Toán 11 Bài 5: Dãy số Giải Toán 11 Kết nối tri thức trang 42, 43, 44, 45, 46, 47

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Giải Toán lớp 11 trang 46, 47 tập 1 Kết nối tri thức giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi Luyện tập và các bài tập trong SGK bài 5 Dãy số.

Toán 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 46, 47 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán lớp 11. Giải Toán lớp 11 trang 47 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Toán 11 Bài 5: Dãy số

1. Trả lời câu hỏi Luyện tập Toán 11 Bài 5
2. Toán lớp 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 46, 47
3. Luyện tập Dãy số

1. Trả lời câu hỏi Luyện tập Toán 11 Bài 5

Luyện tập 1

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Lời giải chi tiết:

a) Dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần là: 6, 11, 16, 21,...

Ta có các số tự nhiên chia hết cho 5 có dạng: 5n

Do đó các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 có dạng: 5n + 1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: u_n = 5n + 1.

b) Dãy số hữu hạn là: 6, 11, 16, 21, 26.

Số hạng đầu u₁ = 6

Số hạng cuối u₅ = 26.

Luyện tập 2

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = n!.

b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (F_n) cho bởi hệ thức truy hồi

$\left\{ \begin{array}{l} {F_1} = 1,{F_2} = 1\\ {F_n} = {F_{n - 1}} + {F_{n - 2}}{\rm{ }}(n \ge 3) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} {F_1} = 1,{F_2} = 1\\ {F_n} = {F_{n - 1}} + {F_{n - 2}}{\rm{ }}(n \ge 3) \end{array} \right.$

Gợi ý đáp án

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = n!.

Năm số hạng đầu của dãy số là: 1, 2, 6, 24, 120.

b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (F_n) cho bởi hệ thức truy hồi:

Ta có: F₁ = 1,

F₂ = 1,

F₃ = F₂ + F₁ = 1 + 1 = 2,

F₄ = F₃ + F₂ = 2 + 1 = 3,

F₅ = F₄ + F₃ = 3 + 2 = 5.

Luyện tập 3

Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), với $u_n=\frac{1}{n+1}$ $u_n=\frac{1}{n+1}$ .

Gợi ý đáp án

Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+2} -\frac{1}{n+1} =\frac{-1}{(n+1)(n+2)} <0$ $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+2} -\frac{1}{n+1} =\frac{-1}{(n+1)(n+2)} <0$

Do đó u_n+1 < u_n với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ $n \in \mathbb{N}^*$.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Luyện tập 4

Xét tính bị chặn của dãy số (u _n ), với u _n = 2n - 1.

Gợi ý đáp án

Ta có 2n ≥ 2 với ∀n ∈ N*

<=> 2n - 1 ≥ 1 ∀n ∈ N*

<=> un ≥ 1 ∀n ∈ N*

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới.

2. Toán lớp 11 Kết nối tri thức tập 1 trang 46, 47

Bài 2.1 trang 46

Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (u_{n}) có số hạng tổng quát cho bởi

a) $u_{n}=3n-2$ $u_{n}=3n-2$

b) $u_{n}=3 x 2^{n}$ $u_{n}=3 x 2^{n}$

c) $u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$ $u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$

Gợi ý đáp án

a) $u_{1}=1,u_{2}=4,u_{3}=7,u_{4}=10,u_{5}=13,u_{100}=298$ $u_{1}=1,u_{2}=4,u_{3}=7,u_{4}=10,u_{5}=13,u_{100}=298$

b) $u_{1}=6,u_{2}=12,u_{3}=24,u_{4}=48,u_{5}=96,u_{100}=3.803\times 10^{30}$ $u_{1}=6,u_{2}=12,u_{3}=24,u_{4}=48,u_{5}=96,u_{100}=3.803\times 10^{30}$

c) $u_{1}=2,u_{2}=\frac{9}{4},u_{3}=\frac{64}{27},u_{4}=\frac{625}{256},u_{5}=2.48832,u_{100}=2.7148$ $u_{1}=2,u_{2}=\frac{9}{4},u_{3}=\frac{64}{27},u_{4}=\frac{625}{256},u_{5}=2.48832,u_{100}=2.7148$

Bài 2.2 trang 46

Dãy số $(u_{n})$ $(u_{n})$ cho bởi hệ thức truy hồi $u_{1}=1,u_{n}=nu_{n-1}$ $u_{1}=1,u_{n}=nu_{n-1}$ với $n\geq 2$ $n\geq 2$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ $u_{n}$

Gợi ý đáp án

a) $u_{1}=1,u_{2}=2,u_{3}=6,u_{4}=24,u_{5}=120$ $u_{1}=1,u_{2}=2,u_{3}=6,u_{4}=24,u_{5}=120$

b) Ta có: $u_{1}=1=1,u_{2}=2=2,u_{3}=6=3,u_{4}=24=4,u_{5}=120=5$ $u_{1}=1=1,u_{2}=2=2,u_{3}=6=3,u_{4}=24=4,u_{5}=120=5$

