Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số Giải SGK Toán 10 trang 58, 59 - Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 10 Bài 9 Kết nối tri thức trang 58, 59 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần luyện tập và 5 bài tập trong SGK bài Tích của một vectơ với một số thuộc chương 4 Vectơ.

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9 trang 58, 59 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 Bài 9 Kết nối tri thức là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Luyện tập Toán 10 Bài 9 Kết nối tri thức

Luyện tập 2

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có:

\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3.\overrightarrow {OG}OA+OB+OC=3.OG

Gợi ý đáp án

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

\begin{matrix}
  \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  \hfill \\
   = \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC}  \hfill \\
   = 3\overrightarrow {OG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) \hfill \\ 
\end{matrix}OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG+(GA+GB+GC)

Do G là trọng tâm tam giác ABC => \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0GA+GB+GC=0

=> \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3.\overrightarrow {OG}OA+OB+OC=3.OG

Luyện tập 3

Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto \overrightarrow u ;\overrightarrow vu;v theo hai vecto \overrightarrow a ;\overrightarrow ba;b , tức là tìm các số x, y, z, t để \overrightarrow u  = x.\overrightarrow a  + y\overrightarrow b ;\overrightarrow v  = t\overrightarrow a  + z\overrightarrow bu=x.a+yb;v=ta+zb

Gợi ý đáp án

Hình vẽ minh họa:

Xét hình bình hành OABC ta có:

\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ;\overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow b ;\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow uOA=a;OB=2b;OB=u

Khi đó ta có:

\overrightarrow u  = \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow a  + 2.\overrightarrow bu=OB=OA+OC=a+2.b(Quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OMNP ta có:

\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow v ;\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow b ;\overrightarrow {OP}  =  - 2\overrightarrow aON=v;OM=3b;OP=2a

Khi đó ta có:

\overrightarrow v  = \overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OP}  = 3\overrightarrow b  - 2\overrightarrow a  =  - 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow bv=ON=OM+OP=3b2a=2a+3b

Vậy \overrightarrow u  = \overrightarrow a  + 2\overrightarrow b ;\overrightarrow v  =  - 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow bu=a+2b;v=2a+3b

Giải Toán 10 trang 58, 59 Kết nối tri thức tập 1

Bài 4.11 trang 58

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị \overrightarrow {AM}AMtheo hai vecto \overrightarrow {AB}AB\overrightarrow {AD} .AD.

Gợi ý đáp án

Học sinh tự vẽ hình

Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD tại E.

Khi đó tứ giác ABME là hình bình hành.

Do đó: \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} .AM=AB+AE.

Dễ thấy: AE = BM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}ADAE=BM=12BC=12AD

\Rightarrow \overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}AE=12AD

\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}AM=AB+12AD

Vậy \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}AM=AB+12AD

Bài 4.12 trang 58

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .BC+AD=2MN=AC+BD.

Gợi ý đáp án

Ta có:

\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN}MN=MA+AD+DN

Mặt khác: \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN}MN=MB+BC+CN

\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \end{array}2MN=MA+AD+DN+MB+BC+CN2MN=(MA+MB)+(DN+CN)+BC+AD2MN=0+0+BC+AD2MN=BC+AD

Tương tự ta cũng có:

\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \\\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \end{array} \right.{MN=MA+AC+CNMN=MB+BD+DN

\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN} } \right) + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \end{array}2MN=MA+AC+CN+MB+BD+DN2MN=(MA+MB)+(CN+DN)+AC+BD2MN=0+0+AC+BD2MN=AC+BD

Vậy \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .BC+AD=2MN=AC+BD.

Bài 4.13 trang 58

Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho \overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 .KA+2KB=0.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \overrightarrow {OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .OK=13OA+23OB.

Gợi ý đáp án

a)

Ta có: \overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 .KA+2KB=0.

