Toán 9 Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Giải Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 21, 22, 23

Giải bài tập Toán 9 Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức trang 21, 22, 23. Qua đó, giúp các em ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán.

Giải Toán 9 chi tiết phần luyện tập, bài tập của Bài 3 Chương I: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Bên cạnh đó, cũng giúp thầy cô soạn giáo án cho học sinh của mình. Vậy mời thầy cô và các em cùng theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn:

Phần Luyện tập

Luyện tập 1 trang 22 Toán 9 Tập 1

Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài 170km. Sau khi xe khách xuất phát 1 giờ 40 phút, một chiếc xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh và gặp xe khách sau đó 40 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15km.

Hướng dẫn. Gọi x (km/h) là vận tốc của xe tải và y (km/h) là vận tốc xe khách (x, y > 0). Chú ý rằng hai xe (đi ngược chiều) gặp nhau khi tổng quãng đường hai xe đã đi bằng 170 km.

Lời giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe tải và y (km/h) là vận tốc xe khách (x, y > 0)

Do mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15 km nên ta có phương trình:

y = x + 15 (1)

Thời gian xe khách đi từ TP Hồ Chí Minh đến điểm gặp nhau là:

1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = \(\frac{8}{3}\) giờ

Quãng đường xe khách đi được trong thời gian \(\frac{8}{3}\) giờ là: \(\frac{8}{3}y\) (km)

Thời gian xe tải đi từ Cần Thơ đến điểm gặp nhau là: 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ

Quãng đường xe tải đi được trong thời gian\(\frac{2}{3}\) giờ là: \(\frac{2}{3}x\) (km)

Vì hai xe di chuyển ngược chiều nên tổng quãng đường hai xe đi được chính là khoảng cách từ HCM đến Cần Thơ nên ta có phương trình:

\(\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}y=170\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} y=x+15 \ (1) \\ \frac{2}{3}x+\frac{8}{3}y=170 \ (2)\end{array} \right.\)

Từ (1) thế y = x + 15 vào phương trình (2), ta được:

\(\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}\left(x+15\right)=170\) hay \(\frac{10}{3}x+40=170\), suy ra x = 39.

Từ đó ta được y = 39 + 15 = 54.

Các giá trị x = 39 và y = 54 thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc của xe tải là 39 km/h và vận tốc xe khách là 54 km/h.

Luyện tập 2 trang 23 Toán 9 Tập 1

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được \(\frac{2}{15}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?

Lời giải:

1 giờ 20 phút = 80 phút

Gọi x (phút), y (phút) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy một mình để đầy bể.

(Điều kiện: x, y > 80)

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được: \(\dfrac{1}{x}\) (bể); vòi thứ hai chảy được: \(\dfrac{1}{y}\) (bể).

Do cả hai vòi cùng chảy trong 80 phút thì đầy bể nên ta có phương trình:

\(80.\dfrac{1}{x} + 80.\dfrac{1}{y} = 1\) (1)

Vì mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được \(\frac{2}{15}\) bể nước nên ta có phương trình:

\(10.\frac{1}{x} + 12.\frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \((I)\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{80.\dfrac{1}{x} + 80.\dfrac{1}{y} = 1}\\{10.\dfrac{1}{x} + 12.\dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{{15}}}\end{array}} \right.\)

Đặt \(u= \dfrac{1}{x} ;\ v=\dfrac{1}{y}\) thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là u và v:

\((II) \ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{80u + 80v = 1} \\{10u + 12v = \dfrac{2}{{15}}} \end{array}} \right.\)

Nhân cả hai vế phương trình thứ hai của hệ (II) với 8 ta được:

\((III) \ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{80u + 80v = 1} \ \\{80u + 96v = \dfrac{16}{{15}}} \ \end{array}} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ (III), ta được

\(16v=\frac{1}{15}\), suy ra \(v=\frac{1}{240}\)

Do đó \(80u+80.\frac{1}{240}=1\), suy ra \(u=\frac{1}{120}\)

Từ đó, ta có:

\(u=\frac{1}{x}=\frac{1}{120}\) suy ra x = 120; \(v=\frac{1}{y}=\frac{1}{240}\) suy ra y = 240.

Vậy nếu chảy một mình, để đầy bể vòi thứ nhất chảy trong 120 phút , vòi thứ hai chảy trong 240 phút.

Phần Bài tập

Bài 1.15 trang 23 Toán 9 Tập 1

Tìm số tự nhiên N có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số đó bằng 12, và nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn N là 36 đơn vị.

