Toán 8 Bài tập cuối chương VIII Giải Toán 8 Cánh diều tập 2 trang 94, 95, 96

Giải Toán 8 Bài tập cuối chương VIII: Tam giác đồng dạng, hình đồng dạng là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 8 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 8 Cánh diều tập 2 trang 94, 95, 96.

Giải bài tập Toán 8 Cánh diều tập 2 trang 94, 95, 96 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh học tập. Vậy mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn:

Giải Toán 8 Cánh diều Tập 2 trang 94, 95, 96

Bài 1

Cho \(\triangle\)DEG \(\sim\) \(\triangle\)MNP, \(\widehat{E}=60^{\circ}\), \(\widehat{M}=40^{\circ}\).

a) Số đo góc D bằng bao nhiêu độ?

A. \(40^{\circ}\)
B. \(50^{\circ}\)
C. \(60^{\circ}\)
D. \(80^{\circ}\)

b) Số đo góc N bằng bao nhiêu độ?

A. \(40^{\circ}\)
B. \(50^{\circ}\)
C. \(60^{\circ}\)
D. \(80^{\circ}\)

c) Số đo góc P bằng bao nhiêu độ?

A. \(40^{\circ}\)
B. \(50^{\circ}\)
C. \(60^{\circ}\)
D. \(80^{\circ}\)

Lời giải:

a) A

b) C

c) D

Bài 2

Cho \(\triangle\)DEG \(\sim\) \(\triangle\)MNP, DE = 2 cm, DG = 4 cm, MN = 4 cm, NP = 6 cm.

a) Độ dài cạnh EG là:

A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 8 cm

b) Độ dài cạnh MP là:

A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 8 cm

Lời giải:

a) B

b) D

Bài 3

Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BC sao cho tứ giác BMNP là hình bình hành (Hình 102). Chứng minh \(\frac{MN}{BC}+\frac{NP}{AB}=1\).

Lời giải:

Ta có: NP // AB nên \(\frac{NP}{AB}=\frac{CP}{BC}\) (định lí Thalès)

\(\frac{MN}{BC}=\frac{BP}{BC}\) (MN = BP do BMNP là hình bình hành)

Suy ra: \(\frac{MN}{BC}+\frac{NP}{AB}=\frac{BP}{BC}+\frac{CP}{BC}=\frac{BP+CP}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\).

Bài 4

Cho tứ giác ABCD. Tia phân giác của các góc BAD và BCD cắt nhau tại điểm I. Biết I thuộc đoạn thẳng BD (Hình 103). Chứng minh AB . CD = AD . BC.

Lời giải:

Tam giác ABD có AI là đường phân giác của góc BAD

Suy ra: \(\frac{ID}{IB}=\frac{AD}{AB}\) (Tính chất đường phân giác) (1)

Tam giác BCD có CI là đường phân giác của góc BCD

Suy ra: \(\frac{ID}{IB}=\frac{CD}{BC}\) (Tính chất đường phân giác) (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}\) hay AB . CD = AD . BC.

Bài 5

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, AN và Q là giao điểm của AN và DM. Chứng minh:

a) MP // AD, MP = \(\frac{1}{4}\)AD;

b) AQ = \(\frac{2}{5}\)AN;

c) Gọi R là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm M, P, R thẳng hàng và PR = \(\frac{3}{4}\)AD.

Lời giải:

a) Tam giác ABN có: M, P lần lượt là trung điểm của AB, AN

Suy ra: MP là đường trung bình của tam giác ABN

Do đó: MP // BN hay MP // BC (N thuộc BC) mà BC // AD (ABCD là hình bình hành), nên MP // AD

MP = \(\frac{1}{2}\)BN mà BN = \(\frac{1}{2}\)BC (N là trung điểm BC), nên MP = \(\frac{1}{4}\)BC

Mà BC = AD (ABCD là hình bình hành)

Do đó: MP = \(\frac{1}{4}\)AD.

b) Ta có: MP // AD (cmt)

Suy ra: \(\frac{MP}{AD}=\frac{QP}{AQ}\) (định lí Thalès)

Hay: \(\frac{1}{4}=\frac{QP}{AQ}\) nên AQ = 4QP (1)

Ta có: QP = AP - AQ

Mà AP = \(\frac{1}{2}\)AN (P là trung điểm AN)

Do đó: QP = \(\frac{1}{2}\)AN - AQ (2)

Thay (2) vào (1) ta được: AQ = 4(\(\frac{1}{2}\)AN - AQ)

AQ = 2AN - 4AQ

5AQ = 2 AN hay AQ = \(\frac{2}{5}\)AN.

c) Ta có: M, R lần lượt là trung điểm của AB, CD

Suy ra: MR // AD và MR = AD

Mà MP // AD (câu a)

Do đó: M, P, R thẳng hàng.

