Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo trang 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 2 Giá trị lượng giác của một góc lượng giác được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 19, 20. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 19, 20 mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

I. Toán 11 Tập 1 trang 19, 20 Chân trời sáng tạo
II. Luyện tập Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

I. Toán 11 Tập 1 trang 19, 20 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 19

Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a) $sin\alpha = \frac{3}{5} và cos\alpha = -\frac{4}{5}$ $sin\alpha = \frac{3}{5} và cos\alpha = -\frac{4}{5}$

b) $sin\alpha = \frac{1}{3} và cot\alpha = \frac{1}{2}$ $sin\alpha = \frac{1}{3} và cot\alpha = \frac{1}{2}$

c) $tan\alpha = 3 và cot\alpha = \frac{1}{3}$ $tan\alpha = 3 và cot\alpha = \frac{1}{3}$

Gợi ý đáp án

Đẳng thức câu a và c có thể đồng thời xảy ra.

Đẳng thức câu b không thể đồng thời xảy ra do $cot^{2}\alpha + 1 = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$ $cot^{2}\alpha + 1 = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$

Bài 2 trang 19

Cho $sin\alpha = \frac{12}{13} và cos\alpha = \frac{-5}{13}$ $sin\alpha = \frac{12}{13} và cos\alpha = \frac{-5}{13}$. Tính $sin\left (- \frac{15\pi }{2} -\alpha \right ) - cos\left ( 13\pi +\alpha \right )$ $sin\left (- \frac{15\pi }{2} -\alpha \right ) - cos\left ( 13\pi +\alpha \right )$

Gợi ý đáp án

$A = sin\left (- \frac{15\pi }{2} -\alpha \right ) - cos\left ( 13\pi +\alpha \right )$ $A = sin\left (- \frac{15\pi }{2} -\alpha \right ) - cos\left ( 13\pi +\alpha \right )$

$= sin\left (\frac{\pi }{2} -\alpha \right ) - cos\left (\pi +\alpha \right )$ $= sin\left (\frac{\pi }{2} -\alpha \right ) - cos\left (\pi +\alpha \right )$

Vì $sin\alpha >0 và cos\alpha <0$ $sin\alpha >0 và cos\alpha <0$ nên điểm biểu diễn góc \alpha trên đường tròn lượng giác nằm ở góc phần tư thứ II.

Suy ra: $sin\left (\frac{\pi }{2} -\alpha \right ) = cos(\alpha )$ $sin\left (\frac{\pi }{2} -\alpha \right ) = cos(\alpha )$

$cos\left (\pi +\alpha \right ) = - cos(\alpha )$ $cos\left (\pi +\alpha \right ) = - cos(\alpha )$

Vậy $A =2. cos(\alpha ) = \frac{-10}{13}$ $A =2. cos(\alpha ) = \frac{-10}{13}$

Bài 3 trang 19

Tính các giá trị lượng giác của góc \alpha , nếu:

a) $sin\alpha = \frac{5}{13} và \frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ $sin\alpha = \frac{5}{13} và \frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$

b) $cos\alpha = \frac{2}{5} và 0^{o}<\alpha <90^{o}$ $cos\alpha = \frac{2}{5} và 0^{o}<\alpha <90^{o}$

c) $tan\alpha = \sqrt{3} và \pi < \alpha < \frac{3\pi }{2}$ $tan\alpha = \sqrt{3} và \pi < \alpha < \frac{3\pi }{2}$

d) $cot\alpha = \frac{1}{2} và 270^{o}<\alpha <360^{o}$ $cot\alpha = \frac{1}{2} và 270^{o}<\alpha <360^{o}$

Gợi ý đáp án

a) $cos\alpha = -\frac{12}{13}$ $cos\alpha = -\frac{12}{13}$

$tan\alpha = -\frac{5}{12}$ $tan\alpha = -\frac{5}{12}$

$cot\alpha = -\frac{12}{5}$ $cot\alpha = -\frac{12}{5}$

b) $sin\alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}$ $sin\alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$ $tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}$

$cot\alpha = \frac{2}{\sqrt{21}}$ $cot\alpha = \frac{2}{\sqrt{21}}$

c) $sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos\alpha = \frac{1}{2}$ $cos\alpha = \frac{1}{2}$

$cot\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ $cot\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$

d) $sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ $sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$tan\alpha = 2$ $tan\alpha = 2$

Bài 4 trang 19

Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$ $\frac{\pi }{4}$ hoặc từ $0^{o}$ $0^{o}$ đến $45^{o}$ $45^{o}$và tính:

a) $cos\frac{21\pi }{6}$ $cos\frac{21\pi }{6}$

b) $sin\frac{129\pi }{4}$ $sin\frac{129\pi }{4}$

c) $tan1020^{o}$ $tan1020^{o}$

Gợi ý đáp án

a) $cos\frac{21\pi }{6} = cos(2.2\pi -\frac{3\pi }{4})=cos(-\frac{3\pi }{4})=-cos(-\frac{3\pi }{4}+\pi ) = -cos(\frac{\pi }{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $cos\frac{21\pi }{6} = cos(2.2\pi -\frac{3\pi }{4})=cos(-\frac{3\pi }{4})=-cos(-\frac{3\pi }{4}+\pi ) = -cos(\frac{\pi }{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $sin\frac{129\pi }{4} = sin(16.2\pi +\frac{\pi }{4}) = sin(\frac{\pi }{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $sin\frac{129\pi }{4} = sin(16.2\pi +\frac{\pi }{4}) = sin(\frac{\pi }{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $tan1020^{o} = tan(3.360^{o}-60^{o})= tan(-60^{o}) = -tan(60^{o}) = -cot(90^{o}-60^{o}) = -cot(30^{o}) = -\sqrt{3}$ $tan1020^{o} = tan(3.360^{o}-60^{o})= tan(-60^{o}) = -tan(60^{o}) = -cot(90^{o}-60^{o}) = -cot(30^{o}) = -\sqrt{3}$

