Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ Giải SGK Toán 10 trang 93 - Tập 1 sách Chân trời sáng tạo

Toán 10 Bài 2 Chân trời sáng tạo trang 93 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần Vận dụng và 8 bài tập trong SGK bài Tổng và hiệu của hai vectơ.

Giải Toán 10 Chân trời sáng tạo bài 2 trang 93 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 bài 2 Chân trời sáng tạo là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 10 Bài 2 Tổng và hiệu của hai vectơ mời các bạn cùng theo dõi.

Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Vận dụng Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 20
Giải Toán 10 trang 93 Chân trời sáng tạo - Tập 1
Lý thuyết Tổng và hiệu hai vectơ

Vận dụng Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 20

Vận dụng 1

Một máy bay có vectơ vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như Hình 7. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Gợi ý đáp án

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Đặt vecto vận tốc của máy bay là $\overrightarrow {EF}$ , vận tốc gió là $\overrightarrow {FG}$

Ta có:

$EF = \left| {\overrightarrow {EF} } \right| = 150;FG = \left| {\overrightarrow {FG} } \right| = 30$

Theo quy tắc ba điểm ta có

$\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FG} = \overrightarrow {EG}$

=> $\left| {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FG} } \right| = \left| {\overrightarrow {EG} } \right| = EG$

Xét tam giác EFG vuông tại F ta có:

$E{G^2} = E{F^2} + F{G^2} = {150^2} + {30^2} = 23400$

=> $EG = 30\sqrt {26}$

=> $\left| {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FG} } \right| = \left| {\overrightarrow {EG} } \right| = EG = 30\sqrt {26}$

Vận dụng 2

Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực $\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB}$ có độ lớn lần lượt là 400 N, 600 N (Hình 8). Cho biết góc giữa hai vectơ là 60°. Tìm độ lớn của vectơ hợp lực $\overrightarrow F$ là tổng của hai lực $\overrightarrow {{F_1}}$ và $\overrightarrow {{F_2}}$

Gợi ý đáp án

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC}$

=> $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow F$

=> $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC$

Ta có:

$\begin{matrix} \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = 400N \hfill \\ \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = OB = 600N \hfill \\ \widehat {AOB} = {60^0} \hfill \\ \end{matrix}$

Vì OACB là hình bình hành => OB // AC

=> $\widehat {AOB} + \widehat {OAC} = {180^0}$

=> $\widehat {OAC} = {180^0} - \widehat {AOB} = {180^0} - {60^0} = {120^0}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAC ta có:

$O{C^2} = O{A^2} + A{C^2} - 2.OA.AC.\cos \widehat {OAC}$

=> $O{C^2} = {400^2} + {600^2} - 2.400.600.\cos {120^0} = 760000$

=> $OC = \sqrt {760000} = 200\sqrt {19}$

Giải Toán 10 trang 93 Chân trời sáng tạo - Tập 1

Bài 1 trang 93

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$a) \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {0;}$

$b) \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD}$

Gợi ý đáp án

a) ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0$

$b) \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} } \right)$

$= \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} (Vì \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {0} )$

Bài 2 trang 93

Cho tứ giác ABCD, thực hiện cả phép cộng và trừ vectơ sau:

$a) \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA};$

$b) \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD}$

$c) \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD}$ .

Gợi ý đáp án

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right)$

$= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0$

$b) \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DB}$

$c) \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DB}$

Bài 3 trang 93

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài các vectơ:

$a) \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} ;$

$b) \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ;$

$c) \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} .$

Gợi ý đáp án

$a) \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = a$

b) Dựng hình bình hành ABDC, giao điểm của hai đường chéo là O ta có:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}$

$AD = 2AO = 2\sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = 2\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 3$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = a\sqrt 3$

$c) \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a$

Bài 4 trang 93

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:

$a) \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC;}$

$b) \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0$

Gợi ý đáp án

$a) \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA}$

$\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CD}$

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$

Suy ra, $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC}$

$b) \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {DC} = (\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC}) + \overrightarrow {DC} \\= \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CC} = \overrightarrow 0$

