Toán 9 Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Giải Toán 9 Kết nối tri thức tập 1 trang 11, 12, 13, 14, 15, 16

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức trang 11, 12, 13, 14, 15, 16. Qua đó, giúp các em ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán.

Giải Toán 9 Bài 2 chi tiết phần câu hỏi, luyện tập, bài tập, đồng thời còn giúp các em hệ thống lại toàn bộ kiến thức trọng tâm của Bài 2 Chương I: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Bên cạnh đó, cũng giúp thầy cô soạn giáo án cho học sinh của mình. Vậy mời thầy cô và các em cùng theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn:

Phần Vận dụng

Vận dụng 1 trang 12 Toán 9 tập 1

Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y ∈ N*).

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x, y.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

Bài toán: Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Hãy tính số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó, biết rằng:

- Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây;

- Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

Lời giải:

Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y ∈ N*).

Số cây cải bắp được trồng trong vườn là: xy (cây).

* Số luống trong vườn sau khi tăng thêm 8 luống là: x + 8 (luống).

Mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây cải bắp ở mỗi luống là: y – 3 (cây).

Do số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây nên ta có phương trình:

(x + 8)(y – 3) = xy – 108

xy – 3x + 8y – 24 = xy – 108

3x – 8y = 84 (1)

* Số luống trong vườn sau khi giảm đi 4 luống là: x – 4 (luống).

Mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cây cải bắp ở mỗi luống là: y + 2 (cây).

Do số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có phương trình:

(x – 4)( y + 2) = xy + 64

xy + 2x – 4y – 8 = xy + 64

2x – 4y = 72

x – 2y = 36 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 8y = 84 \\x - 2y = 36\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có x = 2y + 36. Thế vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được 3(2y + 36) - 8y = 84 hay - 2y + 108 = 84. Suy ra y = 12.

Từ đó x = 2 . 12 + 36 = 60

Vậy số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn là 60 . 12 = 720 cây.

Vận dụng 2 trang 16 Toán 9 tập 1

Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20% và số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%.

a) Gọi x là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20%, y số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua x và y:

- Thể tích của dung dịch acid HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.

- Tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ phương trình bậc nhất với hai ẩn là x, y. Giải hệ phương trình này để tính số mililít cần lấy của mỗi dung dịch acid HCl ở trên.

Lời giải:

a) Gọi x là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20%, y số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần lấy.

* Thể tích của dung dịch acid HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn bằng tổng thể tích của hai dung dịch acid HCl nồng độ 20% và acid HCl nồng độ 5%.

Do phải pha chế 2 lít = 2 000 ml dung dịch acid HCl nồng độ 10% nên ta có phương trình:

x + y = 2 000 (1)

* Số gam acid HCl nồng độ 20% nguyên chất là: 20% . x = 0,2x (g).

Số gam acid HCl nồng độ 5% nguyên chất là: 5 % . y = 0,05y (g).

Số gam acid HCl nồng độ 10% nguyên chất là: 2 000 . 10% = 200 (g).

Vậy tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này là:

0,2x + 0,05y = 200 (2)

b) Từ kết quả câu a, ta lập được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x+y=2000 \\0,2x + 0,05y = 200\end{array} \right.\)

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 0,05, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x+y=2000 \\4x + y = 4000\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ mới ta được:

3x = 2 000, suy ra \(x=\frac{2000}{3}\)

Thế \(x=\frac{2000}{3}\) vào phương trình thứ nhất của hệ đã lập, ta có: \(\frac{2000}{3}+y=2000\), suy ra \(y=\frac{4000}{3}\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left(\frac{2000}{3};\frac{4000}{3}\right)\).

Phần Bài tập

Bài 1.6 trang 16 Toán 9 tập 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

\(a)\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\3x - 4y = 2;\end{array} \right.\)

\(b)\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 13\\4x + y = 2;\end{array} \right.\)

\(c) \left\{ \begin{array}{l}0,5x - 1,5y = 1\\ - x + 3y = 2.\end{array} \right.\)

Lời giải:

\(a) \left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\3x - 4y = 2;\end{array} \right.\)

Từ phương trình đầu ta có \(x = 3 + y\) thế vào phương trình thứ hai ta được \(3\left( {3 + y} \right) - 4y = 2\) suy ra \(9 - y = 2\) nên \(y = 7.\) Thế \(y = 7\) vào phương trình đầu ta có \(x = 10.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {10;7} \right).\)

\(b) \left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 13\\4x + y = 2;\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai ta có \(y = 2 - 4x\) thế vào phương trình đầu ta được \(7x - 3\left( {2 - 4x} \right) = 13\) suy ra \(- 6 + 19x = 13\) nên \(x = 1.\) Thế \(x = 1\) vào phương trình thứ hai ta có \(y = - 2.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {1; - 2} \right).\)

\(c) \left\{ \begin{array}{l}0,5x - 1,5y = 1\\ - x + 3y = 2.\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai ta có \(x = 3y - 2\) thế vào phương trình đầu ta được \(0,5\left( {3y - 2} \right) - 1,5y = 1\) suy ra \(0y - 1 = 1\) hay \(0y = 2\) (vô lí) . Phương trình này không có giá trị nào của y thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 1.7 trang 16 Toán 9 tập 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số;

\(a) \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 6\\2x - 2y = 14;\end{array} \right.\)

\(b) \left\{ \begin{array}{l}0,5x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5;\end{array} \right.\)

\(c) \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 6y = 8\\3x - 9y = - 12.\end{array} \right.\)

Lời giải:

\(a) \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 6\\2x - 2y = 14;\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {3x + 2y} \right) + \left( {2x - 2y} \right) = 6 + 14\) nên \(5x = 20\) suy ra \(x = 4.\)

Thế \(x = 4\) vào phương trình thứ nhất ta được \(3.4 + 2y = 6\) nên \(2y = - 6\) suy ra \(y = - 3.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {4; - 3} \right)\).

