Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ Giải SGK Toán 10 trang 97 - Tập 1 sách Chân trời sáng tạo

Toán 10 bài 3 Chân trời sáng tạo trang 97 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần thực hành và 7 bài tập trong SGK bài Tích của một số với một vectơ .

Giải Toán 10 Chân trời sáng tạo bài 3 trang 97 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 bài 3 Chân trời sáng tạo là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 10 bài 3 Tích của một số với một vectơ mời các bạn cùng theo dõi.

Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Trả lời câu hỏi Thực hành Toán 10 Bài 3

Thực hành 1

Cho hai vecto \overrightarrow a ;\overrightarrow ba;b và một điểm M như Hình 3.

a) Hãy vẽ các vecto \overrightarrow {MN}  = 3\overrightarrow a ;\overrightarrow {MP}  =  - 3\overrightarrow bMN=3a;MP=3b

b) Cho biết mỗi ô vương có cạnh bằng 1. Tính \left| {3\overrightarrow b } \right|;\left| { - 3\overrightarrow b } \right|;\left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right||3b|;|3b|;|2a+2b|

Gợi ý đáp án

a) Ta có: \overrightarrow {MN}  = 3\overrightarrow a  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\overrightarrow {MN}  \nearrow  \nearrow \overrightarrow a } \\ 
  {\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 3\left| {\overrightarrow a } \right|} 
\end{array}} \right.MN=3a{MN↗↗a|MN|=3|a|

Từ M vẽ đường thẳng song song với giá của \overrightarrow aa, lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vecto \overrightarrow aa thỏa mãn \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 3\left| {\overrightarrow a } \right||MN|=3|a|

Ta lại có: \overrightarrow {MP}  =  - 3\overrightarrow b  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\overrightarrow {MP}  \nearrow  \swarrow \overrightarrow b } \\ 
  {\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right|} 
\end{array}} \right.MP=3b{MP↗↙b|MP|=3|b|

Từ M vẽ đường thẳng song song với giá của \overrightarrow bb, lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vecto \overrightarrow bb thỏa mãn \left| {\overrightarrow {MP} } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right||MP|=3|b|

b) Đường chéo mỗi ô vuông có độ dài là \sqrt 22

Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\left| {\overrightarrow a } \right| = 2} \\ 
  {\left| {\overrightarrow b } \right| = 2} 
\end{array}} \right.{|a|=2|b|=2

Khi đó: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\left| {3\overrightarrow b } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\sqrt 2 } \\ 
  {\left| { - 3\overrightarrow b } \right| = \left| { - 3} \right|\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\sqrt 2 } 
\end{array}} \right.{|3b|=3|b|=32|3b|=|3||b|=32

Ta có: 2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  = 2\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)2a+2b=2(a+b) (*)

Đặt \overrightarrow a  = \overrightarrow {AC} ;\overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}a=AC;b=AB kí hiệu như hình vẽ:

Ta có: \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BC} \left( {**} \right)a+b=AC+AB=BA+AC=BC()

Từ (*) và (**)

=> \left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| = \left| {2\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)} \right| = \left| {2\overrightarrow {BC} } \right| = 2BC|2a+2b|=|2(a+b)|=|2BC|=2BC

Xét tam giác ABC ta có:

\widehat {BAC} = {45^0} + {90^0} = {135^0}BAC^=450+900=1350

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

\begin{matrix}
  B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC\cos A \hfill \\
   \Rightarrow B{C^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {2^2} - 2\left( {\sqrt 2 } \right).2.\cos {135^0} = 10 \hfill \\
   \Rightarrow BC = \sqrt {10}  \hfill \\
   \Rightarrow \left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| = 2BC = 2\sqrt {10}  \hfill \\ 
\end{matrix}BC2=AB2+AC22AB.ACcosABC2=(2)2+222(2).2.cos1350=10BC=10|2a+2b|=2BC=210

Thực hành 2

Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}MA+MB+MC=3MG

Gợi ý đáp án

Hình vẽ minh họa:

Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC

=> \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0GA+GB+GC=0

Khi đó:

\begin{matrix}
  \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  \hfill \\
   = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right) \hfill \\
   = 3\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) \hfill \\
   = 3\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow 0  = 3\overrightarrow {MG}  \hfill \\ 
\end{matrix}MA+MB+MC=(MG+GA)+(MG+GB)+(MG+GC)=3MG+(GA+GB+GC)=3MG+0=3MG

Chứng minh chiều ngược lại

Giả sử tam giác ABC có hai điểm M và G bất kì thỏa mãn \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}MA+MB+MC=3MG

Khi đó:

\begin{matrix}
  \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  - 3\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow 0  \hfill \\
   \Rightarrow \left( {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MG} } \right) = \overrightarrow 0  \hfill \\
   \Rightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0  \hfill \\ 
\end{matrix}MA+MB+MC3MG=0(MAMG)+(MBMG)+(MCMG)=0GA+GB+GC=0

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

Giải Toán 10 trang 97 Chân trời sáng tạo - Tập 1

Bài 1 trang 97

Cho hình bình hành ABCD D có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO}a)MA+MB+MC+MD=4MO

b) \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC}b)AB+AC+AD=2AC

Gợi ý đáp án

\Leftrightarrow \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {MO}MO+OA+MO+OB+MO+OC+MO+OD=4MO

a)\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO}MA+MB+MC+MD=4MO

\Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {MO}4MO+(OA+OB)+(OC+OD)=4MO

\Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MO} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} = 4\overrightarrow {MO}4MO+0+0=4MO4MO=4MO (luôn đúng)

(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)

b) ABCD là hình bình hành nên ta có \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}AB+AD=AC

Suy ra \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC}AB+AC+AD=(AB+AD)+AC=AC+AC=2AC(đpcm)

Bài 2 trang 97

Cho tứ giác ABCD gọi MN lần lượt là trung điểm của các cạnh ABCD . Chứng minh rằng

a) \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN}a)AC+BD=2MN

b) \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD}b)AC+BD=BC+AD

Gợi ý đáp án

a) \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \\= \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right)a)AC+BD=AM+MN+NC+BM+MN+ND=(AM+BM)+(MN+MN)+(NC+ND)

= \overrightarrow 0 + 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN}=0+2MN+0=2MN(đpcm)

b) \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD}AC+BD=BC+AD

\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND}BC+AD=BM+MN+NC+AM+MN+ND

\left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN}(BM+AM)+(MN+MN)+(NC+ND)=2MN

Mặt khác ta có: \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN}AC+BD=2MN

Suy ra \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD}AC+BD=BC+AD

Bài 3 trang 97

Cho hai điểm phân biệt A B. Xác định điểm M sao cho \overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0MA+4MB=0

Gợi ý đáp án

\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - 4\overrightarrow {MB} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}}MA+4MB=0MA=4MBMAMB

= \frac{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} = \frac{{\left| { - 4\overrightarrow {MB} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} = 4 và hai vectơ \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}=|MA||MB|=|4MB||MB|=4vàhaivectơMA,MB ngược hướng

Suy ra M nằm giữa AB sao cho \frac{{MA}}{{MB}} = 4MAMB=4

Bài 4 trang 97

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG}MA+MB+MC+MD=4MG

Gợi ý đáp án

\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FC} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FD} } \right)\end{array}MA+MB+MC+MD=(MG+GE+EA)+(MG+GE+EB)+(MG+GF+FC)+(MG+GF+FD)

= \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} \overrightarrow { + MG} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} } \right) + \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + \left( {\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} } \right)=(MG+MG+MG+MG)+2(GE+GF)+(EA+EB)+(FC+FD)

= 4\overrightarrow {MG} + 2.\overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MG}=4MG+2.0+0+0=4MG(đpcm)

Bài 5 trang 97

Máy bay A đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc \overrightarrow b của máy bay B theo vectơ vận tốc \overrightarrow aa của máy bay A

Gợi ý đáp án

vectơ \overrightarrow a ,\;\overrightarrow ba,b là vectơ vận tốc của máy bay A và máy bay b.

