Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo trang 54, 55

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán lớp 11 tập 2 trang 54, 55, 56 Chân trời sáng tạo là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo bài 1 Hai đường thẳng vuông góc được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 56. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Toán 11 tập 2 bài 1 Hai đường thẳng vuông góc Chân trời sáng tạo, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Toán lớp 11 tập 2 trang 56

Toán lớp 11 tập 2 trang 56

Bài 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết Sa = a $\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$, SA ⊥ AB và SA ⊥ AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB

Bài làm

CD//AB nên góc giữa SB và CD là góc giữa AB và SB, $\widehat{ABS}$ $\widehat{ABS}$

CB//AD nên góc giữa SD và CB là góc giữa SD và AD, $\widehat{ADS}$ $\widehat{ADS}$

Ta có: $tan\widehat{ABS}=tan\widehat{ADS} = \frac{a\sqrt{3}}{a} =\sqrt{3}$ $tan\widehat{ABS}=tan\widehat{ADS} = \frac{a\sqrt{3}}{a} =\sqrt{3}$

Suy ra $\widehat{ABS} = \widehat{ADS} = \frac{\pi}{3}$ $\widehat{ABS} = \widehat{ADS} = \frac{\pi}{3}$

Bài 2

Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB $\perp$ $\perp$ CD

Bài làm

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC, AD

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện ABCD

Tam giác ACD là MP là đường trung bình nên MP = $\frac{1}{2}.CD = \frac{1}{2}a$ $\frac{1}{2}.CD = \frac{1}{2}a$, MP // CD

Tam giác ABC là MN là đường trung bình nên MN = $\frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}a$ $\frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}a$; MN // AB

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Suy ra tam giác BCP cân tại P có PN là trung tuyến nên PN $\perp$ $\perp$ BC

$NP = \sqrt{CP^{2} - CN^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2} - (\frac{1}{2}a)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ $NP = \sqrt{CP^{2} - CN^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2} - (\frac{1}{2}a)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Tam giác MNP có: $MN^{2} + MP^{2} = NP^{2}$ $MN^{2} + MP^{2} = NP^{2}$ nên tam giác MNP vuông tại M

Do MN // AB, MP // CD nên góc giữa AB và CD là góc giữa MN và MP và bằng 90⁰

Vậy AB $\perp$ $\perp$ CD

Bài 3

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\widehat{BSA} = \widehat{CSA} = 60^{o} , \widehat{BSC} = 90^{o}$ $\widehat{BSA} = \widehat{CSA} = 60^{o} , \widehat{BSC} = 90^{o}$. Cho I và J lần lượt là trung diểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ $\perp$ $\perp$ SA và IJ $\perp \sqrt{BC}$ $\perp \sqrt{BC}$

Bài làm

Tam giác SAB có SA = SB = a; $\widehat{BSA} = 60^{o}$ $\widehat{BSA} = 60^{o}$ nên tam giác SAB đều cạnh a. Suy ra IB = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Tam giác SAC có SA = SC = a; $\widehat{CSA} = 60^{o}$ $\widehat{CSA} = 60^{o}$ nên tam giác SAC đều cạnh a. Suy ra IC = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Suy ra tam giác IBC cân tại I có IJ là trung tuyến. Nên IJ $\perp$ $\perp$ BC

Tam giác SBC vuông cân tại S nên BC = $\sqrt{2}a$ $\sqrt{2}a$; SJ = $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ $\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Tam giác ABC có AB = AC = a; CB = $\sqrt{2}a$ $\sqrt{2}a$ nên tam giác ABC vuông cân tại A. Mà AJ là trung tuyến nên AJ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra tam giác SAJ cân tại J có JI là trung tuyến. Nên IJ $\perp$ $\perp$ SA

Bài 4

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC

Bài làm

Tam giác ACD đều cạnh a có AK là trung tuyến nên AK = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Gọi I là trung điểm của BD

Tam giác ABD đều cạnh a có AI là trung tuyến nên AI = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Tam giác BCD có IK là đường trung bình nên IK // BC, IK = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$ $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$

Ta có: $cos\widehat{AKI} = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ $cos\widehat{AKI} = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Nên $\widehat{AKI} = 73,2^{o}$ $\widehat{AKI} = 73,2^{o}$

Vì BC // IK nên góc giữa AK và BC là góc giữa AK và KI và bằng $73,2^{o}$ $73,2^{o}$

Bài 5

Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN = a $\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$. Tính góc giữa AB và CD

Bài 6

Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều ABCDEF song song với mặt bàn và có cạnh AB song song với cạnh bàn a (Hình 5). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng a lần lượt với các đường thẳng AF, AE và AD