Bài 5 trang 19

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $sin^{4}\alpha - cos^{4}\alpha = 1 - 2cos^{2}\alpha$ $sin^{4}\alpha - cos^{4}\alpha = 1 - 2cos^{2}\alpha$

b) $tan\alpha + cot\alpha = \frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }$ $tan\alpha + cot\alpha = \frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }$

Gợi ý đáp án

a) $sin^{4}\alpha - cos^{4}\alpha = \left ( sin^{2}\alpha - cos^{2}\alpha \right ).\left ( sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha \right )$ $sin^{4}\alpha - cos^{4}\alpha = \left ( sin^{2}\alpha - cos^{2}\alpha \right ).\left ( sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha \right )$

$= \left ( sin^{2}\alpha - cos^{2}\alpha \right ).1= sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha - 2.cos^{2}\alpha = 1- 2.cos^{2}\alpha$ $= \left ( sin^{2}\alpha - cos^{2}\alpha \right ).1= sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha - 2.cos^{2}\alpha = 1- 2.cos^{2}\alpha$

$tan\alpha + cot\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha } + \frac{cos\alpha }{sin\alpha } = \frac{sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha }{sin\alpha .cos\alpha } = \frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }$ $tan\alpha + cot\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha } + \frac{cos\alpha }{sin\alpha } = \frac{sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha }{sin\alpha .cos\alpha } = \frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }$

Bài 6 trang 19

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{1}{tan\alpha +1}+\frac{1}{cot\alpha + 1}$ $\frac{1}{tan\alpha +1}+\frac{1}{cot\alpha + 1}$

b) $cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )-sin(\pi +\alpha )$ $cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )-sin(\pi +\alpha )$

c) $sin(\alpha -\frac{\pi }{2}) + cos(-\alpha +6\pi ) - tan(\alpha +\pi )cot(3\pi -\alpha )$ $sin(\alpha -\frac{\pi }{2}) + cos(-\alpha +6\pi ) - tan(\alpha +\pi )cot(3\pi -\alpha )$

Gợi ý đáp án

a) $\frac{1}{tan\alpha +1}+\frac{1}{cot\alpha + 1}$ $\frac{1}{tan\alpha +1}+\frac{1}{cot\alpha + 1}$

$= \frac{1}{\frac{sin\alpha }{cos\alpha}+1} + \frac{1}{\frac{cos\alpha }{sin\alpha}+1}$ $= \frac{1}{\frac{sin\alpha }{cos\alpha}+1} + \frac{1}{\frac{cos\alpha }{sin\alpha}+1}$

$= \frac{1}{\frac{sin\alpha +cos\alpha }{cos\alpha }} + \frac{1}{\frac{cos\alpha +sin\alpha }{sin\alpha }}$ $= \frac{1}{\frac{sin\alpha +cos\alpha }{cos\alpha }} + \frac{1}{\frac{cos\alpha +sin\alpha }{sin\alpha }}$

$= \frac{cos\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }+\frac{sin\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }$ $= \frac{cos\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }+\frac{sin\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }$

$= \frac{sin\alpha +cos\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }$ $= \frac{sin\alpha +cos\alpha }{sin\alpha +cos\alpha }$

= 1

b) $cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )-sin(\pi +\alpha )$ $cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )-sin(\pi +\alpha )$

$= sin\alpha - (-sin\alpha )$ $= sin\alpha - (-sin\alpha )$

$= 2sin\alpha$ $= 2sin\alpha$

c) $sin(\alpha -\frac{\pi }{2}) + cos(-\alpha +6\pi ) - tan(\alpha +\pi )cot(3\pi -\alpha )$ $sin(\alpha -\frac{\pi }{2}) + cos(-\alpha +6\pi ) - tan(\alpha +\pi )cot(3\pi -\alpha )$

$= cos\alpha + cos(-\alpha ) - tan\alpha .cot(\pi -\alpha )$ $= cos\alpha + cos(-\alpha ) - tan\alpha .cot(\pi -\alpha )$

$= cos\alpha + cos\alpha - tan\alpha.(-cot\alpha )$ $= cos\alpha + cos\alpha - tan\alpha.(-cot\alpha )$

$= 2cos\alpha + 1$ $= 2cos\alpha + 1$

Bài 7 trang 20

Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O của nó trên một mặt phẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O'M' của OM khi thanh quay được 3 $\frac{1}{10}$ $\frac{1}{10}$ vòng là bao nhiêu. Biết độ dài thanh OM là 15cm? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Gợi ý đáp án

Sau khi thanh OM quay được 3 vòng, vị trí của thanh là OA. Quay tiếp $\frac{1}{10}$ $\frac{1}{10}$, thanh sẽ tạo với OA 1 góc α = 2π/10 = π/5.

Độ dài của bóng O'M' = OM.cosα = 15.cosπ/5 = 12,1 (cm).

Bài 8 trang 20

Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là 11 rad/s (Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí A. Hỏi sau 1 phút di chuyển, khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58cm? Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Gợi ý đáp án

Sau một phút di chuyển, van V quay được một góc là 11.60 = 660 (rad)

Khoảng cách từ van đến mặt đất là: 58 + 58.sin660 ≈ 57,7 (cm)