Toán 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Giải SGK Toán 10 trang 57 - Tập 2 sách Chân trời sáng tạo

Giải Toán lớp 10 trang 57, 58 tập 2 Chân trời sáng tạo giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi bài tập trong SGK bài 2 Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ thuộc chương 9 Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng.

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 57, 58 tập 2 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 10. Giải Toán lớp 10 trang 57 sẽ là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn. Vậy sau đây là trọn bộ bài giải Toán 10 Bài 2: Tọa độ của vectơ mời các bạn cùng theo dõi.

Giải Toán 10 trang 57, 58 Chân trời sáng tạo - Tập 2

Bài 1 trang 57

Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a. d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (2; 1)\)

b. d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (3; -2)\)

c. d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = -2

d. d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Gợi ý đáp án

a. Ta có \(\vec{u} = (2; 1)\) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận \(\vec{n} = (1; -2)\) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận \(\vec{u} = (2; 1)\) là vectơ chỉ phương là:\(\left\{\begin{matrix} x = -1 + 2t\\ y = 5 + t\end{matrix}\right.\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(-1; 5) và nhận \(\vec{n} = (1; -2)\) là vectơ pháp tuyến là:

\(1(x + 1) - 2(y - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 11 = 0\)

b. Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; -2) và nhận \(\vec{n} = (3; -2)\) là vectơ pháp tuyến là:

\(3(x - 4) - 2(y + 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 16 = 0\)

Ta có \(\vec{n} = (3; -2)\) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận \(\vec{u} = (2; 3)\) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; -2) và nhận \(\vec{u} = (2; 3)\) làm vectơ chỉ phương là:

\(\left\{\begin{matrix}x = 4 + 2t\\ y = -2 + 3t\end{matrix}\right.\)

c. Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất \(y = kx + y_{0}\)

Vì hệ số góc k = -2 nên ta có: \(y = -2x + y_{0}\)

Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được:\(1 = -2. 1 + y_{0} \Rightarrow y_{0} = 3\)

\(\Rightarrow\) Phương trình tổng quát của d là: \(y = -2x + 3 \Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\)

Ta có: d nhận \(\vec{n} = (2; 1)\) là vectơ pháp tuyến \(\Rightarrow \vec{u} = (1; -2)\) là vectơ chỉ phương của d.

\(\Rightarrow\)Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận \(\vec{u} = (1; -2)\) làm vectơ chỉ phương là: \(\left\{\begin{matrix}x = 1 + t\\ y = 1 -2t\end{matrix}\right.\)

d. Ta có:\(\vec{QR} = (-3; 2)\) là vectơ chỉ phương của d\(\Rightarrow d\) nhận \(\vec{n} = (2; 3)\) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận \(\vec{QR} = (-3; 2)\) làm vectơ chỉ phương là:

\(\left\{\begin{matrix}x = 3 - 3t\\ y = 2t\end{matrix}\right.\)

Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận \(\vec{n} = (2; 3)\) làm vectơ pháp tuyến là:

\(2(x - 3) + 3(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0\)

Bài 2 trang 57

Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b. Lập phương trình tham số của trung tuyến AM

c. Lập phương trình của đường cao AH.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình

a. Ta có \(2(x - 3) + 3(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0\) nhận \(\vec{n} = (2; -4)\) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(1; 2) và nhận \(\vec{n} = (2; -4)\) làm vectơ pháp tuyến là:

\(2(x - 1) - 4(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y + 6 = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)

b. Ta có M là trung điểm của \(BC \Rightarrow M(\frac{1 + 5}{2}; \frac{2 + 4}{2}) \Rightarrow M(3; 3)\)

Phương trình tham số của trung tuyến AM đi qua A(2; 5) và nhận \(\vec{AM} = (1; -2)\)làm vectơ chỉ phương là:

\(\left\{\begin{matrix}x = 2 + t\\ y = 5 - 2t\end{matrix}\right.\)

c. Phương trình đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận \(\vec{BC} = (4; 2)\) là vectơ pháp tuyến là:

\(4(x - 2) + 2(y - 5) = 0 \Leftrightarrow 4x + 2y - 18 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 9 = 0\)

Bài 3 trang 57

Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta\) trong mỗi trường hợp sau:

a. \(\Delta\) đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0;

b. \(\Delta\) đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x - y - 2 = 0.

