Toán 10 Bài tập cuối chương V - Chân trời sáng tạo Giải SGK Toán 10 trang 102 - Tập 1

Bài tập cuối chương 5 Toán 10 Chân trời sáng tạo giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các bài tập tự luận từ câu 1 đến câu 10 trong SGK chương Vectơ.

Giải Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 102, 103 Tập 1 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa. Giải Bài tập cuối chương V Toán 10 Chân trời sáng tạo là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 10 trang 102, 103 Chân trời sáng tạo - Tập 1

Bài 1 trang 102

Cho 3 vectơ \overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow ca,b,cđều khác vectơ \overrightarrow 00 . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ \overrightarrow a ,\overrightarrow ba,bcùng phương với \overrightarrow c thì \overrightarrow acthìa và \overrightarrow bbcùng phương

b) Nếu hai vectơ \overrightarrow a ,\overrightarrow ba,bcùng ngược hướng với \overrightarrow ccthì \overrightarrow aa\overrightarrow bbcùng hướng

Gợi ý đáp án

a)

+) Vectơ\overrightarrow aa cùng phương với vectơ \overrightarrow ccnên giá của vectơ \overrightarrow aasong song với giá của vectơ \overrightarrow{c}c

+) Vectơ \overrightarrow bbcùng phương với vectơ \overrightarrow cc nên giá của vectơ \overrightarrow bbsong song với giá của vectơ \overrightarrow cc

Suy ra giá của vectơ \overrightarrow aavà vectơ \overrightarrow bbsong song với nhau nên \overrightarrow aa\overrightarrow bbcùng phương

Vậy khẳng định trên đúng

b) Giả sử vectơ \overrightarrow cccó hướng từ A sang B

+) Vectơ \overrightarrow aangược hướng với vectơ \overrightarrow ccnên giá của vectơ \overrightarrow aasong song với giá của vectơ \overrightarrow ccvà có hướng từ B sang A

+) Vectơ \overrightarrow bbngược hướng với vectơ \overrightarrow cc nên giá của vectơ \overrightarrow bb song song với giá của vectơ \overrightarrow cc và có hướng từ B sang A

Suy ra, hai vectơ \overrightarrow aa\overrightarrow bb cùng hướng

Vậy khẳng định trên đúng

Bài 2 trang 102

Cho hình chữ nhật ABCDO là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài các vectơ \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD}AC,BD

b) Tìm trong hình ảnh vectơ đối nhau và có độ dài bằng\frac{{a\sqrt {10} }}{2}a102

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt {10}AC=BD=AB2+BC2=a2+(3a)2=a10

+) \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt {10}+)|AC|=AC=a10

+) \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = a\sqrt {10}+)|BD|=BD=a10

b) O là giao điểm của hai đường chéo nên ta có:

AO = OC = BO = OD = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}AO=OC=BO=OD=a102

Dựa vào hình vẽ ta thấy AO CO cùng nằm trên một đường thẳng; BO DO cùng nằm trên một đường thẳng

Suy ra các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng \frac{{a\sqrt {10} }}{2}a102 là:

\overrightarrow {OA} và \overrightarrow {OC} ; \overrightarrow {AO} và \overrightarrow {CO} ; \overrightarrow {OB} và \overrightarrow {OD} ; \overrightarrow {BO} và \overrightarrow {DO}OAvàOC;AOvàCO;OBvàOD;BOvàDO

Bài 3 trang 102

Cho hình thoi ABCD đi có cạnh bằng a và có góc A bằng 60^\circ60 . Tìm độ dài của các vectơ sau: \overrightarrow p = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow v = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .p=AB+AD;u=ABAD;v=2ABAC.

