Vì \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi nên sin α > 0. Mặt khác từ sin^{2} α + cos^{2} α = 1 suy ra sin\alpha =\sqrt{1-có^{2}\alpha }=\sqrt{1-(-\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}

a) sin(\alpha +\frac{\pi }{6})=sin\alpha cos\frac{\pi }{6}+cos\alpha sin\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+(-\frac{1}{\sqrt{3}})\times \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}

b) cos(\alpha +\frac{\pi }{6})=cos\alpha cos\frac{\pi }{6}-sin\alpha sin\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{-3-\sqrt{6}}{6}

c) sin(\alpha -\frac{\pi }{3})=sin\alpha cos\frac{\pi }{3}-cos\alpha sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}-(-\frac{1}{\sqrt{3}})\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}+3}{6}

d) cos(\alpha -\frac{\pi }{6})=cos\alpha cos\frac{\pi }{6}+sin\alpha sin\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{-3+\sqrt{6}}{6}

Bài 1.32

Cho góc bất kì α. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (sin α + cos α)2 = 1 + sin 2α;

b) cos4α – sin4α = cos2α.

Gợi ý đáp án

a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin2α + cos2α = 1

và công thức nhân đôi: sin 2α = 2sin α cos α.

Ta có: VT=(sinα+cosα)2 = sin2α + cos2α + 2sinαcosα = 1 + sin2α = VP (đpcm).

b) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin2α + cos2α = 1

và công thức nhân đôi: cos2α = cos2α – sin2α.

Ta có: VT = cos4α – sin4α = (cos2α)2 – (sin2α)2

=(cos2α + sin2α)(cos2α – sin2α) = 1 x cos 2α = cos 2α = VP (đpcm).

Bài 1.33

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y=2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1

b) y = sinx + cosx

Gợi ý đáp án

a) Ta có: -1\leq cos(2x-\frac{\pi }{3})\leq 1 với mọi x\in R

\Leftrightarrow -2\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})\leq 2 với mọi x\in R

\Leftrightarrow -2-1\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1\leq 2-1 với mọi x\in R

\Leftrightarrow -3\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1\leq 1 với mọi x\in R

\Leftrightarrow -3\leq y\leq 1 với mọi x\in R

Vậy tập giá trị của hàm số y=2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1 là [-3;1]

b) Ta có: sinx+cosx=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}cosx)

=\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}sinx+sin\frac{\pi }{4}cosx)=\sqrt{2}(sinxcos\frac{\pi }{4}+cosxsin\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})

Khi đó ta có hàm số y=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})

Lại có: -1\leq sin(x+\frac{\pi }{4})\leq 1 với mọi x\in R

\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})\leq \sqrt{2} với mọi x\in R

\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq y\leq \sqrt{2} với mọi x\in R

Vậy tập giá trị của hàm số y = sinx + cosx là [-\sqrt{2},\sqrt{2}]

Bài 1.34

Giải các phương trình sau:

a) cos(3x-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}

b) 2sin^{2}x-1+cos3x=0

c) tan(2x+\frac{\pi }{5})=tan(x-\frac{\pi }{6})

Gợi ý đáp án

a) cos(3x-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow cos(3x-\frac{\pi }{4})=cos\frac{3\pi }{4}

\Leftrightarrow 3x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi hoặc 3x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)

\Leftrightarrow 3x=\pi +k2\pi hoặc 3x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in Z)

\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3} hoặc x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z) và x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z)

b) 2sin^{2}x-1+cos3x=0\Leftrightarrow -(1-2sin^{2}x)+cos3x=0

\Leftrightarrow -cos2x+cos3x=0\Leftrightarrow cos3x=cos2x

\Leftrightarrow 3x=2x+k2\pi hoặc 3x=-2x+k2\pi (k\in Z)

\Leftrightarrow x=k2\pi hoặc 5x=k2\pi (k\in Z)

\Leftrightarrow x=k2\pi hoặc x=k\frac{2\pi }{5}(k\in Z)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=k2\pi (k\in Z) và x=k\frac{2\pi }{5}(k\in Z)

c) tan(2x+\frac{\pi }{5})=tan(x-\frac{\pi }{6})

\Leftrightarrow 2x+\frac{\pi }{5}=x-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z

\Leftrightarrow x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in Z

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in Z

Bài 1.35

a) Chu kì của hàm số p(t) là T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{160\pi }=\frac{1}{80}

b) Ta có cứ sau T=\frac{1}{80} phút thì huyết áp lại lặp lại như cũ nên số nhịp tim mỗi phút là: 1:\frac{1}{80}=80 nhịp.

c) Ta có: – 1 ≤ sin(160πt) ≤ 1,∀t\in \mathbb{R}

⇔ – 25 ≤ 25sin(160πt) ≤ 25,∀t\in \mathbb{R}

⇔ 115 + (– 25) ≤ 115 + 25sin(160πt) ≤ 115 + 25,∀t\in \mathbb{R}

⇔ 90 ≤ p(t) ≤ 140,∀t\in \mathbb{R}

Do đó, chỉ số huyết áp của người này là 140/90 và chỉ số huyết áp của người này cao hơn mức bình thường.

Bài 1.36

Theo bài ra ta có: i = 50°, n1 = 1, n2 = 1,33, thay vào \frac{\sin i}{\sin r}=\frac{n_{2}}{n_{1}} ta được:

\frac{\sin50°}{\sin r}=\frac{1.33}{1} (điều kiện sin r ≠ 0\Rightarrow r \ne k\pi , k\in Z)

\sin r = \frac{\sin50°}{1.33}

⇔ sin r ≈ 0,57597 (thỏa mãn điều kiện)

⇔ sin r ≈ sin(35°10’)

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}\ x=35^{\circ}10' +k360^{\circ} \\ x=180^{\circ} -35^{\circ}10' +k360^{\circ}\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}\ x=35^{\circ}10' +k360^{\circ} \\ x=144^{\circ}50' +k360^{\circ}\end{array} \right. ,k \in Z

Mà 0° < r < 90° nên r ≈ 35°10’.

Vậy góc khúc xạ r ≈ 35°10’.

2. Luyện tập Ôn tập cuối chương 1

Bài trắc nghiệm số: 4227