Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối Giải Toán 11 Cánh diều trang 107, 108, 109, ... 115 - Tập 2

Toán lớp 11 trang 115 Cánh diều tập 2 là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài 6 Hình lăng trụ đứng - Hình chóp đều - Thể tích của một số hình khối được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập trang 107→115. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 trang 115 Cánh diều Tập 2, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 trang 115 Cánh diều - Tập 2

Bài 1

Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở Hình 96a, trạm khảo sát trắc địa ở Hình 96b có dạng hình gì?

Gợi ý đáp án

Hình 96a có dạng hình khối lăng trụ

Hình 96b có dạng hình khối chóp cụt đều

Bài 2

Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a

a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 độ

Gợi ý đáp án

a) ABCD là hình vuông => AC = BD = a$\sqrt{2}$

Xét $\mathrm{\Delta }$ ASC có SA² + SC² = 2a² = AC², SA = SC

=> Tam giác ASC là tam giác vuông cân tại S

Xét $\mathrm{\Delta }$ BSD có: SB² + SD² = 2a² = BD², SB = SD

=> Tam giác BSD là tam giác vuông cân tại S

b) Tam giác ASC là tam giác vuông cân tại S => SO ⊥ AC

Tam giác BSD là tam giác vuông cân tại S => SO ⊥ BD

=> SO ⊥ (ABCD)

c) SO ⊥ (ABCD) => (SA,(ABCD)) = (SA,OA) = $\widehat{SAO}$

Tam giác ASC vuông cân tại S => $\widehat{SAO}$ = 45^∘

Vậy (SA,(ABCD)) = 45^∘

Bài 3

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B'C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC” và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.

Gợi ý đáp án

a) ABCD là hình vuông => AB ⊥ BD

BB′ ⊥ (ABCD) => BB′ ⊥ AC

=>AC ⊥ (BDD′B′)

mà AC ⊂ (ACC′A′)

=>(ACC′A′) ⊥ (BDD′B′)

b) Có AB // CD

CD // C'D'

=> AB // C'D'

=> d(AB,C'D') = d(B,C'D')

Tương tự, có d(B, C'D') = BC'

ABCD là hình vuông

=> AC = a$\sqrt{2}$

CC′ ⊥ (ABCD) => (AC′,(ABCD)) = (AC′,AC) = $\widehat{CA{C}^{\prime }}$ = 60^∘

=> CC ′= AC.tan$\widehat{CA{C}^{\prime }}$ = a$\sqrt{6}$

Tam giác BCC' vuông tại C => BC′² = a$\sqrt{7}$

Bài 4

Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh là 15 cm, 15cm và 6cm. Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó

Gợi ý đáp án

Thể tích chiếc bánh chưng là: 15.15.6 = 1350 (cm²)

Bài 5

Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao 10 cm và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 12 cm. Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là 3g/cm².

Gợi ý đáp án

Diện tích đáy của miếng phomat là:

$\frac{1}{2}$⋅6$\sqrt{3}$⋅12$\sqrt{2}$ = 36$\sqrt{6}$

Thể tích của miếng phomat là: 36$\sqrt{6}$⋅10 ≈ 882 (cm²)

Vậy khối lượng của miếng phomat là: 882.3 = 2646 (g)

Bài 6

Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều. Tính theo a thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng a

Gợi ý đáp án

Có diện tích đáy là a^{2}

Chiều cao của khối chóp là: $\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a^2}{2}$

Thể tích là: $\frac{1}{3\cdot }\frac{a^2}{2}\cdot a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

Bài 7

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m³. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Gợi ý đáp án

Theo đề bài, ta có AB = 5, A'B' = 2, CC' = 3

Có ABCD là hình vuông

=> AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=5\sqrt{2}$

=> CO = $\frac{1}{2}AC=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Có A'B'C'D' là hình vuông

A'C' = $\sqrt{A^{\prime }{B}^{\prime 2}+B^{\prime }{C}^{\prime 2}}=2\sqrt{2}$

=> C'O' = $\frac{1}{2}{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{2}$

Kẻ C'H ⊥ OC

=> OHC'O' là hình chữ nhật

=> $OH=O^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{2},O{O}^{\prime }=C^{\prime }H=>CH=OC-OH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

- Có tam giác CC'H vuông tại H => $C^{\prime }H=\frac{3\sqrt{2}}{2}=>O{O}^{\prime }=C^{\prime }H=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Diện tích đáy lớn là $S=A{B}^2=5^2=25(m^2)$

Diện tích đáy bé là $S^{\prime }=A^{\prime }{B}^{\prime 2}=2^2=4(m^2)$

Thể tích hình chóp cụt là

$V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime })$

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}(25+\sqrt{25.4}+4)=\frac{39\sqrt{2}}{2}(m^3)$

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

$\frac{39\sqrt{2}}{2}.1470000\approx 40538432$ (đồng)