Gợi ý đáp án

+) ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

\overrightarrow p = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}p=AB+AD=AC

+) \overrightarrow u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB}+)u=ABAD=DB

+) \overrightarrow v = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB}+)v=2ABAC=AB+(ABAC)=AB+CB=AB+DA=DB

Bài 4 trang 102

Cho hình bình hành ABCD hai điểm MN lần lượt là trung điểm của BC AD. Vẽ điểm E sao cho \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AN}CE=AN (hình 1)

a) Tìm tổng của các vectơ:

\overrightarrow {NC} và \overrightarrow {MC} ; \overrightarrow {AM} và \overrightarrow {CD} ; \overrightarrow {AD} và \overrightarrow {NC}NCvàMC;AMvàCD;ADvàNC

b) Tìm các vectơ hiệu:

\overrightarrow {NC} - \overrightarrow {MC} ; \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} ; \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {ME} .NCMC;ACBC;ABME.

c) Chứng minh \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}AM+AN=AB+AD

Gợi ý đáp án

a) Ta có:\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AN} \Rightarrow CE//AN và CE = AN = ND = BM = MCCE=ANCE//ANvàCE=AN=ND=BM=MC

Suy ra \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CE}MC=CE

+) \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {NE}+)NC+MC=NC+CE=NE

+) ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}CD=BA

\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BM}AM+CD=AM+BA=BM

+) Ta có \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AN} \Rightarrow AMCNMC=ANAMCN là hình bình hành nên \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AM}NC=AM

\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE}AD+NC=AD+AM=AE(vì AMED là hình bình hành)

b) Ta có:

+) \overrightarrow {NC} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {NM}+)NCMC=NC+CM=NM

+) \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}+)ACBC=AC+CB=AB

+) \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {ME} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB}+)ABME=ABAD=AB+DA=DB

c) Ta có:

\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AC}AM+AN=AM+MC=AC

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có

\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}AB+AD=AC

Từ đó suy ra\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}AM+AN=AB+AD(đpcm)

Bài 5 trang 103

Cho \overrightarrow a ,\overrightarrow ba,b là hai vectơ khác vectơ \overrightarrow 0 . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|;a)|a+b|=|a|+|b|;

b) \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| .b)|a+b|=|ab|.

Gợi ý đáp án

a) \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2}a)|a+b|=|a|+|b||a+b|2=(|a|+|b|)2

\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2}(a+b)2=(|a|+|b|)2(a)2+2a.b+(b)2

= {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}=|a|2+2.|a|.|b|+|b|2

\Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}|a|2+2a.b+|b|2=|a|2+2.|a|.|b|+|b|2

\Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|2a.b=2|a|.|b|

\Leftrightarrow 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|2|a|.|b|cos(a,b)=2|a|.|b|

\Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circcos(a,b)=1(a,b)=0

Vậy \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a , \,\overrightarrow b|a+b|=|a|+|b|a,b cùng hướng.

b) \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2}b)|a+b|=|ab||a+b|2=|ab|2

\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2}(a+b)2=(ab)2

\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2}(a)2+2a.b+(b)2=(a)22a.b+(b)2

\Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \Leftrightarrow 4\overrightarrow a .\overrightarrow b = 02a.b=2a.b4a.b=0

\Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circa.b=0(a,b)=90

Vậy \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a ,\overrightarrow b|a+b|=|ab|a,b vuông góc với nhau.

Bài 6 trang 103

Cho \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 0|a+b|=0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b .b.

Gợi ý đáp án

\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = - \overrightarrow b|a+b|=0a+b=0a=b

\overrightarrow a = - \overrightarrow ba=b suy ra hai vectơ \overrightarrow aa\overrightarrow bblà hai vecto đối nhau nên chúng cùng phương, ngược hướng và có độ dài bằng nhau.

Bài 7 trang 103

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}AB=CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng ADBC trùng nhau.

Gợi ý đáp án

Với 4 điểm A, B, C, D ta có:\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}AB=CD khi và chỉ khi tứ giác ABDC là hình bình hành

Theo tính chất của hình bình hành thì giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường và ngược lại.

