Toán 11 Bài tập cuối chương I Giải Toán 11 Kết nối tri thức trang 40, 41

Vì \(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi\) nên sin α > 0. Mặt khác từ \(sin^{2} α + cos^{2} α = 1\) suy ra \(sin\alpha =\sqrt{1-có^{2}\alpha }=\sqrt{1-(-\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)

a) \(sin(\alpha +\frac{\pi }{6})=sin\alpha cos\frac{\pi }{6}+cos\alpha sin\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+(-\frac{1}{\sqrt{3}})\times \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}\)

b) \(cos(\alpha +\frac{\pi }{6})=cos\alpha cos\frac{\pi }{6}-sin\alpha sin\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{-3-\sqrt{6}}{6}\)

c) \(sin(\alpha -\frac{\pi }{3})=sin\alpha cos\frac{\pi }{3}-cos\alpha sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}-(-\frac{1}{\sqrt{3}})\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}+3}{6}\)

d) \(cos(\alpha -\frac{\pi }{6})=cos\alpha cos\frac{\pi }{6}+sin\alpha sin\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{-3+\sqrt{6}}{6}\)

Bài 1.32

Cho góc bất kì α. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (sin α + cos α)² = 1 + sin 2α;

b) cos⁴α – sin⁴α = cos2α.

Gợi ý đáp án

a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin²α + cos²α = 1

và công thức nhân đôi: sin 2α = 2sin α cos α.

Ta có: VT=(sinα+cosα)² = sin²α + cos²α + 2sinαcosα = 1 + sin2α = VP (đpcm).

b) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin²α + cos²α = 1

và công thức nhân đôi: cos²α = cos²α – sin²α.

Ta có: VT = cos₄α – sin⁴α = (cos²α)² – (sin²α)²

=(cos²α + sin²α)(cos²α – sin²α) = 1 x cos 2α = cos 2α = VP (đpcm).

Bài 1.33

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) \(y=2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1\)

b) y = sinx + cosx

Gợi ý đáp án

a) Ta có: \(-1\leq cos(2x-\frac{\pi }{3})\leq 1\) với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow -2\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})\leq 2\) với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow -2-1\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1\leq 2-1\) với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow -3\leq 2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1\leq 1\) với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow -3\leq y\leq 1\) với mọi \(x\in R\)

Vậy tập giá trị của hàm số \(y=2cos(2x-\frac{\pi }{3})-1 là [-3;1]\)

b) Ta có: \(sinx+cosx=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}cosx)\)

\(=\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}sinx+sin\frac{\pi }{4}cosx)=\sqrt{2}(sinxcos\frac{\pi }{4}+cosxsin\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})\)

Khi đó ta có hàm số \(y=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})\)

Lại có: \(-1\leq sin(x+\frac{\pi }{4})\leq 1\) với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})\leq \sqrt{2}\) với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq y\leq \sqrt{2}\) với mọi \(x\in R\)

Vậy tập giá trị của hàm số y = sinx + cosx là \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)

Bài 1.34

Giải các phương trình sau:

a) \(cos(3x-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

b) \(2sin^{2}x-1+cos3x=0\)

c) \(tan(2x+\frac{\pi }{5})=tan(x-\frac{\pi }{6})\)

Gợi ý đáp án

a) \(cos(3x-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow cos(3x-\frac{\pi }{4})=cos\frac{3\pi }{4}\)

\(\Leftrightarrow 3x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi hoặc 3x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)\)

\(\Leftrightarrow 3x=\pi +k2\pi\) hoặc \(3x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in Z)\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}\) hoặc \(x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z)\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z) và x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3} (k\in Z)\)

b) \(2sin^{2}x-1+cos3x=0\Leftrightarrow -(1-2sin^{2}x)+cos3x=0\)

\(\Leftrightarrow -cos2x+cos3x=0\Leftrightarrow cos3x=cos2x\)

\(\Leftrightarrow 3x=2x+k2\pi hoặc 3x=-2x+k2\pi (k\in Z)\)

\(\Leftrightarrow x=k2\pi hoặc 5x=k2\pi (k\in Z)\)

\(\Leftrightarrow x=k2\pi hoặc x=k\frac{2\pi }{5}(k\in Z)\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x=k2\pi (k\in Z) và x=k\frac{2\pi }{5}(k\in Z)\)

c) \(tan(2x+\frac{\pi }{5})=tan(x-\frac{\pi }{6})\)

\(\Leftrightarrow 2x+\frac{\pi }{5}=x-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in Z\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in Z\)

Bài 1.35

a) Chu kì của hàm số p(t) là \(T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{160\pi }=\frac{1}{80}\)

b) Ta có cứ sau \(T=\frac{1}{80}\) phút thì huyết áp lại lặp lại như cũ nên số nhịp tim mỗi phút là: \(1:\frac{1}{80}=80\) nhịp.

c) Ta có: – 1 ≤ sin(160πt) ≤ 1\(,∀t\in \mathbb{R}\)

⇔ – 25 ≤ 25sin(160πt) ≤ 25\(,∀t\in \mathbb{R}\)

⇔ 115 + (– 25) ≤ 115 + 25sin(160πt) ≤ 115 + 25\(,∀t\in \mathbb{R}\)

⇔ 90 ≤ p(t) ≤ 140\(,∀t\in \mathbb{R}\)

Do đó, chỉ số huyết áp của người này là 140/90 và chỉ số huyết áp của người này cao hơn mức bình thường.

Bài 1.36

Theo bài ra ta có: i = 50°, n₁ = 1, n₂ = 1,33, thay vào \(\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\) ta được:

\(\frac{\sin50°}{\sin r}=\frac{1.33}{1}\) (điều kiện sin r ≠ 0\(\Rightarrow r \ne k\pi , k\in Z\))

\(\sin r = \frac{\sin50°}{1.33}\)

⇔ sin r ≈ 0,57597 (thỏa mãn điều kiện)

⇔ sin r ≈ sin(35°10’)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}\ x=35^{\circ}10' +k360^{\circ} \\ x=180^{\circ} -35^{\circ}10' +k360^{\circ}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}\ x=35^{\circ}10' +k360^{\circ} \\ x=144^{\circ}50' +k360^{\circ}\end{array} \right. ,k \in Z\)

Mà 0° < r < 90° nên r ≈ 35°10’.

Vậy góc khúc xạ r ≈ 35°10’.

2. Luyện tập Ôn tập cuối chương 1