Ta có: MP = \(\frac{1}{4}\)AD (câu a)

Mà MR = AD

Suy ra: MP = \(\frac{1}{4}\)MR. Do đó: PR = \(\frac{3}{4}\)MR hay PR = \(\frac{3}{4}\)AD.

Bài 6

Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' theo tỉ số đồng dạng k.

a) Cho AM, A'M' lần lượt là các đường trung tuyến của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh \(\triangle\)ABM \(\sim\) \(\triangle\)A'B'M' và \(\frac{AM}{A'M'}=k\).

b) Cho AD, A'D' lần lượt là các đường phân giác của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh \(\triangle\)ABD \(\sim\) \(\triangle\)A'B'D' và \(\frac{AD}{A'D'}=k\).

c) Cho AH, A'H' lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, A'B'C'. Chứng minh \(\triangle\)ABH \(\sim\) \(\triangle\)A'B'H' và \(\frac{AH}{A'H'}=k\).

Lời giải:

a) Ta có: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' theo tỉ số đồng dạng k

Suy ra: \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k\) và \(\widehat{B}=\widehat{B'}\)

Mà BM = \(\frac{1}{2}\)BC; B'M' = \(\frac{1}{2}\)B'C'

Do đó: \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BM}{B'M'}=k\) và \(\widehat{B}=\widehat{B'}\)

Suy ra: \(\triangle\)ABM \(\sim\) \(\triangle\)A'B'M' (c.g.c)

Nên \(\frac{AM}{A'M'}=\frac{BM}{B'M'}=k\).

b) Ta có: \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\) và \(\widehat{B}=\widehat{B'}\)

Suy ra: \(\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'}\)

Do AD là đường phân giác của tam giác ABC nên \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)

Do A'D' là đường phân giác của tam giác A'B'C' nên \(\frac{B'D'}{C'D'}=\frac{A'B'}{A'C'}\)

Suy ra: \(\frac{BD}{CD}=\frac{B'D'}{C'D'}\) hay \(\frac{BD}{B'D'}=\frac{CD}{C'D'}\)

Ta có: \(\frac{BD}{B'D'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{BD+CD}{B'D'+C'D'}=\frac{BC}{B'C'}\)

Mà \(\frac{BC}{B'C'}=k\)

Do đó: \(\frac{BD}{B'D'}=k\) mà \(\frac{AB}{A'B'}=k\)

Nên \(\frac{BD}{B'D'}=\frac{AB}{A'B'}\) và \(\widehat{B}=\widehat{B'}\)

Do đó: \(\triangle\)ABD \(\sim\) \(\triangle\)A'B'D' (c.g.c)

Suy ra: \(\frac{AD}{A'D'}=k\).

c) Ta có: \(\widehat{B}=\widehat{B'}\) và \(\widehat{AHB}=\widehat{A'H'B'}=90^{\circ}\)

Suy ra: \(\triangle\)ABH \(\sim\) \(\triangle\)A'B'H' (g.g)

Nên \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AH}{A'H'}\)

Mà \(\frac{AB}{A'B'}=k\)

Do đó: \(\frac{AH}{A'H'}=k\).

Bài 7

Tính các độ dài x, y, z, t ở các Hình 104a, 104b, 104c.

Lời giải:

a) Ta có: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) và chung góc A

Suy ra: \(\triangle\)AMN \(\sim\) \(\triangle\)ABC

Do đó: \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\) hay \(\frac{x}{x+2}=\frac{6}{6+3}\)

Suy ra: 9x = 6(x + 2)

9x = 6x + 12

3x = 12

x = 4.

Vậy x = 4.

 b) Ta có: GH // EF nên \(\frac{GH}{EF}=\frac{DG}{DF}=\frac{DH}{DE}\)(định lí Thalès) 

Hay \(\frac{z}{7,8}=\frac{y}{9}=\frac{2}{6}\)

Ta có: \(\frac{y}{9}=\frac{2}{6}\). Suy ra: y = 3.

\(\frac{z}{7,8}=\frac{2}{6}\). Suy ra: z = 2,6.

c) Ta có: IK là đường phân giác của tam giác ILJ

Suy ra: \(\frac{JK}{KL}=\frac{IJ}{IL}\) hay \(\frac{t}{3}=\frac{2,4}{3,6}\)

Do đó: t = 2.

Bài 8

Cho Hình 105. Chứng minh:

a) \(\triangle\)HAB \(\sim\) \(\triangle\)HBC;

b) HB = HD = 6 cm.

Lời giải:

a) Ta có: \(\widehat{AHB}=\widehat{ABC}=90^{\circ}\), chung góc A

Suy ra: \(\triangle\)HAB \(\sim\) \(\triangle\)BAC (1)

Ta có: \(\widehat{BHC}=\widehat{ABC}=90^{\circ}\), chung góc C

Suy ra: \(\triangle\)HBC \(\sim\) \(\triangle\)BAC (2)

Từ (1)(2) suy ra: \(\triangle\)HAB \(\sim\) \(\triangle\)HBC.

b) \(\triangle\)HAB \(\sim\) \(\triangle\)HBC (câu a)

Suy ra: \(\frac{HA}{HB}=\frac{HB}{HC}\) hay \(\frac{4}{HB}=\frac{HB}{9}\)

Do đó: \(HB^{2}\) = 36 hay HB = 6 cm (1)

Chứng minh tương tự câu a ta có: \(\triangle\)HAD \(\sim\) \(\triangle\)HDC

Suy ra: \(\frac{HA}{HD}=\frac{HD}{HC}\) hay \(\frac{4}{HD}=\frac{HD}{9}\)

Do đó: \(HD^{2}\) = 36 hay HD = 6 cm (2)

Từ (1)(2) suy ra: HB = HD = 6 cm.

Bài 9

Cho Hình 106. Chứng minh:

a) \(AH^{2}\) = AB . AI = AC . AK;

b) \(\widehat{AIK}=\widehat{ACH}\).

Lời giải:

a) Ta có: \(\widehat{AIH}=\widehat{AHB}=90^{\circ}\), chung góc A

Suy ra: \(\triangle\)AIH \(\sim\) \(\triangle\)AHB (g.g)

Do đó: \(\frac{AI}{AH}=\frac{AH}{AB}\) hay \(AH^{2}\) = AB . AI

Ta có: \(\widehat{AKH}=\widehat{AHC}=90^{\circ}\), chung góc A

Suy ra: \(\triangle\)AKH \(\sim\) \(\triangle\)AHC (g.g)

Do đó: \(\frac{AK}{AH}=\frac{AH}{AC}\) hay \(AH^{2}\) = AC . AK

Vậy \(AH^{2}\) = AB . AI = AC . AK.

b) Ta có: AB . AI = AC . AK (câu a)

Suy ra: \(\frac{AB}{AK}=\frac{AC}{AI}\), chung góc A

Do đó: \(\triangle\)ABC \(\sim\) \(\triangle\)AKI (c.g.c)

Nên \(\widehat{AIK}=\widehat{ACB}\) hay \(\widehat{AIK}=\widehat{ACH}\).

Bài 10

Cho tam giác ABC có M, N là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho MN // BC. Gọi I, P, Q lần lượt là giao điểm của BN và CM, AI và MN, AI và BC. Chứng minh:

a) \(\frac{MP}{BQ}=\frac{PN}{QC}=\frac{AP}{AQ}\);

b) \(\frac{MP}{QC}=\frac{PN}{BQ}=\frac{IP}{IQ}\).

Lời giải:

a) Theo định lí Thalès ta có:

MP // BQ nên \(\frac{MP}{BQ}=\frac{AP}{AQ}\)

PN // QC nên \(\frac{PN}{QC}=\frac{AP}{AQ}\)

Suy ra: \(\frac{MP}{BQ}=\frac{PN}{QC}=\frac{AP}{AQ}\).

b) Theo định lí Thalès ta có:

MP // QC nên \(\frac{MP}{QC}=\frac{IP}{IQ}\)

PN // BQ nên \(\frac{PN}{BQ}=\frac{IP}{IQ}\)

Suy ra: \(\frac{MP}{QC}=\frac{PN}{BQ}=\frac{IP}{IQ}\).

Bài 11

Cho Hình 107. Chứng minh:

a) \(\triangle\)ABN \(\sim\) \(\triangle\)AIP và AI . AN = AP . AB;

b) AI . AN + BI . BM = \(AB^{2}\)

Bài 12

Hình 108 minh họa mặt cắt đứng của tủ sách nghệ thuật ở nhà bác Ngọc. Sau một thời gian sử dụng, tủ sách đó đã có dấu hiệu bị xuống cấp và cần sửa lại. Các tấm ngăn BM, CN, DP bị hỏng và cần thay mới. Em hãy giúp bác Ngọc tính toán chiều dài các tấm ngăn mới lần lượt thay thế cho các tấm ngăn BM, CN, DP đã bị hỏng. Biết chiều dài tấm ngăn EQ bằng 4 m. 

Bài 13

Cho Hình 109. Hình nào đồng dạng phối cảnh với:

a) Tam giác OAB?

b) Tam giác OBC?

c) Tam giác OCD?

d) Tứ giác ABCD?

Bài 14

Hình 110 có ghi thứ tự của 6 lá mầm, trong đó có nhiều cặp lá mầm gợi nên những cặp hình đồng dạng. Hãy viết 6 cặp lá mầm gợi nên những hình đồng dạng.