Nói cách khác: trung điểm của hai đoạn thẳng ADBC trùng nhau.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 8 trang 103

Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PS} = \overrightarrow 0RJ+IQ+PS=0 .

Gợi ý đáp án

\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PS} = \left( {\overrightarrow {RA} + \overrightarrow {AJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BQ} } \right) + \left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {CS} } \right)RJ+IQ+PS=(RA+AJ)+(IB+BQ)+(PC+CS)

= \left( {\overrightarrow {RA} + \overrightarrow {CS} } \right) + \left( {\overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} } \right) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0=(RA+CS)+(AJ+IB)+(BQ+PC)=0+0+0=0 (đpcm)

Bài 9 trang 103

Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía Bắc với tốc độ 45m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20^\circ20 về phía tây bắc (hình 2). Tính tốc độ của gió

Gợi ý đáp án

Từ giả thiết ta có:

+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay là vectơ \overrightarrow {{v_1}}v1

+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay so với mặt đất là vectơ \overrightarrow vv

+) Vectơ tương ứng với vận tốc gió là vectơ \overrightarrow {{v_2}}v2

Ta có : \left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 45;\left| {\overrightarrow v } \right| = 38;\left( {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow v } \right) = 20^\circ|v1|=45;|v|=38;(v1,v)=20

Áp dụng định lý cosin ta có:

\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow v } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}^2} - 2\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_1}} } \right)}|v2|=|v|2+|v1|22|v|.|v1|.cos(v,v1)

= \sqrt {{{38}^2} + {{45}^2} - 2.38.45.\cos 20^\circ } \simeq 16 (m/s)=382+4522.38.45.cos2016(m/s)

Vậy tốc độ của gió gần bằng 16 m/s

Bài 10 trang 103

Bài tập 10. Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.

Chứng minh rằng \vec{MD}MD + \vec{ME}ME + \vec{MF}MF = \frac{3}{2}32\vec{MO}MO

Gợi ý đáp án

Qua M kẻ đường thẳng IK // AB, NP // AC, QS // BC (K, P \in BC; N, Q \in AB; I, S \in AC).

Ta có: MK // AB \Rightarrow \widehat{MKP}MKP^ = 60^{\circ}60

MP // AC \Rightarrow \widehat{MPK}MPK^ = 60^{\circ}60

\Rightarrow \DeltaΔMKP đều mà MD là đường cao nên MD đồng thời là đường trung tuyến của \DeltaΔMKP.

\Rightarrow \vec{MK}MK + \vec{MP}MP = 2\vec{MD}MD

Chứng minh tương tự, ta có: \vec{MN}MN + \vec{MQ}MQ = 2\vec{MF}MF; \vec{MI}MI + \vec{MS}MS = 2\vec{MF}MF

\Rightarrow 2(\vec{MD}MD + \vec{ME}ME + \vec{MF}MF) = \vec{MK}MK + \vec{MP}MP + \vec{MI}MI + \vec{MS}MS + \vec{MN}MN + \vec{MQ}MQ

= (\vec{MN}MN + \vec{MI}MI) + (\vec{MK}MK + \vec{MQ}MQ) + (\vec{MP}MP + \vec{MQ}MQ)

= \vec{MA}MA + \vec{MB}MB + \vec{MC}MC (quy tắc hình bình hành)

= 3\vec{MO}3MO (vì O là trọng tâm \DeltaΔ ABC)

\Rightarrow \vec{MD}MD + \vec{ME}ME + \vec{MF}MF = \frac{3}{2}32\vec{MO}$MO$ (đpcm)

Chia sẻ bởi: 👨 Trịnh Thị Thanh
Liên kết tải về
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
👨
    Đóng
    Chỉ thành viên Download Pro tải được nội dung này! Download Pro - Tải nhanh, website không quảng cáo! Tìm hiểu thêm
    Chia sẻ
    Chia sẻ FacebookChia sẻ Twitter
    Đóng