\Leftrightarrow \overrightarrow {KA} = - 2\overrightarrow {KB}KA=2KB

Suy ra vectơ \overrightarrow {KA} và vecto\;\overrightarrow {KB}KAvàvectoKB cùng phương, ngược chiều và KA = 2.KB

\Rightarrow K,A,Bthẳng hàng, K nằm giữa A và B thỏa mãn: KA = 2.KB

Bài 4.14 trang 58

Cho tam giác ABC

a) Hãy xác định điểm M để \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0MA+MB+2MC=0

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM}OA+OB+2OC=4OM

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0MA+MB+2MC=0MA+(MA+AB)+2(MA+AC)=0

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}MA+(MA+AB)+2(MA+AC)=04MA+AB+2AC=04AM=AB+2ACAM=14AB+12AC

Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho AD = \frac{1}{4}AB;\;\,AE = \frac{1}{2}ACAD=14AB;AE=12AC

Khi đó \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE}AM=AD+AEhay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.

Bài 4.15 trang 59

Chất điểm A chịu tác động của ba lực \overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}}F1,F2,F3 như hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là \overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}} + \;\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 )F1+F2+F3=0). Tính độ lớn của các lực \overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}} biết \overrightarrow {{F_1}}F2,F3biếtF1 có độ lớn là 20N.

Gợi ý đáp án

Bước 1: Đặt \overrightarrow u = \overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}}u=F1+F2. Ta xác định các điểm như hình dưới.

Dễ dàng xác định điểm C, là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD. Do đó vecto \overrightarrow uu chính là vectơ \overrightarrow {AC}AC

Vì chất điểm A ở trang thái cân bằng nên \overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}} + \;\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0F1+F2+F3=0hay \;\overrightarrow u + \;\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0u+F3=0

\Leftrightarrow \;\overrightarrow u và \;\overrightarrow {{F_3}}uvàF3 là hai vecto đối nhau.

\Leftrightarrow AA là trung điểm của EC.

Bước 2:

Ta có:\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = AD = 20,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = AB,\;\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = AC.|F1|=AD=20,|F2|=AB,|F3|=AC.

Do A, C, E thẳng hàng nên \widehat {CAB} = {180^o} - \widehat {EAB} = {60^o}CAB^=180oEAB^=60o

\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {CAD} = {90^o} - {60^o} = {30^o}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \frac{{AD}}{{\cos {{30}^o}}} = \frac{{40\sqrt 3 }}{3};\;\\AB = DC = AC.\sin {30^o} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.\end{array} \right.\end{array}CAD^=90o60o=30o{AC=ADcos30o=4033;AB=DC=AC.sin30o=2033.

Vậy \;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{20\sqrt 3 }}{3},\;\;\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}.|F2|=2033,|F3|=4033.

Lý thuyết Tích của một vectơ với một số

1. Tích của vecto với một số

+) Tích của một vecto \overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0a0với một số thực k là một vecto, kí kiệu là k\overrightarrow aka.

+) Vecto k\overrightarrow akacó độ dài bằng \left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right||k||a| và

Cùng hướng với vecto \overrightarrow aanếu k > 0

Ngược hướng với vecto \overrightarrow aanếu k < 0

+) Quy ước: k\overrightarrow a  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \\k = 0\end{array} \right.ka=0[a=0k=0

Nhận xét: Hai vecto \overrightarrow aa\overrightarrow bbcùng phương khi và chỉ khi tồn tại k để \overrightarrow a  = k\overrightarrow b .a=kb.

2. Các tính chất của phép nhân vecto với 1 số

+) Với hai vecto \overrightarrow a ,\overrightarrow ba,bvà hai số thực k,t ta luôn có:

\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a k + t)\,\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a  = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a  =  - \,\overrightarrow a \end{array}k(ta)=(kt)ak+t)a=ka+tak(a+b)=ka+kb;k(ab)=kakb1a=a;(1)a=a

+) Nhận xét:

I là trung điểm của AB \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0ABIA+IB=0

G là trọng tâm \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0ΔABCGA+GB+GC=0

Chia sẻ bởi: 👨 Trịnh Thị Thanh
Liên kết tải về

Link Download chính thức:

Sắp xếp theo
👨
    Đóng
    Chỉ thành viên Download Pro tải được nội dung này! Download Pro - Tải nhanh, website không quảng cáo! Tìm hiểu thêm
    Chia sẻ
    Chia sẻ FacebookChia sẻ Twitter
    Đóng