Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân Giải Toán 11 Cánh diều trang 53, 54, 55, 56

Bài trước

Mục lục

Bài sau

Toán lớp 11 tập 1 trang 53, 54, 55, 56 Cánh diều là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài 3 Cấp số nhân được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 56. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Toán 11 tập 1 Bài 3 Cấp số nhân Cánh diều, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Toán lớp 11 tập 1 trang 56 - Cánh diều

Toán lớp 11 tập 1 trang 56 - Cánh diều

Bài 1 trang 56

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) $5; -0,5; 0,05; -0,005; 0,0005$;

b) $-9, 3, -1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{9}$ $-9, 3, -1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{9}$;

c) $2, 8, 32, 64, 256$.

Gợi ý đáp án

a) Vì $\frac{-0,5}{5}=\frac{0,05}{-0,5}=\frac{-0,005}{0,05}=\frac{0,0005}{-0,005}=-\frac{1}{10}$ $\frac{-0,5}{5}=\frac{0,05}{-0,5}=\frac{-0,005}{0,05}=\frac{0,0005}{-0,005}=-\frac{1}{10}$ nên dãy số đã cho là cấp số nhân với $q=-\frac{1}{10}$ $q=-\frac{1}{10}$.

b) Vì $\frac{3}{-9}=\frac{-1}{3}=\frac{\frac{1}{3}}{-1}=\frac{\frac{-1}{9}}{\frac{1}{3}}=-\frac{1}{3}$ $\frac{3}{-9}=\frac{-1}{3}=\frac{\frac{1}{3}}{-1}=\frac{\frac{-1}{9}}{\frac{1}{3}}=-\frac{1}{3}$ nên dãy số đã cho là cấp số nhân với $q=-\frac{1}{3}$ $q=-\frac{1}{3}$.

c) Vì $\frac{8}{2}=\frac{32}{8}=\frac{256}{64}\neq \frac{64}{32}$ $\frac{8}{2}=\frac{32}{8}=\frac{256}{64}\neq \frac{64}{32}$ nên dãy số đã cho không phải là cấp số nhân.

Bài 2 trang 56

Chứng minh mỗi dãy số ( $u_{n}$ $u_{n}$) với số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:

a) $u_{n}=\frac{-3}{4}.2^{n}$ $u_{n}=\frac{-3}{4}.2^{n}$;

b) $u_{n}=\frac{5}{3^{n}}$ $u_{n}=\frac{5}{3^{n}}$;

c) $u_{n}=(-0.75)^{n}$ $u_{n}=(-0.75)^{n}$.

Gợi ý đáp án

a) Với $n=1; 2; 3; 4$;... ta được dãy số $-\frac{3}{2}; -3;-6;-12$ $-\frac{3}{2}; -3;-6;-12$;...

Do đó, $u_{n}=\frac{-3}{4}.2^{n}$ $u_{n}=\frac{-3}{4}.2^{n}$ là cấp số nhân với $q=2$.

b) Với $n=1; 2; 3; 4$;... ta được dãy số $\frac{5}{3};\frac{5}{9};\frac{5}{27};\frac{5}{81}$ $\frac{5}{3};\frac{5}{9};\frac{5}{27};\frac{5}{81}$;...

Do đó, $u_{n}=\frac{5}{3^{n}}$ $u_{n}=\frac{5}{3^{n}}$ là cấp số nhân với $q=\frac{1}{3}$ $q=\frac{1}{3}$.

c) Với $n=1; 2; 3; 4$;... ta được dãy số $-\frac{3}{4};\frac{9}{16};-\frac{27}{64};\frac{81}{256}$ $-\frac{3}{4};\frac{9}{16};-\frac{27}{64};\frac{81}{256}$;...

Do đó, $u_{n}=(-0.75)^{n}$ $u_{n}=(-0.75)^{n}$ là cấp số nhân với $q=-\frac{3}{4}$ $q=-\frac{3}{4}$

Bài 3 trang 56

Cho cấp số nhân ( $u_{n}$ $u_{n}$) với số hạng đầu $u_{n}=-5$ $u_{n}=-5$, công bội $q=2$.

a) Tìm $u_{9}$ $u_{9}$.

b) Số $-320$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

c) Số $160$ có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Gợi ý đáp án

a) Ta có số hạng tổng quát: $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}=-5.2^{n-1}$ $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}=-5.2^{n-1}$.

