Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Giải SGK Toán 10 trang 41 - Tập 2 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 trang 41 giúp các em học sinh lớp 10 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các câu hỏi bài tập trong SGK bài 20 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng - Góc và khoảng cách thuộc chương 7.

Toán 10 tập 2 trang 41 hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa rất chi tiết. Hy vọng rằng tài liệu sẽ giúp các em học sinh học tốt môn Toán 10 Kết nối tri thức. Đồng thời các thầy cô giáo, bậc phụ huynh có thể sử dụng tài liệu để hướng dẫn các em khi tự học ở nhà được thuận tiện hơn. Vậy sau đây là trọn bộ tài liệu giải Toán 10 trang 41 tập 2 mời các bạn cùng theo dõi.

Toán 10: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

• Phần Mở đầu 
• Phần Bài tập
• Lý thuyết Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Phần Mở đầu 

Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại số tương ứng, gọi là phương trình của nó. Vậy các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiện như thế nào qua phương trình tương ứng?

Gợi ý đáp án

Để biết các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiện qua phương trình tương ứng như thế nào ta cùng tìm hiểu qua bài học 20.

Phần Bài tập

Bài 7.7 trang 41

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a.${\mathrm{\Delta }}_1:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:6x+2y-\sqrt{6}=0$

b. $d_1:x-\sqrt{3}y+2=0$ và $d_2:\sqrt{3}x-3y+2=0$

c. $m_1:x-2y+1=0$ và $m_2:3x+y-2=0$

Gợi ý đáp án

$a.{\mathrm{\Delta }}_1$có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_1}(3\sqrt{2};\sqrt{2})$

${\mathrm{\Delta }}_2$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_2}(6;2)$

Ta có $\overrightarrow{n_1}và\overrightarrow{n_2}$ cùng phương, nên ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ song song hoặc trùng nhau.

Ta có:$3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0\iff 3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$

Vậy ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ trùng nhau.

b. Ta có:$x-\sqrt{3}y+2=0\iff \sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3}=0$

Mà $\sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3}\ne \sqrt{3}x-3y+2$ nên $d_{1}vàd_2$ song song.

c. $m_1$ có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n_1}(1;-2)$

$m_2$ có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n_2}(3;1)$

Ta có $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương, nên $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.

Bài 7.8 trang 41

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

$a.{\mathrm{\Delta }}_1:\sqrt{3}x+y-4=0$ và ${\mathrm{\Delta }}_2:x+\sqrt{3}y+3=0$

b. $d_1:\{\begin{array}{c}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{array}vàd_2:\{\begin{array}{c}x=3+s\\ y=1-3s\end{array}$ (t, s là các tham số)

Gợi ý đáp án

a.

${\mathrm{\Delta }}_1$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}(\sqrt{3};1)$

${\mathrm{\Delta }}_2$có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}(1;\sqrt{3})$

Gọi $\phi$là góc giữa hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_{1}và{\mathrm{\Delta }}_2,tacó:$

$cos\phi =|cos(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})|=\frac{|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}|}{\sqrt{1^2+3}.\sqrt{3+1^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó góc giữa ${\mathrm{\Delta }}_{1}và{\mathrm{\Delta }}_{2}là\phi ={30}^o.$

b.

$d_1$ có vecto chỉ phương$\overrightarrow{u_1}(2;4)$

$d_2$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_2}(1;-3)$

Gọi $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, ta có:

$cos\phi =|cos(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})|=\frac{|2.1-3.4|}{\sqrt{2^2+1^2}.\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Do đó góc giữa ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ là $\phi \approx 26,6^o.$

Bài 7.9 trang 41

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-2; 0) và đường thẳng$\mathrm{\Delta }:x+y-4=0.$

a. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$

b. Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với $\mathrm{\Delta }.$

c. Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với $\mathrm{\Delta }.$

Gợi ý đáp án

a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là: $d_{(A;\mathrm{\Delta })}=\frac{|0-2+4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$

b. đường thẳng a song song với $\mathrm{\Delta }$ nên đường thẳng a có dạng: x + y + c = 0.

Do a đi qua M nên: -1 + 0 + c = 0, suy ra c = 1.

Vậy phương trình đường thẳng a: x + y + 1 = 0.

c. Đường thẳng b vuông góc với $\mathrm{\Delta }$ nên đường thẳng b có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của đường thẳng b:$\overrightarrow{u}(1;1)$

Phương trình tham số của đường thẳng b là:

$\{\begin{array}{c}x=t\\ y=3+t\end{array}$

Bài 7.10 trang 41

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2; 1).

a. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b. Tính diện tích tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

a.

Viết phương trình đường thẳng BC: có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{BC}(-5;-3)$ và đi qua B(3; 2).

