Giải Toán 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 2 (trang 91, 92)

a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).

c) Vẽ OH ⊥ BC.

⇒ OH là khoảng cách từ từ tâm O đến BC

Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)

⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến ⇒ OH = 1/2 BC=BH

Xét tam giác vuông OHB có: r2 + r2 = OB2 = 22 ⇒ 2r2 = 4 ⇒ r2 = 2 ⇒ r = √2(cm)

Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.

Vẽ hình

a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa).

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .

+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.

Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.

b) Gọi A';B';C' lần lượt là trung điểm của BC;AC;AB.

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác AA';BB';CC' của tam giác đều ABC).

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA.

Hai đường trung trực cắt nhau tại O.

Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R=OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính AA':

Xét tam giác AA'C vuông tại A' có AC=3;, theo định lý Pytago ta có

Theo cách dựng ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (cm).

c) Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.

Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A', B', C' của các cạnh.

Hay đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O; bán kính r=OA’ = OB’ = OC’.

Ta có: (cm).

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,B,C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ∆IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R).

Vẽ hình:

+) Hình a.

Cách vẽ: vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung mà dây căng cung có độ dài bằng R. Nối với với với A ₁ ta được hình lục giác đều nội tiếp đường tròn

Tính bán kính:

Gọi là cạnh của đa giác đều có i cạnh.

 là tam giác đều)

+) Hình b.

Cách vẽ:

+ Vẽ đường kính của đường tròn tâm O.

+ Vẽ đường kính

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông.

Nối với với với A_4;A₄ với A₁ ta được hình vuông nội tiếp đường tròn (O).

Tính bán kính:

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là a.

Vì hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau nên xét tam giác vuông có

+) Hình c:

Cách vẽ như câu a) hình a.

Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác như trên hình c.

Tính bán kính:

Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là a.

Trong tam giác vuông ta có:

Từ đó

Vẽ hình

a) Xét đường tròn (O) ta có:

(góc nội tiếp chắn (1)

( góc nội tiếp chắn ) (2)

Từ (1) và (2) có:

(3)

và là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD.

Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.

Vậy ABCD là hình thang cân suy ra (BC = AD và

b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.

là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:

Vậy

c) Vì nên (góc ở tâm)

=> ∆AOB đều, nên AB = OA = OB = R.

Vì sđ (góc ở tâm)

Kẻ

Tứ giác ABCD là hình thang cân

Lại có vuông cân tại O

Xét vuông tại H ta có:

Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).