Toán 10 Bài tập cuối chương II - Chân trời sáng tạo Giải SGK Toán 10 trang 39 - Tập 1

Bài tập cuối chương 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các bài tập tự luận từ câu 1 đến câu 6 trong SGK chương Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 39 Tập 1 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa. Giải Bài tập cuối chương 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Toán 10 Bài tập cuối chương II - Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 39 Chân trời sáng tạo - Tập 1

Giải Toán 10 trang 39 Chân trời sáng tạo - Tập 1

Bài 1 trang 39

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy

a) $- 2x + y - 1 \le 0$

b) - x + 2y > 0

c) x - 5y < 2

d) $- 3x + y + 2 \le 0$

e) $3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3$

Phương pháp giải

- Cặp số (x0; y0) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c nếu bất đẳng thức ax0 + by0 ≤ c đúng.

- Các biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c

+ Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng Oxy

+ Lấy một điểm M0(x0; y0) không thuộc d.

+ Tính ax0 + by0 và so sánh với c

+ Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ d chưa M0 là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình.

Lời giải chi tiết

a) Vẽ đường thẳng $\Delta : - 2x + y - 1 = 0$ đi qua hai điểm A(0;1) và $B\left( { - 1; - 1} \right)$

Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy $O \notin \Delta$ và - 2.0 + 0 - 1 = - 1 < 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ $\Delta$ , chứa gốc tọa độ O

(là miền tô màu trong hình vẽ sau)

b) Vẽ đường thẳng $\Delta : - x + 2y = 0$ đi qua hai điểm O (0;0) và $B\left( {2;1} \right)$

Xét điểm A(1;0). Ta thấy $A \notin \Delta$ và - 1 + 2.0 = - 1 > 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ $\Delta ,$ chứa điểm A (1;0)

(là miền tô màu trong hình vẽ sau)

c) Vẽ đường thẳng $\Delta :x - 5y = 2$ đi qua hai điểm A(2;0) và $B\left( { - 3; - 1} \right)$

Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy $O \notin \Delta$ và 0 - 5.0 = 0 < 2

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ $\Delta$ , chứa gốc tọa độ O

(là miền tô màu trong hình vẽ sau)

d) Vẽ đường thẳng $\Delta$ : - 3x + y + 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; - 2) và $B\left( {1;1} \right)$

Xét điểm O(0;0). Ta thấy $O \notin \Delta$ và - 3.0 + 0 + 2 = 2 > 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ $\Delta$ , không chứa điểm O (0;0)

(là miền tô màu trong hình vẽ sau)

e) Ta có: $3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3 \Leftrightarrow - 2x + 4y - 8 < 0 \Leftrightarrow - x + 2y - 4 < 0$

Vẽ đường thẳng $\Delta : - 3x + y + 2 = 0$ đi qua hai điểm A(0; - 2) và $B\left( {1;1} \right)$

Xét điểm O(0;0). Ta thấy $O \notin \Delta$ và - 3.0 + 0 + 2 = 2 > 0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ $\Delta$ , không chứa điểm O (0;0)

(là miền tô màu trong hình vẽ sau)

Bài 2 trang 39

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 0\\x + 3y < 3\end{array} \right.$

Phương pháp giải

- Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ:

- Vẽ đường thẳng a : x - 2y = 0 đi qua hai điểm O(0 ; 0) và A (2 ; 1).

Xét điểm B (0 ; 1). Ta có B ∉ a và 0 – 2.1 = - 2 < 0.

Do đó (0 ; 1) không phải là nghiệm của bất phương trình: x – 2y > 0

Miền nghiệm của bất phương trình x – 2y > 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng a (không kể bờ a) và không chứa điểm B (0 ; 1).

- Vẽ đường thẳng b : x + 3y = 3 đi qua hai điểm B(0 ; 1) và C (3 ; 0).

Xét điểm gốc tọa độ O (0 ; 0). Ta có O ∉ b và 0 + 3.0 = 0 < 3.

Do đó (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình x + 3y < 3.

Miền nghiệm của bất phương trình x + 3y < 3 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng b (không kể bờ b) và chứa điểm O (0 ; 0).

Ta có hình sau :

Vậy, miền không tô màu (không bao gồm các đường thẳng a và b) là phần giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Bài 3 trang 39

Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau:

Loại nguyên liệu	Số kilogam nguyên liệu dự trữ	Số kilogam nguyên liệu cần dùng sản xuất 1 kg sản phẩm
Loại nguyên liệu	Số kilogam nguyên liệu dự trữ	A	B
I	8	2	1
II	24	4	4
III	8	1	2

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất? Biết rằng, mỗi kilôgam sản phẩm loại A lãi 30 triệu đồng, mỗi kilôgam sản phẩm loại B lãi 50 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Gợi ý đáp án

Gọi x, y lần lượt là số kilogam sản phẩm loại A, loại B mà công ty đó sản xuất.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

- Hiển nhiên $x \ge 0,y \ge 0$

- Nguyên liệu loại I có số kilogam dự trữ là 8 kg nên $2x + y \le 8$

- Nguyên liệu loại II có số kilogam dự trữ là 24 kg nên $4x + 4y \le 24$

- Nguyên liệu loại III có số kilogam dự trữ là 8 kg nên $x + 2y \le 8$

Từ đó ta có hệ bất phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 8\\4x + 4y \le 24\\x + 2y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy.

Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Với các đỉnh $O(0;0),A(0;4),B(\frac{8}{3};\frac{8}{3}),C(4;0).$

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu về, ta có: F = 30x + 50y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

Tại O(0;0),F = 30.0 + 50.0 = 0

Tại A(0;4),F = 30.0 + 50.4 = 200

Tại $B(\frac{8}{3};\frac{8}{3}),F = 30.\frac{8}{3} + 50.\frac{8}{3} = \frac{{640}}{3}$

Tại C(4;0):F = 30.4 + 50.0 = 120

F đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{{640}}{3}$ tại $B(\frac{8}{3};\frac{8}{3}).$

Vậy công ty đó nên sản xuất $\frac{8}{3}$ kg sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất.

Bài 4 trang 39

Một công ty cần mua các tủ đựng hồ sơ. Có hai loại tủ: Tủ loại A chiếm $3 {m^2}$ sàn, loại này có sức chứa $12 {m^3}$ và có giá 7,5 triệu đồng; tủ loại B chiếm $6 {m^2}$ sàn, loại này có sức chứa 18 ${m^3}$ và có giá 5 triệu. Cho biết công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là 60 ${m^2}$ mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ và ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch mua sắm để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.

Hướng dẫn giải

- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết

Gọi x (chiếc) là số tủ loại A, y (chiếc) là số tủ loại B mà công ty cần mua.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Khi đó, x chiếc tủ loại A chiếm 3x m² sàn ; y chiếc tủ loại B chiếm 6y m² sàn

Tổng mặt bằng hai loại tủ chiếm : 3x + 6y (m²)

Do công ty chỉ thu xếp được 60 m² mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ nên ta có bất phương trình : 3x + 6y ≤ 60 hay x + 2y ≤ 20.

Số tiền cần dùng để mua x chiếc tủ loại A là : 7,5x (triệu đồng) ; mua y chiếc tủ loại B cần số tiền là 5y (triệu đồng).

Tổng số tiền dùng mua hai loại tủ trên là : 7,5x + 5y (triệu đồng).

Do ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng nên ta có bất phương trình :

7,5x + 5y ≤ 60 hay 1,5x + y ≤ 12.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau:

$\left\{ \begin{array}{l}3x + 6y \le 60\\7,5x + 5y \le 60\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ này trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau :

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm cả các cạnh).

Các đỉnh O(0 ; 0) ; A (0 ; 10) ; B(2 ; 9) ; C(8 ; 0).

Gọi F là thể tích đựng hồ sơ của công ty.

Ta có x chiếc tủ loại A sẽ có sức chứa 12x (m³); y chiếc tủ loại B có sức chứa 18y (m³).

Tổng sức chứa của hai loại tủ là : 12x + 18y (m³).

Do đó F = 12x + 18y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O (0 ; 0) : F = 12.0 + 18.0 = 0 ;

Tại A (0 ; 10) : F= 12.0 + 18.10 = 180 ;

Tại B(2 ; 9) : F = 12.2 + 18.9= 186;

Tại C(8 ; 0): F = 12.8 + 18.0= 96.

F đạt giá trị lớn nhất là 186 tại B(2 ; 9).

Vậy để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất thì công ty cần mua 2 tủ loại A và 9 tủ loại B.

Bài 5 trang 39

Một nông trại thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Biết rằng, để làm ra một hũ tương cà loại A cần 10 kg cà chua cùng với l kg hành tây và khi bán lãi được 200 nghìn đồng, còn để làm được một hũ tương cà loại B cần 5 kg cà chua cùng với 0,25 kg hành tây và khi bán lãi được 150 nghìn đồng. Thǎm dò thị hiếu của khách hàng cho thấy cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B. Hãy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi x, y lần lượt là số hũ tương cà loại A, loại B mà chủ nông trại cần làm.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

- Hiển nhiên $x \ge 0,y \ge 0$

- Có 180 kg cà chua nên $10x + 5y \le 180$

- Có 15 kg hành tây nên $x + 0,25y \le 15$

- Số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B nên $x \ge 3,5y$

Từ đó ta có hệ bất phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}10x + 5y \le 180\\x + 0,25y \le 15\\x \ge 3,5y\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy.

Miền không gạch chéo (miền tam giác OAB, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Với các đỉnh O(0;0),A(14;4),B(15;0).

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị: nghìn đồng) thu được, ta có: F = 200x + 150y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

Tại O(0;0),F = 200.0 + 150.0 = 0

Tại A(14;4),F = 200.14 + 150.4 = 3400

Tại B(15;0),F = 200.15 + 150.0 = 3000

F đạt giá trị lớn nhất bằng 3400 nghìn đồng tại A(14;4).

Vậy chủ nông trại đó nên làm 14 hũ loại A và 4 hũ loại B để tiền lãi thu được là lớn nhất.

Bài 6 trang 39

Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày, máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi x, y lần lượt là số tấn sản phẩm X, Y mà xưởng cần sản xuất mỗi ngày.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

- Hiển nhiên $x \ge 0,y \ge 0$

- Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày nên $6x + 2y \le 12$