Gợi ý đáp án

a. Vì \(\Delta\) song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên \(\Delta\) nhận \(\vec{n} = (3; 1)\) làm vectơ pháp tuyến và \(\vec{u} = (1; -3)\) làm vectơ chỉ phương.

\(\Rightarrow\) Phương trình tổng quát đường thẳng \(\Delta\)đi qua A(2; 1) và nhận \(\vec{n} = (3; 1)\) làm vectơ pháp tuyến là:

\(3(x - 2) + 1(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 7 = 0\)

Phương trình tham số của \(\Delta\) đi qua A(2; 1) và nhận \(\vec{u} = (1; -3)\) làm vectơ chỉ phương là:

\(\left\{\begin{matrix}x = 2 + t\\ y = 1 - 3t\end{matrix}\right.\)

b. Vì \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng 2x - y - 2 = 0 nên \(\Delta\) nhận \(\vec{u} = (2; -1)\) làm vectơ chỉ phương và \(\vec{n} = (1; 2)\) làm vectơ pháp tuyến.

\(\Rightarrow\) Phương trình tổng quát đường thẳng \(\Delta\) đi qua B(-1; 4) và nhận \(\vec{n} = (1; 2)\)làm vectơ pháp tuyến là:

\(1(x + 1) + 2(y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0\)

Phương trình tham số của \(\Delta\) đi qua B(-1; 4) và nhận \(\vec{u} = (2; -1)\) làm vectơ chỉ phương là: \(\left\{\begin{matrix}x = -1 + 2t\\ y = 4 - t\end{matrix}\right.\)

Bài 4 trang 57

Xét vị trí tương đối của các cặp dường thẳng \(d_{1} và d_{2}\)sau đây:

\(a. d_{1}: x - y + 2 = 0 và d_{2}: x + y + 4 = 0\)

\(b. d_{1}: \left\{\begin{matrix}x = 1 + 2t\\ y = 3 + 5t\end{matrix}\right. và d_{2}: 5x - 2y + 9 = 0\)

\(c. d_{1}: \left\{\begin{matrix}x = 2 - t\\ y = 5 + 3t\end{matrix}\right.\) và \(d_{2}: 3x + y - 11 = 0.\)

Gợi ý đáp án

a. Ta có \(d_{1}\) và \(d_{2}\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec{n_{1}} = (1; -1) và \vec{n_{2}} = (1; 1).\)

Ta có: \(\vec{n_{1}}. \vec{n_{2}} = 1. 1 + 1. (-1) = 0 \Rightarrow \vec{n_{1}} \perp\vec{n_{2}}. Do đó, d_{1} \perp d_{2}.\)

Tọa độ M là giao điểm của \(d_{1} và d_{2}\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix}x - y + 2 = 0\\ x + y + 4 = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -3\\ y = -1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(d_{1}\) vuông góc với \(d_{2}\) và cắt nhau tại M(-3; -1).

b. Ta có \(\vec{u_{1}} = (2; 5)\) là vectơ chỉ phương của \(d_{1} \Rightarrow \vec{n_{1}} = (5; -2)\) là vectơ pháp tuyến của \(d_{1}.\)

\(\vec{n_{2}} = (5; -2)\) là vectơ pháp tuyến của \(d_{2}.\)

Ta có: \(\vec{n_{1}} = \vec{n{2}}\) nên \(\vec{n_{1}} và \vec{n_{2}}\) là hai vectơ cùng phương. Do đó, \(d_{1} và d_{2}\) song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M(1; 3) \in d_{1}\), thay tọa độ của M vào phương trình \(d_{2},\) ta được: \(5. 1 - 2. 3 + 9 \neq 0 \Rightarrow M \notin d_{2}.\)

