Toán 11 Bài tập cuối chương III Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo trang 85, 86

Bài 7

Cho tam giác đều có cạnh bằng a, gọi là tam giác \(H_{1}\) . Nối các trung điểm của \(H_{1}\) để tạo thành tam giác \(H_{2}\). Tiếp theo, nối các trung điểm của \(H_{2}\) để tạp thành tam giác \(H_{3}\) (Hình 1). Cứ như thế tiếp tục, nhận dược dãy tam giác \(H_{1}\), \(H_{2}\), \(H_{3}\),...

Tính tổng chu vi và tổng diện tích của các tam giác của dãy.

Bài làm

Cạnh của các tam giác \(H_{1}, H_{2}, H_{3},\)... lần lượt là: \(a; \frac{1}{2}a, \frac{1}{2^{2}}a;\)....

Tổng chu vi của các tam giác là:

\(C = 3.a+3.\frac{1}{2}a+3.\frac{1}{2^{2}}a+....=3a.\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+... \right )=3a.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}= 6a\)

Diện tích tam giác \(H_{1}\) là \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\)

Diện tích tam giác \(H_{2}\) bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác \(H_{1}\) ; Diện tích tam giác \(H_{3}\) bằng \(\frac{1}{4}\) diện tích tam giác \(H_{3}\);....

Tổng diện tích các tam giác là:

\(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.\left ( 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}+.... \right )= \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.\frac{1}{1-\frac{1}{4}}= \frac{\sqrt{3}}{3}a^{2}\)

Bài 8

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim_{x \to -1}(3x^{2}-x+2)\)

b) \(\lim_{x \to 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}\)

c) \(\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2}\)

Bài làm

a) \(\lim_{x \to -1}(3x^{2}-x+2)=3.(-1)^{2}-(-1)+2=6\)

b) \(\lim_{x \to 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}=\lim_{x \to 4}\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=\lim_{x \to 4}(x+4)=4+4=8\)

c) \(\lim_{x \to 2}\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2} = \lim_{x \to 2}\frac{(3-\sqrt{x+7})(3+\sqrt{x+7})}{(x-2)(3+\sqrt{x+7})}\)

\(= \lim_{x \to 2}\frac{9-x-7}{(x-2)(3+\sqrt{x+7})} = \lim_{x \to 2}\frac{-1}{3+\sqrt{x+7}} = \frac{-1}{3+\sqrt{2+7}} = \frac{-1}{6}\)

Bài 9

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim_{x \to +\infty}\frac{-x+2}{x+1}\)

b) \(\lim_{x \to -\infty}\frac{x-2}{x^{2}}\)

Bài làm

a) \(\lim_{x \to +\infty}\frac{-x+2}{x+1}=\lim_{x \to +\infty}\frac{-1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{-1+0}{1+0}=-1\)

b) \(\lim_{x \to -\infty}\frac{x-2}{x^{2}}=\lim_{x \to -\infty}\left ( \frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )=\lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x}-\lim_{x \to -\infty}\frac{2}{x^{2}} = 0-0=0\)

Bài 10

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim_{x \to 4^{+}}\frac{1}{x-4}\)

b) \(\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x}{2-x}\)

Bài làm

a) \(\lim_{x \to 4^{+}}\frac{1}{x-4} = +\infty\)

b) \(\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x}{2-x} = -\infty\)

Bài 11

Xét tính liên tục của hàm số

\(f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+4}; x\geq 0\\2cosx; x<0\end{matrix}\right.\)

Bài làm

Khi \(x \geq 0 : f(x)=\sqrt{x+4}\) là hàm căn thức có tập xác định là \((-4;+\infty)\) nên f(x) liên tục trên khoảng \((0;+\infty)\)

Khi x < 0: f(x) = 2 cosx là hàm lượng giác nên f(x) liên tục trên khoảng \((-\infty;0)\)

\(\lim_{x \to 0^{-}}f(x) = \lim_{x \to 0^{-}}2cosx= 2cos0=2\)

\(\lim_{x \to 0^{+}}f(x) = \lim_{x \to 0^{+}}\sqrt{x+4}=\sqrt{0+4}=2\)

Suy ra: \(\lim_{x \to 0}f(x) = 2= f(0)\) Hay f(x) liên tục tại x = 0

Vậy hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Bài 12

Cho hàm số:

\(f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-25}{x-5}; x \neq 5\\a; x = 5\end{matrix}\right.\)

Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Bài làm

Khi \(x \neq 5 : f(x)=\frac{x^{2}-25}{x-5}\) là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên các khoảng \((-\infty;5) \cup (5;+\infty)\)

Để f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì f(x) liên tục tại x = 5. Hay \(\lim_{x \to 5}f(x) = f(5)\)

\(\lim_{x \to 5}f(x)= \lim_{x \to 5}\frac{x^{2}-25}{x-5}=\lim_{x \to 5}\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=\lim_{x \to 5}(x+5)=5+5=10\)

f(5) = a

Suy ra: a = 10

Bài 13

Trong một phòng thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiên tăng từ \(10^{o}C\) , mỗi phút tăng \(2^{o}C\) trong 60 phút, sau đó giảm mỗi phút \(3^{o}C\) trong 40 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo \(^{o}C\) trong tủ theo thời gian t (tính theo phút) có dạng

\(T(t)=\left\{\begin{matrix}10+2t; 0 \leq t\leq 60 \\ k-3t; 60 < t \leq100\end{matrix}\right.\)

(k là hằng số)

Biết rằng T(t) liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của k

II. Luyện tập Ôn tập chương 3