$\Rightarrow$ Đường thẳng BC có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(3;-5)$

Phương trình đường thẳng BC là: 3(x - 3) - 5(y - 2) = 0, Hay 3x - 5y +1 = 0

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

Áp dụng công thức khoảng cách có:$d_{(A;BC)}=\frac{|3.1-5.0+1|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{2\sqrt{34}}{17}$

b.

Độ dài đoạn BC là: $BC=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$

Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}{d}_{(A;BC)}.BC=\frac{1}{2}.\frac{2\sqrt{34}}{17}.\sqrt{34}=2$

Bài 7.11 trang 41

Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a \neq 0) và d': y = a'x + b' ($a^{\prime }\ne 0$) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.

Gợi ý đáp án

Giả sử đường thẳng d và d' vuông góc với nhau, ta chứng minh aa' = -1. Thật vậy,

Đường thẳng d có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n}(a;-1)$

Đường thẳng d' có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n^{\prime }}(a^{\prime };-1)$

Do đường thẳng d và d' vuông góc với nhau nên$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\prime }}=0$

$\Rightarrow a$.a' + (-1).(-1) = 0, hay a.a' = -1.

Giả sử a.a' = -1, ta chứng minh đường thẳng d và d' vuông góc với nhau. Thật vậy,

Xét tích vô hướng: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\prime }}=a.a^{\prime }+(-1).(-1)=-1+1=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n^{\prime }}$

Vậy đường thẳng d và d' vuông góc với nhau.

Bài 7.12 trang 41

Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Gợi ý đáp án

Gọi điểm phát tín hiệu là I(x; y).

Do vị trí I đều được ba thiết bị ghi tín hiệu tại O, A, B nhận được cùng một thời điểm nên: IO = IA = IB.

Ta có: $IO=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2},$

$IA=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-0{)}^2},$

$IB=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-3{)}^2}$

Vì IO = IA = IB, nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=(x-1{)}^2+(y-0{)}^2\\ (x-1{)}^2+(y-0{)}^2=(x-1{)}^2+(y-3{)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-2x+1=0\\ -6y+9=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}$

Vậy điểm cần tìm là $I(\frac{1}{2};\frac{3}{2})$

Lý thuyết Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Nhận xét: Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm có toa độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vi vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng. Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng

${\mathrm{\Delta }}_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0và{\mathrm{\Delta }}_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0.$

Khi đó, toạ độ giao điểm của ${\mathrm{\Delta }}_{1}và{\mathrm{\Delta }}_2$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}(\ast )$

${\mathrm{\Delta }}_1$ cắt ${\mathrm{\Delta }}_2$ tại $M\left(x_0;y_0\right)$ ⇔ hệ (*) có nghiệm duy nhất $\left(x_0;y_0\right)$.

${\mathrm{\Delta }}_1$ song song với ${\mathrm{\Delta }}_2$ ⇔ hệ (*) vô nghiệm.

${\mathrm{\Delta }}_1$ trùng ${\mathrm{\Delta }}_2$ ⇔ hệ (*) có vô số nghiệm.

Chú ý

Dựa vào các vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ hoặc các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ của $\overrightarrow{{\mathrm{\Delta }}_1},\overrightarrow{{\mathrm{\Delta }}_2}$ ta có:

+ ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ song song hoặc trùng nhau ⇔ $\overrightarrow{u_1}và\overrightarrow{u_2}$ cùng phương ⇔ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương.

+ ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ cắt nhau ⇔ $\overrightarrow{u_1}và\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương ⇔ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $\mathrm{\Delta }:x-\sqrt{2}y+4\sqrt{3}=0$ và mỗi đường thẳng sau:

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_1:\sqrt{3}x-\sqrt{6}y+12=0;\\ {\mathrm{\Delta }}_2:\sqrt{2}x-2y=0.\end{array}$

Giải

Vì $\begin{array}{l}x-\sqrt{2}y+4\sqrt{3}=0\iff \sqrt{3}\left(x-\sqrt{2}y+4\sqrt{3}\right)=0\\ \iff \sqrt{3}x-\sqrt{6}y+12=0.\end{array}$

Vậy $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}_1$ là một, tức là chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ có hai vectơ pháp tuyến$\overrightarrow{n}\left(1;-\sqrt{2}\right)$ và $\overrightarrow{n_2}\left(\sqrt{2};-2\right)$ cùng phương.

Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_2$ nhưng không thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ song song với nhau.

Nhận xét: Giả sử hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$, ${\mathrm{\Delta }}_2$ có hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ (hay hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ ) cùng phương. Khi đó:

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}_1$ Và ${\mathrm{\Delta }}_2$ có điểm chung thì ${\mathrm{\Delta }}_1$ trùng ${\mathrm{\Delta }}_2$.

+ Nếu tồn tại điểm thuộc ${\mathrm{\Delta }}_1$ nhưng không thuộc ${\mathrm{\Delta }}_2$ thì ${\mathrm{\Delta }}_1$ song song với ${\mathrm{\Delta }}_2$.