Vậy \(d_{1} // d_{2}.\)

c. \(\vec{u_{1}} = (-1; 3)\) là vectơ chỉ phương của \(d_{1} \Rightarrow\vec{n_{1}} = (3; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \(d_{1}.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình tổng quát của d đi qua điểm A(2; 5) và nhận \(\vec{n_{1}} = (3; 1)\) là vectơ pháp tuyến là:

\(3(x - 2) + 1(y - 5) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 11 = 0\)

Ta có: \(\vec{n_{2}} = (3; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \(d_{2}.\)

Ta có: \(\vec{n_{1}} = \vec{n_{2}}\) nên \(\vec{n_{1}} và \vec{n_{2}}\) là hai vectơ cùng phương. Do đó, \(d_{1}\) và \(d_{2}\) song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(N(2; 5) \in d_{1},\) thay tọa độ của N vào phương trình \(d_{2}\), ta được: 3. 2 + 5 - 11 = 0

\(\Rightarrow N \in d_{2}.\)

Vậy \(d_{1} \equiv d_{2}\)

Bài 5 trang 58

Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{\begin{matrix}x = 2 - t\\ y = 5 + 3t\end{matrix}\right.\)

Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ

Gợi ý đáp án

Giao điểm A của d và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{\begin{matrix}x = 2 - t\\ 0 = 5 + 3t\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} t = -\frac{5}{3}\\ x = \frac{11}{3} \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A = (\frac{11}{3}; 0)\)

Giao điểm B của d và trục Oy là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} 0 = 2 - t\\ y = 5 + 3t\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} t = 2\\ y = 11 \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B = (0; 11)\)

Vậy d cắt hai trục tọa độ tại các điểm \(A(\frac{11}{3}; 0)\) và B(0; 11).

Bài 6 trang 58

Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng \(d_{1}\) và \(d_{2}\) trong các trường hợp sau:

\(a. d_{1}: x - 2y + 3 = 0 và d_{2}: 3x - y - 11 = 0\)

\(b. d_{1}: \left\{\begin{matrix}x = t\\ y = 3 + 5t\end{matrix}\right. và d_{2}: x + 5y - 5 = 0\)

c. \(d_{1}: \left\{\begin{matrix}x = 3 + 2t\\ y = 7 + 4t\end{matrix}\right. và d_{2}: \left\{\begin{matrix}x = t'\\ y = -9 + 2t'\end{matrix}\right.\)

Gợi ý đáp án

a. Ta có: \(cos(d_{1}, d_{2}) = \frac{|1.3 + (-2).(-1)}{\sqrt{1^{2} + (-2)^{2}}. \sqrt{3^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = 45^{\circ}\)

b. Ta có\(\vec{n_{1}} = (5; -1) và \vec{n_{2}} = (1; 5)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \(d_{1} và d_{2}\)

Ta có: \(\vec{n_{1}}. \vec{n_{2}} = 5. 1 + (-1). 5 \Rightarrow \vec{n_{1}} \perp \vec{n_{2}} \Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = 90^{\circ}.\)

c. Hai đường thẳng \(d_{1}\) và \(d_{2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec{u_{1}} = (2; 4) và \vec{u_{2}} = (1; 2).\)

Ta có: \(\vec{u_{1}} = 2\vec{u_{2}} \Rightarrow \vec{u_{1}} // \vec{u_{2}} \Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = 0^{\circ}.\)

Bài 7 trang 58

Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\) trong các trường hợp sau:

a. M(1; 2) và \(\Delta: 3x - 4y + 12 = 0;\)

b. M(4; 4) và \(\Delta: \left\{\begin{matrix}x = t\\ y = -t\end{matrix}\right.;\)

c. M(0; 5) và \(\Delta: \left\{\begin{matrix}x = t\\ y = \frac{-19}{4}\end{matrix}\right.;\)

d. M(0; 0) và \(\Delta: 3x + 4y - 25 = 0\)

