Giải Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 (trang 106)

Giải Toán lớp 9 trang 106 tập 1 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi và bài tập trong SGK bài 3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây thuộc chương 2.

Giải Toán 9 Bài 2 Chương 2 tập 1 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 106 tập 1 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

• Trả lời câu hỏi Toán 9 Bài 3
• Giải bài tập Toán 9 trang 106 tập 1
• Giải Toán 9 trang 106 tập 1: Luyện tập
• Lý thuyết Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Trả lời câu hỏi Toán 9 Bài 3

Câu hỏi 1

Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:

a) Nếu AB = CD thì OH = OK.

b) Nếu OH = OK thì AB = CD.

Gợi ý đáp án

Ta có: OH là một phần đường kính vuông góc với dây AB

⇒ H là trung điểm của AB ⇒ AB = 2HB

OK là một phần đường kính vuông góc với dây CD

⇒ K là trung điểm của CD ⇒ CD = 2KD

=> OH² + HB²= OK²+ KD²

a) Ta có: AB = CD ⇒ HB = KD

⇒ OH² = OK² ⇒ OH = OK

b) Ta có: OH = OK ⇒ HB²= KD²

⇒ HB = KD ⇒ AB = CD

Câu hỏi 2

Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục I để so sánh các độ dài:

a) OH và OK, nếu biết AB > CD

b) AB và CD, nếu biết OH < OK

Gợi ý đáp án 

a) Nếu AB > CD thì HB > KD

⇒ HB² > KD²

Mà: OH² + HB² = OK² + KD²

⇒ OH² < OK²

⇒ OH < OK

b) Nếu OH < OK thì OH²< OK²

⇒ HB² > KD² ⇒ HB > KD

⇒ AB > CD

Câu hỏi 3

Cho tam giác ABC, O là giao của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF (h.69).

Hãy so sánh các độ dài:

a) BC và AC;

b) AB và AC.

Gợi ý đáp án 

O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

a) OE = OF ⇒ AC = BC

b) OD > OE ⇒ AB < AC

Giải bài tập Toán 9 trang 106 tập 1

Bài 12

Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

a) Kẻ OJ vuông góc với AB tại J.

Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây suy ra: J là trung điểm của AB.

Ta được cm

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAJ có:

OJ² = OA² – AJ² = 5² – 4² = 9 (OA = R = 5cm)

=> OJ = 3cm (1)

Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là OJ = 3cm.

b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M.

Tứ giác OJIM có: góc I = góc J = góc M = 90⁰ nên là hình chữ nhật

Ta có IJ = AJ – AI = 4 – 1 = 3cm

=> OM = IJ = 3cm (Tính chất hình chữ nhật) (2)

Từ (1), (2) suy ra CD = AB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau). (đpcm)

Bài 13

Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) EH = EK

b) EA = EC.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

a) Nối OE ta có: AB = CD

=> OH = OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)

H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

K là trung điểm của CD nên OK ⊥ CD (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Hai tam giác vuông OEH và OEK có:

OE là cạnh chung

OH = OK

Do đó ΔOEH = ΔOEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

=> EH = EK (1). (đpcm)

b) Ta có: H là trung điểm của AB nên AH =

K là trung điểm của CD nên

(định lí 1)

Tương tự

Mà AB = CD (gt) suy ra AH = KC (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

EA = EH + HA = EK + KC = EC

Vậy EA = EC. (đpcm)

Giải Toán 9 trang 106 tập 1: Luyện tập

Bài 14

Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

Kẻ OM ⊥ AB, ON ⊥ CD.

Ta thấy M, O, N thẳng hàng. Ta có:

= 20 cm; MN = 22 cm

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AMO có:

OM² = OA² – AM² = 25² – 20² = 225

=> OM = √225 = 15cm

=> ON = MN – OM = 22 – 15 = 7 (cm)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CON có:

CN² = CO² – ON² = 25² – 7² = 576

=> CN = √576 = 24

=> CD =

Bài 15

Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD.

Hãy so sánh các độ dài:

a) OH và OK

b) ME và MF

c) MH và MK.

Gợi ý đáp án

a) Trong đường tròn nhỏ:

AB > CD => OH < OK (định lí 3)

b) Trong đường tròn lớn:

OH < OK => ME > MF (định lí 3)

c) Trong đường tròn lớn:

ME > MF => MH > MK

Bài 16

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.

Gợi ý đáp án

Kẻ OH ⊥ EF.

Trong tam giác vuông OHA vuông tại H có OA > OH (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên).

Vì OA > OH nên BC < EF (định lí 3).

Lý thuyết Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Định lý 1: Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Định lý 2. Trong hai dây của một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Xét đường tròn (O):

Khi đó: