Toán 11 Bài tập cuối chương III Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo trang 85, 86

Bài 7

Cho tam giác đều có cạnh bằng a, gọi là tam giác $H_1$ . Nối các trung điểm của $H_1$ để tạo thành tam giác $H_2$. Tiếp theo, nối các trung điểm của $H_2$ để tạp thành tam giác $H_3$ (Hình 1). Cứ như thế tiếp tục, nhận dược dãy tam giác $H_1$, $H_2$, $H_3$,...

Tính tổng chu vi và tổng diện tích của các tam giác của dãy.

Bài làm

Cạnh của các tam giác $H_1,H_2,H_3,$... lần lượt là: $a;\frac{1}{2}a,\frac{1}{2^2}a;$....

Tổng chu vi của các tam giác là:

$C=3.a+3.\frac{1}{2}a+3.\frac{1}{2^2}a+....=3a.(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...)=3a.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=6a$

Diện tích tam giác $H_1$ là $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

Diện tích tam giác $H_2$ bằng $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $H_1$ ; Diện tích tam giác $H_3$ bằng $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $H_3$;....

Tổng diện tích các tam giác là:

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2.(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+....)=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2.\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^2$

Bài 8

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1}{lim}(3x^2-x+2)$

b) $\underset{x\to 4}{lim}\frac{x^2-16}{x-4}$

c) $\underset{x\to 2}{lim}\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2}$

Bài làm

a) $\underset{x\to -1}{lim}(3x^2-x+2)=3.(-1{)}^2-(-1)+2=6$

b) $\underset{x\to 4}{lim}\frac{x^2-16}{x-4}=\underset{x\to 4}{lim}\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=\underset{x\to 4}{lim}(x+4)=4+4=8$

c) $\underset{x\to 2}{lim}\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{(3-\sqrt{x+7})(3+\sqrt{x+7})}{(x-2)(3+\sqrt{x+7})}$

$=\underset{x\to 2}{lim}\frac{9-x-7}{(x-2)(3+\sqrt{x+7})}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{-1}{3+\sqrt{x+7}}=\frac{-1}{3+\sqrt{2+7}}=\frac{-1}{6}$

Bài 9

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x+2}{x+1}$

b) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x-2}{x^2}$

Bài làm

a) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x+2}{x+1}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{-1+0}{1+0}=-1$

b) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x-2}{x^2}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2})=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}-\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{x^2}=0-0=0$

Bài 10

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 4^{+}}{lim}\frac{1}{x-4}$

b) $\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{x}{2-x}$

Bài làm

a) $\underset{x\to 4^{+}}{lim}\frac{1}{x-4}=+\mathrm{\infty }$

b) $\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{x}{2-x}=-\mathrm{\infty }$

Bài 11

Xét tính liên tục của hàm số

$f(x)=\{\begin{array}{c}\sqrt{x+4};x\ge 0\\ 2cosx;x<0\end{array}$

Bài làm

Khi $x\ge 0:f(x)=\sqrt{x+4}$ là hàm căn thức có tập xác định là $(-4;+\mathrm{\infty })$ nên f(x) liên tục trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$

Khi x < 0: f(x) = 2 cosx là hàm lượng giác nên f(x) liên tục trên khoảng $(-\mathrm{\infty };0)$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}2cosx=2cos0=2$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{x+4}=\sqrt{0+4}=2$

Suy ra: $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=2=f(0)$ Hay f(x) liên tục tại x = 0

Vậy hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

Bài 12

Cho hàm số:

$f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{x^2-25}{x-5};x\ne 5\\ a;x=5\end{array}$

Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

Bài làm

Khi $x\ne 5:f(x)=\frac{x^2-25}{x-5}$ là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên các khoảng $(-\mathrm{\infty };5)\cup (5;+\mathrm{\infty })$

Để f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ thì f(x) liên tục tại x = 5. Hay $\underset{x\to 5}{lim}f(x)=f(5)$

$\underset{x\to 5}{lim}f(x)=\underset{x\to 5}{lim}\frac{x^2-25}{x-5}=\underset{x\to 5}{lim}\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=\underset{x\to 5}{lim}(x+5)=5+5=10$

f(5) = a

Suy ra: a = 10

Bài 13

Trong một phòng thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiên tăng từ ${10}^{o}C$ , mỗi phút tăng $2^{o}C$ trong 60 phút, sau đó giảm mỗi phút $3^{o}C$ trong 40 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo ${}^{o}C$ trong tủ theo thời gian t (tính theo phút) có dạng

$T(t)=\{\begin{array}{c}10+2t;0\le t\le 60\\ k-3t;60<t\le 100\end{array}$

(k là hằng số)

Biết rằng T(t) liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của k

II. Luyện tập Ôn tập chương 3