (Hình 30).

Chứng minh:

$a)\widehat{TAD}=\widehat{TBC};\widehat{TDA}=\widehat{TCB}$

b) TA = TB, TD = TC.

c) MN là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.

Bài giải:

a. Xét 2 tam giác ADC và BCD có:

• AC = BD ( 2 đường chéo của hình thang cân)
• AD = BC (ABCD là hình thang cân)
• DC chung

=> 2 tam giác ADC và BCD bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.

$=>\widehat{DAC}=\widehat{CBD}$ hay $\widehat{TAD}=\widehat{TBC}.(đpcm)$

Xét 2 tam giác ADB và BCA có:

• AB chung
• AD = BC (ABCD là hình thang cân)
• DB = AC

=> 2 tam giác ADB và BCA bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.

$=>\widehat{BDA}=\widehat{ACB}$ hay $\widehat{TDA}=\widehat{TCB}(đpcm)$

b. Xét 2 tam giác ATD và BTC có:

• $\widehat{TDA}=\widehat{TCB}$
• 2 góc đối $\widehat{ATD}=\widehat{BTC}$

$=>\widehat{TAD}=\widehat{TBC}(1)$

AD= BC

(2 tam giác ADC = BDC theo trường hợp c-c-c)

Kết hợp với (1)

=> 2 tam giác ATD và BTC bằng nhau (g-c-g)

=> TA = TB (đpcm)

Lại có:

AC = BD => AC - AT = BD - BT=> TC = TD (đpcm)

c. M là trung điểm của AB => MA = MB

Xét 2 tam giác AMT và BMT có:

• MA = MB
• MT chung
• AT = BT

=> 2 tam giác AMT và BMT bằng nhau (c-c-c)

$=>\widehat{AMT}=\widehat{BMT}$mà $\widehat{AMT}+\widehat{BMT}={180}^{\circ }$ (2 góc bù nhau)

=> MT là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)

Tương tự với 2 tam giác DTN và CTN (bằng nhau theo trường hợp c-c-c)

=> NT là đường trung trực của đoạn thẳng CD hay MN là đường trung trực của đoạn thẳng CD (3)

Từ (2) và (3) => đpcm

Bài 2

Người ta ghép ba hình tam giác đều có độ dài cạnh là a với vị trí như Hình 31.

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.

c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.

Bài giải:

a. Vì 3 tam giác ABE, BED, BDC là các tam giác đều có cạnh bằng nhau nên:

$\widehat{ABE}=\widehat{DBE}=>AB//ED$

$\widehat{CBD}=\widehat{EBD}=>BC//ED$

Như vậy AB và BC cùng // với ED lại có chung điểm B nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng.(đpcm)

b. Xét tứ giác ACDE có:

AC // DE=> tứ giác ACDE là hình thang

2 cạnh bên AE = CD (đều = a)

=> ACDE là hình thang cân.

c. Diện tích của tứ giác ACDE = Tổng diện tích của 3 tam giác ABE, BED, BDC mà 3 tam giác ABE, BED, BDC đều bằng nhau nên ta chỉ cần tính diện tích của một tam giác BED.

Gọi BM là đường cao của tam giác BED. Khi đó

$BM=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Diện tích tam giác BED là: $\frac{1}{2}.BM.ED=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

=> Diện tích của tứ giác ACDE = $3.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}.3}{4}$

Bài 3

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho $AM=NB<\frac{1}{2}AB$ Chứng minh tứ giác MNCD là hình thang cân.

Bài giải:

Xét 2 tam giác vuông AMD (vuông tại A) và BNC (vuông tại B)

• AD= BC (2 cạnh đối của hình chữ nhật)
• AM = BN (giả thiết)

=> 2 tam giác vuông AMD và BNC bằng nhau => MD = NC

Tứ giác MNCD có:

MN//DC (vì AB//DC)

MD = NC

=> MNCD là hình thang cân

Bài 4

Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BE và CK. Chứng minh tứ giác BKEC là hình thang cân.

Bài 5

Hình 33a là mặt cắt đứng phần chứa nước của một con mương khi đây nước có dạng hình thang cân. Người ta mô tả lại bằng hình học mặt cắt đứng của con mương đó ở Hình 33b với BD // AE (B thuộc AC). H là hình chiếu của D trên đường thẳng AC.

a) Chứng minh các tam giác BCD, BDE, ABE là các tam giác đều.

b) Tính độ dài của DH, AC.

c) Tính diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước.

Bài giải:

a. Theo giả thiết BD // AE nên:

(2 góc đồng vị)

BC//ED nên

2 góc so le trong $\widehat{DBC}=\widehat{BDE}={60}^{\circ }$ (1)

$\widehat{BCD}={60}^{\circ }$ (tính chất 2 góc so le trong)

Xét tam giác BCD có 2 góc $\widehat{BCD}=\widehat{DBC}={60}^{\circ }$ nên góc còn lại $\widehat{BDC}$ cũng bằng ${60}^{\circ }$. Hay tam giác BCD là tam giác đều.

$\widehat{EDB}={180}^{\circ }-{60}^{\circ }-\widehat{DBC}={180}^{\circ }-{60}^{\circ }-{60}^{\circ }={60}^{\circ }$

Xét 2 tam giác BDE và BDC có:

BD chung

$\widehat{EDB}=\widehat{BDC}$

ED = DC (2m)

=> 2 tam giác BDE và BDC bằng nhau mà tam giác BCD là tam giác đều nên tam giác BED cũng là tam giác đều.

Theo giả thiết BD // AE nên:

$\widehat{BED}=\widehat{ABE}$ (2 góc so le trong)

Xét 2 tam giác ABE và DEB có:

$\widehat{BED}=\widehat{ABE}$

EB chung

$\widehat{DBC}=\widehat{BDE}={60}^{\circ }$ (1)

=> 2 tam giác ABE và DEB bằng nhau mà tam giác DEB là tam giác đều => ABE cũng là tam giác đều.

b. Vì tam giác ABE là tam giác đều nên AB = AE = 2m

Vì tam giác BDC là tam giác đều nên BC = CD = 2m.

=> AC = AB+BC = 2+2 = 4m

Vì H là hình chiếu của D trên đường thắng AC nên HB = HC = $\frac{1}{2}$ BC = 1m

Xét tam giác vuông CHD có:

$HD=\sqrt{D{C}^2-H{C}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}(m)$

c. Diện tích tam giác đều DBC = $\frac{1}{2}.BC.HD=\frac{1}{2}.2.\sqrt{3}=\sqrt{3}(m^2)$

=> Diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước là: $3.\sqrt{3}(m^2)$