Do đó: $u_{9}=(-5).2^{9-1}=-1280$ $u_{9}=(-5).2^{9-1}=-1280$.

b) Ta có: $-5.2^{n-1}=-320 \Leftrightarrow n=7$ $-5.2^{n-1}=-320 \Leftrightarrow n=7$. Vậy -320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân trên.

c) Số 160 không phải là số hạng của cấp số nhân trên.

Bài 4 trang 56

Cho cấp số nhân ( $u_{n}$ $u_{n}$) với $u_{1}=3, u_{3}=\frac{27}{4}$ $u_{1}=3, u_{3}=\frac{27}{4}$.

a) Tìm công bội $q$ và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Gợi ý đáp án

a) $u_{3}= 3.q^{2}=\frac{27}{4}\Leftrightarrow q^{2}=\frac{9}{4}\Leftrightarrow q=\pm \frac{3}{2}$ $u_{3}= 3.q^{2}=\frac{27}{4}\Leftrightarrow q^{2}=\frac{9}{4}\Leftrightarrow q=\pm \frac{3}{2}$

$q=\frac{3}{2}\Rightarrow$ $q=\frac{3}{2}\Rightarrow$ Năm số hạng đầu: $3;\frac{9}{2};\frac{27}{4};\frac{81}{8};\frac{243}{16}$ $3;\frac{9}{2};\frac{27}{4};\frac{81}{8};\frac{243}{16}$

$q=-\frac{3}{2}\Rightarrow$ $q=-\frac{3}{2}\Rightarrow$ Năm số hạng đầu: $3;-\frac{9}{2};\frac{27}{4};-\frac{81}{8};\frac{243}{16}$ $3;-\frac{9}{2};\frac{27}{4};-\frac{81}{8};\frac{243}{16}$

b) $q=\frac{3}{2}\Rightarrow S_{10}=\frac{3.\left [ 1-(\frac{3}{2})^{10} \right ]}{1-\frac{3}{2}}=339,99$ $q=\frac{3}{2}\Rightarrow S_{10}=\frac{3.\left [ 1-(\frac{3}{2})^{10} \right ]}{1-\frac{3}{2}}=339,99$

$q=-\frac{3}{2}\Rightarrow S_{10}=\frac{3.\left [ 1-(-\frac{3}{2})^{10} \right ]}{1+\frac{3}{2}}=-67,998$ $q=-\frac{3}{2}\Rightarrow S_{10}=\frac{3.\left [ 1-(-\frac{3}{2})^{10} \right ]}{1+\frac{3}{2}}=-67,998$

Bài 5 trang 56

Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi $u_{n}$ $u_{n}$ là dân số của tỉnh đó sau $n$ năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau $n$ năm kể từ năm 2020.

b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020.

Gợi ý đáp án

a) $u_{n}=2.0,01^{n-1}$ $u_{n}=2.0,01^{n-1}$ (triệu dân)

b) $u_{10}=2.0,01^{9}=\frac{2}{100^{9}}$ $u_{10}=2.0,01^{9}=\frac{2}{100^{9}}$ (triệu dân)

Bài 6 trang 56

Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng.

b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau $n$ năm sử dụng.

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

Gợi ý đáp án

a) Sau 1 năm sử dụng, giá trị ô tô là: $u_{1}=800(1-0,04)$ $u_{1}=800(1-0,04)$

Sau 2 năm sử dụng, giá trị ô tô là: $u_{2}=800(1-0,04)^{2}$ $u_{2}=800(1-0,04)^{2}$

b) Giá trị ô tô sau n năm sử dụng là: $u_{n}=800(1-0,04)^{n}$ $u_{n}=800(1-0,04)^{n}$

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính là: $u_{10}=800(1-0,04)^{10}$ $u_{10}=800(1-0,04)^{10}$

Bài 7 trang 56

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống.

Gợi ý đáp án

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên lại rơi xuống là: $S_{10}=\frac{100(1-0,75^{10})}{1-0,75}$ $S_{10}=\frac{100(1-0,75^{10})}{1-0,75}$

Chia sẻ bởi: