Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ Giải SGK Toán 10 trang 37 - Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 10 Bài 5 Kết nối tri thức trang 37 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi Luyện tập và 4 bài tập trong SGK bài Giá trị lượng giác của một góc từ 0o đến 180o.

Giải Toán 10 Kết nối tri thức bài 5 trang 37 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 bài 5 Kết nối tri thức là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 10 Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0o đến 180o mời các bạn cùng theo dõi.

Toán 10 Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0o đến 180o

Luyện tập Toán 10 Bài 5 Kết nối tri thức

Luyện tập 1

Tìm các giá trị lượng giác của góc 120 0 (H.3.4).

Gợi ý đáp án

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \widehat {xOM} = {120^0}xOM^=1200

Gọi H, K tương ứng là hình chiếu vuông của M lên các trục Ox, Oy.

\widehat {xOM} = {120^0} => \widehat {NOM} = {60^0}xOM^=1200=>NOM^=600

Xét tam giác vuông MON ta có:

ON = \cos {60^0} = \frac{1}{2}.NM = OP = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}ON=cos600=12.NM=OP=sin600=32

Điểm M nằm bên trái trục tung => M\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)M(12;32)

=> \sin {120^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}sin1200=32

=> \cos {120^0} = \frac{{-1 }}{2}cos1200=12

=> \tan {120^0} = \sqrt 3tan1200=3

=> \cot {120^0} = \frac{{-1}}{\sqrt 3 }cot1200=13

Luyện tập 2

Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau α và 90° - α (\widehat {xOM} = \alpha ;\widehat {xON} = {90^0} - \alphaxOM^=α;xON^=900α). Chứng minh rằng ΔMOP = ΔNOQ.

Từ đó nêu mối quan hệ giữa cosα và sin(90° - α)

Gợi ý đáp án

Ta có: \widehat {QON} + \widehat {xON} = {90^0}QON^+xON^=900

\widehat {xON} = {90^0} - \alpha  \Rightarrow \widehat {QON} = \alphaxON^=900αQON^=α

=> \widehat {QON} = \widehat {POM} = \alphaQON^=POM^=α

Xét ΔMOP và ΔNOQ ta có:

OM = ON = 1

\widehat {OQN} = \widehat {MPO} = {90^0}OQN^=MPO^=900

\widehat {QON} = \widehat {POM} = \alphaQON^=POM^=α

=> ΔMOP = ΔNOQ (ch – gn)

=> OP = OQ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: OP = cos α; OQ = sin(900 – α)

=> sin(900 – α) = cos α

Giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 37 Tập 1

Bài 3.1 trang 37

Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)a)(2sin30o+cos135o3tan150o).(cos180ocot60o)

b) {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}b)sin290o+cos2120o+cos20otan260+cot2135o

c) \cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}c)cos60o.sin30o+cos230o

Gợi ý đáp án

a) \left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)a)(2sin30o+cos135o3tan150o).(cos180ocot60o)

Đặt A = \left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)A=(2sin30o+cos135o3tan150o).(cos180ocot60o)

Ta có: \left\{ \begin{array}{l}\cos {135^o} = - \cos {45^o};\cos {180^o} = - \cos {0^o}\\\tan {150^o} = - \tan {30^o}\end{array} \right.{cos135o=cos45o;cos180o=cos0otan150o=tan30o

\Rightarrow A = \left( {2\sin {{30}^o} - \cos {{45}^o} + 3\tan {{30}^o}} \right).\left( { - \cos {0^o} - \cot {{60}^o}} \right)A=(2sin30ocos45o+3tan30o).(cos0ocot60o)

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

\left\{ \begin{array}{l}\sin {30^o} = \frac{1}{2};\tan {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos {0^o} = 1;\cot {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.{sin30o=12;tan30o=33cos45o=22;cos0o=1;cot60o=33

\Rightarrow A = \left( {2.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 3.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).\left( { - 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)A=(2.1222+3.33).(133)

\begin{array}{l} \Leftrightarrow A = - \left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 } \right).\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{2 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{\left( {2 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{6}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{6 + 2\sqrt 3 - 3\sqrt 2 - \sqrt 6 + 6\sqrt 3 + 6}}{6}\\ \Leftrightarrow A = - \frac{{12 + 8\sqrt 3 - 3\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{6}.\end{array}A=(122+3).(1+33)A=22+232.3+33A=(22+23)(3+3)6A=6+23326+63+66A=12+833266.

b) {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}b)sin290o+cos2120o+cos20otan260+cot2135o

Đặt B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}B=sin290o+cos2120o+cos20otan260+cot2135o

Ta có:\left\{ \begin{array}{l}\cos {120^o} = - \cos {60^o}\\\cot {135^o} = - \cot {45^o}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}{120^o} = {\cos ^2}{60^o}\\{\cot ^2}{135^o} = {\cot ^2}{45^o}\end{array} \right.{cos120o=cos60ocot135o=cot45o{cos2120o=cos260ocot2135o=cot245o

\Rightarrow B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{60^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{45^o}B=sin290o+cos260o+cos20otan260+cot245o

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

\left\{ \begin{array}{l}\cos {0^o} = 1;\;\;\cot {45^o} = 1;\;\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\\\tan {60^o} = \sqrt 3 ;\;\;\sin {90^o} = 1\end{array} \right.{cos0o=1;cot45o=1;cos60o=12tan60o=3;sin90o=1

\Rightarrow B = {1^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {1^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {1^2}B=12+(12)2+12(3)2+12

\Leftrightarrow B = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4}.B=1+14+13+1=14.

c) \cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}c)cos60o.sin30o+cos230o

Đặt C = \cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}C=cos60o.sin30o+cos230o

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

\sin {30^o} = \frac{1}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\;sin30o=12;cos30o=32;cos60o=12

\Rightarrow C = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + {\left( {\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.C=12.12+(32)2=14+34=1.

Bài 3.2 trang 37

a) \sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o};a)sin100o+sin80o+cos16o+cos164o;

b) 2\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\cot \alpha - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) với {0^o} < \alpha < {90^o}.2sin(180oα).cotαcos(180oα).tanα.cot(180oα)vi0o<α<90o.

Gợi ý đáp án:

a) \sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o};a)sin100o+sin80o+cos16o+cos164o;

Ta có:\left\{ \begin{array}{l}\sin {100^o} = \sin \left( {{{180}^o} - {{80}^o}} \right) = \sin {80^o}\\\cos {164^o} = \cos \left( {{{180}^o} - {{16}^o}} \right) = - \cos {16^o}\end{array} \right.{sin100o=sin(180o80o)=sin80ocos164o=cos(180o16o)=cos16o

\Rightarrow \sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o} = \sin {80^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} - \cos {16^o} = 2\sin {80^o}.sin100o+sin80o+cos16o+cos164o=sin80o+sin80o+cos16ocos16o=2sin80o.

b) 2\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\cot \alpha - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) với {0^o} < \alpha < {90^o}.2sin(180oα).cotαcos(180oα).tanα.cot(180oα)vi0o<α<90o.

Gợi ý đáp án:

Ta có:

\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha \end{array} \right.{sin(180oα)=sinαcos(180oα)=cosαtan(180oα)=tanαcot(180oα)=cotα

= 2\sin \alpha .\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \cos \alpha .\left( {\tan \alpha .\cot \alpha } \right) = 2\cos \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha .=2sinα.cosαsinαcosα.(tanα.cotα)=2cosαcosα=cosα.

Bài 3.3 trang 37

Chứng minh các hệ thức sau:

a) {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.a)sin2α+cos2α=1.

b) 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha \ne {90^o})b)1+tan2α=1cos2α(α90o)

c) 1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\quad ({0^o} < \alpha < {180^o})c)1+cot2α=1sin2α(0o<α<180o)

Gợi ý đáp án:

a) {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.a)sin2α+cos2α=1.

Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho \widehat {xOM} = \alphaxOM^=α. Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: \left\{ \begin{array}{l}x = \cos \alpha \\y = \sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha = {x^2}\\{\sin ^2}\alpha = {y^2}\end{array} \right.(1){x=cosαy=sinα{cos2α=x2sin2α=y2(1)

\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = ON\\\left| y \right| = OP = MN\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left| x \right|^2} = O{N^2}\\{y^2} = {\left| y \right|^2} = M{N^2}\end{array} \right.(2){|x|=ON|y|=OP=MN{x2=|x|2=ON2y2=|y|2=MN2(2)

Từ (1) và (2) suy ra {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = O{N^2} + M{N^2} = O{M^2}sin2α+cos2α=ON2+MN2=OM2 (do \DeltaΔ OMN vuông tại N)

\Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1sin2α+cos2α=1 (vì OM =1). (đpcm)

b) 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha \ne {90^o})b)1+tan2α=1cos2α(α90o)

Ta có: \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\;\;(\alpha \ne {90^o})tanα=sinαcosα(α90o)

\Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}1+tan2α=1+sin2αcos2α=cos2αcos2α+sin2αcos2α=sin2α+cos2αcos2α

Mà theo ý a) ta có {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1sin2α+cos2α=1 với mọi góc \alphaα

\Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} (đpcm)1+tan2α=1cos2α(đpcm)

c) 1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\quad ({0^o} < \alpha < {180^o})1+cot2α=1sin2α(0o<α<180o)

Ta có: \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\;\;\;({0^o} < \alpha < {180^o})cotα=cosαsinα(0o<α<180o)

\Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}1+cot2α=1+cos2αsin2α=sin2αsin2α+cos2αsin2α=sin2α+cos2αsin2α

Mà theo ý a) ta có {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1sin2α+cos2α=1 với mọi góc \alphaα

\Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} (đpcm)1+cot2α=1sin2α(đpcm)

Bài 3.4 trang 37

Cho góc \alpha \;\;({0^o} < \alpha < {180^o})α(0o<α<180o) thỏa mãn \tan \alpha = 3tanα=3

Tính giá trị biểu thức: P = \frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }}P=2sinα3cosα3sinα+2cosα

Gợi ý đáp án

\tan \alpha = 3 nên \cos \alpha \ne 0tanα=3nêncosα0

\begin{array}{l}
\Rightarrow P = \dfrac{{\frac{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}}\\
\Leftrightarrow P = \dfrac{{2\tan \alpha - 3}}{{3\tan \alpha + 2}} = \dfrac{{2.3 - 3}}{{3.3 + 2}} = \dfrac{3}{{11}}.
\end{array}P=2sinα3cosαcosα3sinα+2cosαcosα=2sinαcosα33sinαcosα+2P=2tanα33tanα+2=2.333.3+2=311.

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

+) Với mỗi góc \alpha ({0^o} \le \alpha \le {180^o}α(0oα180o) có duy nhất điểm M({x_0};{y_0})M(x0;y0) trên nửa đường tròn đơn vị để \widehat {xOM} = \alphaxOM^=α .Khi đó:

\sin \alpha = {y_0}sinα=y0 là tung độ của M

\cos \alpha = {x_0}cosα=x0 là hoành độ của M

\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha \ne {90^o})tanα=sinαcosα=y0x0(α90o)

\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha \ne {0^o},\alpha \ne {180^o})cotα=cosαsinα=x0y0(α0o,α180o)

2. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU

Hai góc bù nhau, \alphaα{180^o} - \alpha :180oα:

\begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha (\alpha \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha ({0^o} < \alpha < {180^o})\end{array}sin(180oα)=sinαcos(180oα)=cosαtan(180oα)=tanα(α90o)cot(180oα)=cotα(0o<α<180o)

Hai góc phụ nhau, \alphaα{90^o} - \alpha :90oα:

\begin{array}{l}\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha \ne {90^o},{0^o} < \alpha < {180^o})\\\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha \ne {90^o},{0^o} < \alpha < {180^o})\end{array}sin(90oα)=cosαcos(90oα)=sinαtan(90oα)=cotα(α90o,0o<α<180o)cot(90oα)=tanα(α90o,0o<α<180o)

Chia sẻ bởi: 👨 Trịnh Thị Thanh
Liên kết tải về

Link Download chính thức:

Sắp xếp theo
👨
    Đóng
    Chỉ thành viên Download Pro tải được nội dung này! Download Pro - Tải nhanh, website không quảng cáo! Tìm hiểu thêm
    Chia sẻ
    Chia sẻ FacebookChia sẻ Twitter
    Đóng