\(b) \left\{ \begin{array}{l}0,5x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5;\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được \(1,5x + 1,5y = 9,\) vậy hệ đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}1,5x + 1,5y = 9\\1,5x - 2y = 1,5;\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {1,5x + 1,5y} \right) - \left( {1,5x - 2y} \right) = 9 - 1,5\) nên \(3,5y = 7,5\) suy ra \(y = \frac{{15}}{7}.\)

Thế \(y = \frac{{15}}{7}\) vào phương trình thứ hai ta được \(1,5x - 2.\frac{{15}}{7} = 1,5\) nên \(1,5x = \frac{{81}}{7}\) suy ra \(x = \frac{{27}}{7}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{{27}}{7};\frac{{15}}{7}} \right)\).

\(c) \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 6y = 8\\3x - 9y = - 12.\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{2}\) ta được \(- x + 3y = 4,\) nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{1}{3}\) ta được \(x - 3y = - 4.\)

Vậy hệ đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = 4\\x - 3y = - 4\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( { - x + 3y} \right) + \left( {x - 3y} \right) = 4 + \left( { - 4} \right)\) nên \(0x + 0y = 0\) (luôn đúng) .

Ta thấy phương trình luôn đúng với x tùy ý và y tùy ý. Với giá trị tùy ý của y, giá trị của x được tính bởi phương trình \(- x + 3y = 4,\) suy ra \(x = 3y - 4\) nên hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {3y - 4;y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\).

Bài 1.8 trang 16 Toán 9 tập 1

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 2{m^2}x + 9y = 3\left( {m + 3} \right)\end{array} \right.\), trong đó m là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) \(m = - 2;\)

b) \(m = - 3;\)

c) \(m = 3.\)

Lời giải:

a) Thay \(m = - 2\) vào hệ phương trình đã cho ta được\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 8x + 9y = 3\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được \(8x - 4y = - 12,\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 4y = - 12\\ - 8x + 9y = 3\end{array} \right..\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {8x - 4y} \right) + \left( { - 8x + 9y} \right) = \left( { - 12} \right) + 3\) nên \(5y = - 9\) suy ra \(y = \frac{{ - 9}}{5}.\) Thế \(y = \frac{{ - 9}}{5}\) vào phương trình \(2x - y = - 3\) ta được \(2x - \frac{{ - 9}}{5} = - 3\) suy ra \(x = - \frac{{12}}{5}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( { - \frac{{12}}{5}; - \frac{9}{5}} \right).\)

b) Thay \(m = - 3\) vào hệ phương trình đã cho ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 18x + 9y = 0\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{1}{9}\), ta được \(- 2x + y = 0,\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2y - y = - 3\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {2x - y} \right) + \left( { - 2x + y} \right) = - 3 + 0\) nên \(0x + 0y = - 3\) (vô lí) . Phương trình này không có giá trị nào của x và của y thỏa mãn nên hệ phương trình vô nghiệm.

c) Thay \(m = 3\) vào hệ phương trình đã cho ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\ - 18x + 9y = 18\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{1}{9}\), ta được \(- 2x + y = 2,\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2y - y = - 3\\ - 2x + y = 2\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {2x - y} \right) + \left( { - 2x + y} \right) = - 3 + 2\) nên \(0x + 0y = - 1\) (vô lí) .

Phương trình này không có giá trị nào của x và của y thỏa mãn nên hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 1.9 trang 16 Toán 9 tập 1

Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

\(a) \left\{ \begin{array}{l}12x - 5y + 24 = 0\\ - 5x - 3y - 10 = 0;\end{array} \right.\)

\(b) \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3}\\x - 3y = 2;\end{array} \right.\)

\(c) \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\ - x + 2y = 0;\end{array} \right.\)

\(d) \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{9}x - \frac{3}{5}y = 11\\\frac{2}{9}x + \frac{1}{5}y = - 2.\end{array} \right.\)

Lời giải:

\(a) \left\{ \begin{array}{l}12x - 5y + 24 = 0\\ - 5x - 3y - 10 = 0;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x = - \frac{{77}}{{61}};y = \frac{{108}}{{61}}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( { - \frac{{77}}{{61}};\frac{{108}}{{61}}} \right).\)

\(b) \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3}\\x - 3y = 2;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính, màn hình hiển thị “Infinite Sol”. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

\(c) \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\ - x + 2y = 0;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{4}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right).\)

\(d) \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{9}x - \frac{3}{5}y = 11\\\frac{2}{9}x + \frac{1}{5}y = - 2.\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x = \frac{9}{2};y = - 15.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{9}{2}; - 15} \right).\)