Do đó \left| {\overrightarrow a } \right|,\;\left| {\overrightarrow b } \right||a|,|b| lần lượt là độ lớn của vectơ vận tốc tương ứng.

Ta có:\left| {\overrightarrow a } \right| = 600,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 800|a|=600,|b|=800

\Rightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{800}}{{600}} = \frac{4}{3}|b||a|=800600=43

Hai hướng Đông Bắc và Tây Nam là ngược nhau, do đó \overrightarrow b = - \frac{4}{3}\overrightarrow ab=43a

Bài 6 trang 97

Cho 2 điểm phân biệt AB

a) Xác định điểm O sao cho \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0OA+3OB=0

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có \overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = 4\overrightarrow {MO}MA+3MB=4MO

Gợi ý đáp án

a) \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0a)OA+3OB=0

\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {OB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {BA} \\
\Leftrightarrow 4\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}
\end{array}OA+3OB=0OB+BA+3OB=0OB+3OB=BA4OB=ABOB=14AB

Vậy O thuộc đoạn AB sao cho OB = \frac{1}{4}ABOB=14AB

b) Ta có:

\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\\
= \left( {\overrightarrow {MO} + 3\overrightarrow {MO} } \right) + \left( {\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} } \right)\\
= 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MO} . (đpcm)
\end{array}MA+3MB=(MO+OA)+3(MO+OB)=(MO+3MO)+(OA+3OB)=4MO+0=4MO.(đpcm)

Bài 7 trang 97

Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: \overrightarrow {MB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN} = 3\overrightarrow {NB} ,\overrightarrow {CP} = \overrightarrow {PA}MB=12BC,AN=3NB,CP=PA

b) Biểu thị mỗi vectơ \overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP}MN,MP theo hai vectơ \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA}BC,BA

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

+) \overrightarrow {MB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {MB}MB=12BCMB\overrightarrow {BC}BC cùng hướng; tỉ số độ dài \frac{{BC}}{{MB}} = 2BCMB=2

\Rightarrow MM nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho MB = \frac{1}{2}BCMB=12BC

+) {\overrightarrow {AN} = 3\overrightarrow {NB} \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = 3\overrightarrow {NB} \Rightarrow 4\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {NB} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} }+)AN=3NBAB+BN=3NB4NB=ABNB=14AB

\Rightarrow NN thuộc đoạn thẳng AB NB=\frac{{1}}{{4}} ABNB=14AB

+) \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {PA} \Leftrightarrow \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PA} = \overrightarrow 0+)CP=PAPC+PA=0

\Rightarrow PP là trung điểm của CA

b) \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA}b)MN=MB+BN=12BC+14BA

\begin{array}{l}\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {MC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \\= \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \end{array}MP=MC+CP=MC+12CA=32BC+12(BABC)=BC+12BA

c) Ta có:

\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} ; \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}MN=12BC+14BA;MP=BC+12BA

\Rightarrow \overrightarrow {MP} = 2\overrightarrow {MN}MP=2MN

Vậy M,N,P thẳng hàng

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ

+) Tích của một vectơ \overrightarrow a \ne \overrightarrow 0a0với một số thực k là một vectơ, kí kiệu là k\overrightarrow aka.

+) vectơ k\overrightarrow akacó độ dài bằng \left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right||k||a|

Cùng hướng với vectơ \overrightarrow aanếu k > 0

Ngược hướng với vectơ \overrightarrow aanếu k < 0

+) Quy ước: k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \\k = 0\end{array} \right.ka=0[a=0k=0

Nhận xét: Hai vectơ \overrightarrow aa\overrightarrow bbcùng phương khi và chỉ khi tồn tại k để \overrightarrow a = k\overrightarrow b .a=kb.

Chia sẻ bởi: 👨 Trịnh Thị Thanh
Liên kết tải về
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
👨
    Đóng
    Chỉ thành viên Download Pro tải được nội dung này! Download Pro - Tải nhanh, website không quảng cáo! Tìm hiểu thêm
    Chia sẻ
    Chia sẻ FacebookChia sẻ Twitter
    Đóng