Gợi ý đáp án

\(a. d(M; \Delta) = \frac{|3. 1 - 4. 2 + 12}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{7}{5}\)

b. Phương trình tổng quát của \Delta đi qua điểm O(0; 0) và nhận \(\vec{n} = (1; 1)\) làm vectơ pháp tuyến là:

x + y = 0

\(d(M; \Delta) = \frac{|4 + 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{8\sqrt{2}}{2}\)

c. Phương trình tổng quát của \(\Delta\) đi qua điểm \(A(0; \frac{-19}{4})\) và nhận \(\vec{n} = (0; 1)\) làm vectơ pháp tuyến là:

\(0(x - 0) + (y - \frac{-19}{4}) = 0 \Leftrightarrow y + \frac{19}{4} = 0\)

\(d(M; \Delta) = \frac{|5 + \frac{19}{4}|}{1} = \frac{39}{4}\)

\(d. d(M; \Delta) = \frac{|3. 0 + 4. 0 - 25|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 5\)

Bài 8 trang 58

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

\(\Delta: 3x + 4y - 10 = 0\)

\(\Delta': 6x + 8y - 1 = 0.\)

Gợi ý đáp án

Ta có: \(\frac{3}{6} = \frac{4}{8} \neq \frac{-10}{-1} \Rightarrow \Delta // \Delta'\)

Lấy điểm \(M(2; 1) \in \Delta\)

\(\Rightarrow d(\Delta; \Delta') = d(M; \Delta') = \frac{|6. 2 + 8. 1-1|}{\sqrt{6^{2} + 8^{2}}} = \frac{19}{10}\)

Bài 9 trang 58

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động trên đường thẳng d:

12x - 5y + 16 = 0

Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5; 10) đến điểm S.

Gợi ý đáp án

Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến điểm S chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.

Ta có: \(d(M; d) = \frac{|12. 5 - 5. 10 + 1|}{\sqrt{12^{2} + (-5)^{2}}} = 2\)

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ M đến S là 2.

Bài 10 trang 58

Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá rô bốt. Gọi A(-1; 1), B(9; 6), C(5; -3) là ba vị trí trên màn hình.

a. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC.

b. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC.

c. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Gợi ý đáp án

a. Ta có: \(\vec{AB} = (10; 5), \vec{AC} = (6; -4), \vec{BC} = (-4; -9)\)

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(-1; 1) và nhận \(\vec{n_{1}} = (5; -10)\) là vectơ pháp tuyến là:

\(5(x + 1) - 10(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - 10y + 15 = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(-1; 1) và nhận \(\vec{n_{2}} = (4; 6)\) là vectơ pháp tuyến là:

\(4(x + 1) + 6(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 4x + 6y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 1 = 0\)

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(9; 6) và nhận \(\vec{n_{3}} = (9; -4)\) là vectơ pháp tuyến là:

\(9(x - 9) - 4(y - 6) = 0 \Leftrightarrow 9x - 4y - 57 = 0\)

\(b. cos(AB, AC) = \frac{|1. 2 + (-2).3|}{\sqrt{1^{2} + (-2)^{2}}. \sqrt{2^{2} + 3^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{65}} \Rightarrow (AB, AC) \approx 60^{\circ}15'.\)

\(c. d(A; BC) = \frac{|9. (-1) - 4. 1 - 57|}{\sqrt{9^{2} + (-4)^{2}}} = \frac{70}{\sqrt{97}}\)

Lý thuyết Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

*Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right)\). Khi đó điểm M(x: y) thuộc đường thẳng \(\Delta\) khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho \(\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow u\), hay

\(\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + at\\ y = {y_0} + bt \end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\)(2)

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) (t là tham số).

Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {4; - 1} \right)\).

Giải

Phương trinh tham số của đường thẳng \(\Delta\) là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t\\ y = - 3 - t \end{array} \right.\)

*Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

* Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

+ Nếu a=0 và \(b \ne 0\) thì phương trình tổng quát ax + by + c =0 trở thành y

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm \(y = - \frac{c}{b}\) 

+ Nếu b =0 và \(a \ne 0\) thì phương trình tổng quát ax + by + c =0 trở thành \(x = - \frac{c}{a}\)

Khí đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm \(\left( { - \frac{c}{a};0} \right)\) 

Trong cả hai trường hợp này, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.