Bài 5 trang 93

Cho ba lực $\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} và \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$ đều là 10 N và $\widehat {AMB} = 90^\circ$ Tìm độ lớn của lực $\overrightarrow {{F_3}} .$

Gợi ý đáp án

Ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ cùng tác dụng vào M và vật đứng yên nên hợp lực của chúng có giá trị bằng không, hay: $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$

Dựng hình bình hành MADB, khi đó: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB}= \overrightarrow {MD}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {0}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MD}, \overrightarrow {MC}$ là hai vecto đối nhau

$\Rightarrow MD =MC$

Xét hình bình hành MADB, ta có:

AM=AB và $\widehat {AMB} = 90^\circ$

$\Rightarrow$ MADB là hình vuông, cạnh AB=10

$\Rightarrow MC = MD = AB. \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow {{F_3}}$ là $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = MC = 10\sqrt 2 (N)$

Bài 6 trang 93

Khi máy bay nghiêng cánh một góc $\alpha ,$ lực $\overrightarrow F$ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng $\overrightarrow {{F_1}}$ và lực cản $\overrightarrow {{F_2}}$ (Hình 16). Cho biết $\alpha = 30^\circ$ và $\left| {\overrightarrow F } \right| = a.$ Tính $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|$ và $\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|$ theo a.

Gợi ý đáp án

Kí hiệu các điểm như hình dưới.

Khi đó các lực $\overrightarrow F ,\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} lần lượt là \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB}$

$\alpha = \widehat {{\rm{BAx}}} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {CAB} = 60^\circ$

$AB = AC.c{\rm{os}}\widehat {CAB} = a.c{\rm{os60}}^\circ {\rm{ = }}\frac{a}{2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \frac{a}{2}$

$AD = BC = AC.\sin \widehat {CAB} = a.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vậy $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{a}{2}$

Bài 7 trang 93

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn $\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0$ . Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow {KA} ,\overrightarrow {GH} ,\overrightarrow {AG} .$

Gợi ý đáp án

Ta có $AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2$

$+) \overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 ,$

Suy ra K là trung điểm $AC \Rightarrow AK = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$+) \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0$ , suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC

$\Rightarrow DH = \frac{2}{3}DK = \frac{1}{3}DB (1)$

$+) \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$ , suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow BG = \frac{2}{3}BK = \frac{1}{3}BD (2)$

$(1,2) \Rightarrow HG = \frac{1}{3}BD=\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$

Mà $KG = KH = \frac{1}{2}HG= \frac{{a\sqrt 2 }}{6} (2)$

$\Rightarrow AG = \sqrt {A{K^2} + G{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}$

Vậy $\left|\overrightarrow {KA}\right| =\frac{{a\sqrt 2 }}{2} ,\left|\overrightarrow {GH}\right|=\frac{{a\sqrt 2 }}{3} ,\left|\overrightarrow {AG}\right|=\frac{{a\sqrt 5 }}{3} .$

Bài 8 trang 93

Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Gợi ý đáp án

Gọi vecto vận tốc của tàu là $\overrightarrow {AB}$ , vecto vận tốc của dòng nước là vecto $\overrightarrow {BC}$

Ta có vectơ tổng là $\overrightarrow F = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Độ dài vectơ tổng là $\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{30}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt {10} (km/h)$

Vậy độ dài vecto tổng là $10\sqrt {10}$ (km/h).

Lý thuyết Tổng và hiệu hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}$ . Vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}.$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.$

Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.$

Tính chất của tổng các vectơ

- Tính chất giao hoán

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

- Tính chất kết hợp

$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c})$

- Tính chất của $\overrightarrow{0}$ :

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{a} =\overrightarrow{a}$

II. Hiệu của hai vectơ

a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ $\overrightarrow{a}$ được gọi là vec tơ đối của vec tơ $\overrightarrow{a}$ , kí hiệu $-\overrightarrow{a}.$

Vec tơ đối của $\overrightarrow{0}$ là vectơ $\overrightarrow{0}.$

b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ . Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu $\overrightarrow{a}- \overrightarrow{b}$ là vectơ $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})$