Lời giải:

Gọi số tự nhiên N có hai chữ số có dạng \(\overline{ab} \ (0 < a,b \le 9, \ a,b \in N)\)

Do tổng của hai chữ số bằng 12 nên ta có phương trình:

a + b = 12 (1)

Hai chữ số được viết theo thứ tự ngược lại có dạng \(\overline{ba}\)

Do khi viết theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn N 36 đơn vị, nên ta có phương trình:

\(\overline{ba} -\overline{ab} =36\)

(10b + a) - (10a + b) = 36

- a + b = 4 (2)

Từ (1) và (2) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} a+b = 12 \\ -a + b=4 \end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được 2b = 16, suy ra b = 8.

Thế b = 8 vào phương trình thứ hai thứ nhất của hệ, ta được a + 8 = 12, suy ra a = 4.

Các giá trị a = 4 và b = 8 thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy số tự nhiên N cần tìm là: 48.

Bài 1.16 trang 23 Toán 9 Tập 1

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu "?"):

Em hãy tìm lại các số bị mờ trong hai số đó.

Lời giải:

Gọi số thứ nhất bị mờ là x, số thứ hai bị mờ là y (x > 0, y > 0 ).

Số lần bắn là 100 nên ta có: 25 + 42 + x + 15 + y = 100 hay x + y = 18. (1)

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có phương trình:

10 . 25 + 9 . 42 + 8x + 7 . 15 + 6y = 100 . 8,69

250 + 378 + 8x + 105 + 6y = 869

8x + 6y = 136

4x + 3y = 68. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 18\\4x + 3y = 68;\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 54\\4x + 3y = 68;\end{array} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được –x = –14 hay x = 14 (thỏa mãn điều kiện).

Thế x = 14 vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta có 14 + y = 18 suy ra y = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số thứ nhất bị mờ là 14, số thứ hai bị mờ là 4.

Bài 1.17 trang 23 Toán 9 Tập 1

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc. Năm nay, hai đơn vị thu hoạch 4 095 tấn thóc. Hỏi năm nay, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc, biết rằng năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái?

Lời giải:

Gọi số thóc của hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x, y (tấn thóc) (x, y > 0).

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc nên ta có phương trình x + y = 3 600 (tấn thóc).

Năm nay đội thứ nhất làm vượt mức 15% so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được 115%x = 1,15x (tấn thóc).

Đội thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được 112%y = 1,12y (tấn thóc).

Nên năm nay hai đội thu hoạch được 4 095 tấn thóc, ta có phương trình

1,15x + 1,12y = 4095.

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3600\\1,15x + 1,12y = 4095;\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất ta có y = 3 600 – x. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

1,15x + 1,12(3 600 – x) = 4 095, tức là 0,03x + 4 032 = 4 095.

Suy ra 0,03x = 63 hay x = 2 100 (thỏa mãn điều kiện).

Từ đó y = 3 600 – 2 100 = 2415 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy năm nay đội thứ nhất thu hoạch được 2415 tấn thóc, đội thứ hai thu hoạch được 1680 tấn thóc.

Bài 1.18 trang 23 Toán 9 Tập 1

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ 2 làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công viêc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Lời giải:

Gọi x (giờ), y (giờ) lần lượt là thời gian để người thứ nhất và người thứ hai một mình hoàn thành công việc. (Điều kiện x, y > 16).

Trong một giờ, người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\)(công việc)

Người thứ hai làm được \(\dfrac{1}{y}\)(công việc);

Hai người làm được: \(\frac{1}{16}\) (công việc)

Do đó ta có phương trình:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\) (1)

Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành 25% công việc nên ta có phương trình:

\(\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \((I) \ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{16}}}\\{\dfrac{3}{x} + \dfrac{6}{y} = \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.\)

Nếu đặt \(u=\frac{1}{x}\) và \(v=\frac{1}{y}\) thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là u và v:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{1}}{u + v = \dfrac{1}{{16}}}\\{3u + 6v = \dfrac{1}{4}}\end{array} } \right.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ mới, ta có \(u=\frac{1}{16}-v\)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ mới, ta được

\(3\left(\frac{1}{16}-v\right)+6v=\frac{1}{4}\) hay \(\frac{3}{16}+3v=\frac{1}{4}\). Suy ra \(v=\frac{1}{24}\).

Do đó \(u=\frac{1}{16}-\frac{1}{24}=\frac{1}{48}\)

Từ đó ta có:

\(u=\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\) suy ra x = 24.

\(v=\frac{1}{y}=\frac{1}{48}\) suy ra y = 48.

Các giá trị x = 24 và y = 48 thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc sau 24 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.