Vậy công thức số hạng tổng quát là: $u_{n}=n$ $u_{n}=n$

Bài 2.3 trang 46

Xét tính tăng, giảm của dãy số $( u_{n} )$ $( u_{n} )$, biết:

a) $u_{n}=2n-1$ $u_{n}=2n-1$

b) $u_{n}=-3n+2$ $u_{n}=-3n+2$

c) $u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}$ $u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}$

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $u_{2}=3 > u_{1}=1$ $u_{2}=3 > u_{1}=1$ suy ra đây là dãy số tăng

b) $u_{2}=4 < u_{1}= -1$ $u_{2}=4 < u_{1}= -1$suy ra đây là dãy số giảm

c) $u_{2} = \frac{-1}{4} < u_{1}= \frac{1}{2}$ $u_{2} = \frac{-1}{4} < u_{1}= \frac{1}{2}$ suy ra đây là dãy số giảm

Bài 2.4 trang 46

Trong các dãy số $( u_{n} )$ $( u_{n} )$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) $u_{n}=n-1$ $u_{n}=n-1$

b) $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}$ $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}$

c) $u_{n}=sinn$ $u_{n}=sinn$

d) $u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}$ $u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}$

Gợi ý đáp án

a) Ta có $u_{n}=n-1\geq 0 (\forall n\in N *)$ $u_{n}=n-1\geq 0 (\forall n\in N *)$ suy ra $u_{n}$ $u_{n}$ bị chặn dưới

b) Ta có: $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}<1; u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}\geq 0(\forall n\in N *)$ $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}<1; u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}\geq 0(\forall n\in N *)$

Suy ra $u_{n}$ $u_{n}$ bị chặn

c) $u_{n}=sinn$ $u_{n}=sinn$ do đó $-1\leq u_{n} \leq1(\forall n\in N *)$ $-1\leq u_{n} \leq1(\forall n\in N *)$

Suuy ra $u_{n}$ $u_{n}$ bị chặn

d) Ta có: $u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}>0$ $u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}>0$ nếu n là số tự nhiên lẻ

$u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}< 0$ $u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}< 0$ nếu n là số tự nhiên chẵn

Bài 2.5 trang 46

Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 3

b) Khi chia cho 4 dư 1

Gợi ý đáp án

a) $u_{n}=3n(\forall n\in N *)$ $u_{n}=3n(\forall n\in N *)$

b) $u_{n}=4n+1(\forall n\in N *)$ $u_{n}=4n+1(\forall n\in N *)$

Bài 2.6 trang 46

Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức.

$A_{n}=100(1+\frac{0.06}{12})^{n}$ $A_{n}=100(1+\frac{0.06}{12})^{n}$

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm

Gợi ý đáp án

a) Số tiền ông An nhận được sau 1 tháng: $A_{1}=100(1+\frac{0.06}{12})^{1}=100.5$ $A_{1}=100(1+\frac{0.06}{12})^{1}=100.5$ (triệu đồng)

Số tiền ông An nhận được sau 2 tháng: $A_{2}=100(1+\frac{0.06}{12})^{2}=101.0025$ $A_{2}=100(1+\frac{0.06}{12})^{2}=101.0025$ (triệu đồng)

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm: $A_{12}=100(1+\frac{0.06}{12})^{12}=106.1678$ $A_{12}=100(1+\frac{0.06}{12})^{12}=106.1678$ (triệu đồng)

Bài 2.7 trang 47

Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0.8% số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi $A_{n}(n\in N)$ $A_{n}(n\in N)$ là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng

a) Tìm lần lượt $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}, A_{5},A_{6}$ $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}, A_{5},A_{6}$ để tính ra số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số $(A_{n})$ $(A_{n})$

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $A_{0}=100$ $A_{0}=100$

$A_{1}=100+100\times 0.008-2=98.8$ $A_{1}=100+100\times 0.008-2=98.8$

$A_{2}=98.8+98.8\times 0.008-2=97.59$ $A_{2}=98.8+98.8\times 0.008-2=97.59$

$A_{3}=97.59+97.59\times 0.008-2=96.37$ $A_{3}=97.59+97.59\times 0.008-2=96.37$

$A_{4}=96.37+96.37\times 0.008-2=95.14$ $A_{4}=96.37+96.37\times 0.008-2=95.14$

$A_{5}=95.14+95.14\times 0.008-2=93.90$ $A_{5}=95.14+95.14\times 0.008-2=93.90$

$A_{6}=93.90+93.90\times 0.008-2=92.65$ $A_{6}=93.90+93.90\times 0.008-2=92.65$

Vậy sau 6 tháng số tiền chị Hương còn nợ là 92.65 triệu đồng

b) Hệ thức truy hồi: $A_{n}=A_{n-1}+A_{n-1}\times 0.008-2=1.008A_{n-1}-2$ $A_{n}=A_{n-1}+A_{n-1}\times 0.008-2=1.008A_{n-1}-2$ (triệu đồng)