Toán 11 Bài tập cuối chương I Giải Toán 11 Kết nối tri thức trang 40, 41

Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên sin α > 0. Mặt khác từ $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$ suy ra $sin\alpha =\sqrt{1-c{ó}^2\alpha }=\sqrt{1-(-\frac{1}{\sqrt{3}}{)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

a) $sin(\alpha +\frac{\pi }{6})=sin\alpha cos\frac{\pi }{6}+cos\alpha sin\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+(-\frac{1}{\sqrt{3}})\times \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$

b) $cos(\alpha +\frac{\pi }{6})=cos\alpha cos\frac{\pi }{6}-sin\alpha sin\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{-3-\sqrt{6}}{6}$

c) $sin(\alpha -\frac{\pi }{3})=sin\alpha cos\frac{\pi }{3}-cos\alpha sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}-(-\frac{1}{\sqrt{3}})\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}+3}{6}$

d) $cos(\alpha -\frac{\pi }{6})=cos\alpha cos\frac{\pi }{6}+sin\alpha sin\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{-3+\sqrt{6}}{6}$

Bài 1.32

Cho góc bất kì α. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (sin α + cos α)² = 1 + sin 2α;

b) cos⁴α – sin⁴α = cos2α.

Gợi ý đáp án

a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin²α + cos²α = 1

và công thức nhân đôi: sin 2α = 2sin α cos α.

Ta có: VT=(sinα+cosα)² = sin²α + cos²α + 2sinαcosα = 1 + sin2α = VP (đpcm).

b) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin²α + cos²α = 1

và công thức nhân đôi: cos²α = cos²α – sin²α.

Ta có: VT = cos₄α – sin⁴α = (cos²α)² – (sin²α)²

=(cos²α + sin²α)(cos²α – sin²α) = 1 x cos 2α = cos 2α = VP (đpcm).

Bài 1.33

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y=2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1$

b) y = sinx + cosx

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $-1\le cos(2x-\frac{\pi }{3})\le 1$ với mọi $x\in R$

$\iff -2\le 2cos(2x-\frac{\pi }{3})\le 2$ với mọi $x\in R$

$\iff -2-1\le 2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1\le 2-1$ với mọi $x\in R$

$\iff -3\le 2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1\le 1$ với mọi $x\in R$

$\iff -3\le y\le 1$ với mọi $x\in R$

Vậy tập giá trị của hàm số $y=2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1là[-3;1]$

b) Ta có: $sinx+cosx=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}cosx)$

$=\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}sinx+sin\frac{\pi }{4}cosx)=\sqrt{2}(sinxcos\frac{\pi }{4}+cosxsin\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})$

Khi đó ta có hàm số $y=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})$

Lại có: $-1\le sin(x+\frac{\pi }{4})\le 1$ với mọi $x\in R$

$\iff -\sqrt{2}\le \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})\le \sqrt{2}$ với mọi $x\in R$

$\iff -\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}$ với mọi $x\in R$

Vậy tập giá trị của hàm số y = sinx + cosx là $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$

Bài 1.34

Giải các phương trình sau:

a) $cos(3x-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $2si{n}^{2}x-1+cos3x=0$

c) $tan(2x+\frac{\pi }{5})=tan(x-\frac{\pi }{6})$

Gợi ý đáp án

a) $cos(3x-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff cos(3x-\frac{\pi }{4})=cos\frac{3\pi }{4}$

$\iff 3x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi hoặc3x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$

$\iff 3x=\pi +k2\pi$ hoặc $3x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in Z)$

$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}$ hoặc $x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)vàx=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)$

b) $2si{n}^{2}x-1+cos3x=0\iff -(1-2si{n}^{2}x)+cos3x=0$

$\iff -cos2x+cos3x=0\iff cos3x=cos2x$

$\iff 3x=2x+k2\pi hoặc3x=-2x+k2\pi (k\in Z)$

$\iff x=k2\pi hoặc5x=k2\pi (k\in Z)$

$\iff x=k2\pi hoặcx=k\frac{2\pi }{5}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=k2\pi (k\in Z)vàx=k\frac{2\pi }{5}(k\in Z)$

c) $tan(2x+\frac{\pi }{5})=tan(x-\frac{\pi }{6})$

$\iff 2x+\frac{\pi }{5}=x-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z$

$\iff x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in Z$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in Z$

Bài 1.35

a) Chu kì của hàm số p(t) là $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{160\pi }=\frac{1}{80}$

b) Ta có cứ sau $T=\frac{1}{80}$ phút thì huyết áp lại lặp lại như cũ nên số nhịp tim mỗi phút là: $1:\frac{1}{80}=80$ nhịp.

c) Ta có: – 1 ≤ sin(160πt) ≤ 1$,\forall t\in \mathbb{R}$

⇔ – 25 ≤ 25sin(160πt) ≤ 25$,\forall t\in \mathbb{R}$

⇔ 115 + (– 25) ≤ 115 + 25sin(160πt) ≤ 115 + 25$,\forall t\in \mathbb{R}$

⇔ 90 ≤ p(t) ≤ 140$,\forall t\in \mathbb{R}$

Do đó, chỉ số huyết áp của người này là 140/90 và chỉ số huyết áp của người này cao hơn mức bình thường.

Bài 1.36

Theo bài ra ta có: i = 50°, n₁ = 1, n₂ = 1,33, thay vào $\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{n_2}{n_1}$ ta được:

$\frac{\sin 50°}{\sin r}=\frac{1.33}{1}$ (điều kiện sin r ≠ 0$\Rightarrow r\ne k\pi ,k\in Z$)

$\sin r=\frac{\sin 50°}{1.33}$

⇔ sin r ≈ 0,57597 (thỏa mãn điều kiện)

⇔ sin r ≈ sin(35°10’)

$\iff [\begin{array}{}x={35}^{\circ }{10}^{\prime }+k{360}^{\circ }\\ x={180}^{\circ }-{35}^{\circ }{10}^{\prime }+k{360}^{\circ }\end{array}$

$\iff [\begin{array}{}x={35}^{\circ }{10}^{\prime }+k{360}^{\circ }\\ x={144}^{\circ }{50}^{\prime }+k{360}^{\circ }\end{array},k\in Z$

Mà 0° < r < 90° nên r ≈ 35°10’.

Vậy góc khúc xạ r ≈ 35°10’.

2. Luyện tập Ôn tập cuối chương 1