Tổng hợp kiến thức Toán 9 Tổng hợp kiến thức và dạng bài tập toán lớp 9

Giới thiệu Tải về Bình luận

Tổng hợp kiến thức Toán 9 là tài liệu vô cùng hữu ích dành cho các bạn học sinh lớp 9 ôn luyện cuối kì 2 và chuẩn bị thi vào lớp 10. Tài liệu hệ thống toàn bộ kiến thức trọng tâm về lý thuyết, công thức cách giải các dạng toán cơ bản.

Thông qua tài liệu này sẽ giúp cho các em ôn tập kiến thức một cách hiệu quả, định hướng đúng trong quá trình ôn tập và tiết kiệm tối đa thời gian học tập. Hi vọng tổng hợp kiến thức Toán 9 sẽ là những người bạn thân thiết, cùng bạn đồng hành trên hành trình chinh phục mục tiêu 9⁺ môn Toán. Vậy sau đây là trọn bộ tổng hợp kiến thức Toán 9 mời các bạn tải tại đây.

Tổng hợp kiến thức và dạng bài tập Toán 9

I. Kiến thức phần Đại số
II. Kiến thức phần Hình học

I. Kiến thức phần Đại số

1. Điều kiện để căn thức có nghĩa

$\sqrt{A}$ $\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A \geq 0$ $A \geq 0$

2. Các công thức biến đổi căn thức.

$a. \quad \sqrt{A^{2}}=|A|$ $a. \quad \sqrt{A^{2}}=|A|$

$b. \quad \sqrt{A B}=\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} \quad(A \geq 0 ; B \geq 0)$ $b. \quad \sqrt{A B}=\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} \quad(A \geq 0 ; B \geq 0)$

$c. \quad \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \quad(A \geq 0 ; B>0)$ $c. \quad \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \quad(A \geq 0 ; B>0)$

$d. \quad \sqrt{A^{2} B}=|A| \sqrt{B} \quad(B \geq 0)$ $d. \quad \sqrt{A^{2} B}=|A| \sqrt{B} \quad(B \geq 0)$

$\begin{array}{lll}\text { e. } & A \sqrt{B}=\sqrt{A^{2} B} & (A \geq 0 ; B \geq 0)\end{array}$ $\begin{array}{lll}\text { e. } & A \sqrt{B}=\sqrt{A^{2} B} & (A \geq 0 ; B \geq 0)\end{array}$

$ê. \quad A \sqrt{B}=-\sqrt{A^{2} B} \quad(A<0 ; B \geq 0)$ $ê. \quad A \sqrt{B}=-\sqrt{A^{2} B} \quad(A<0 ; B \geq 0)$

$f. \quad \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|} \sqrt{A B} \quad(A B \geq 0 ; B \neq 0)$ $f. \quad \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|} \sqrt{A B} \quad(A B \geq 0 ; B \neq 0)$

$g. \quad \frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A \sqrt{B}}{B} \quad(B>0)$ $g. \quad \frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A \sqrt{B}}{B} \quad(B>0)$

$h. \frac{C}{\sqrt{A} \pm B}=\frac{C(\sqrt{A} \mp B)}{A-B^{2}} \quad\left(A \geq 0 ; A \neq B^{2}\right)$ $h. \frac{C}{\sqrt{A} \pm B}=\frac{C(\sqrt{A} \mp B)}{A-B^{2}} \quad\left(A \geq 0 ; A \neq B^{2}\right)$

$i. \frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A-B^{2}} \quad(A \geq 0 ; B \geq 0 ; A \neq B)$ $i. \frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A-B^{2}} \quad(A \geq 0 ; B \geq 0 ; A \neq B)$

3. Hàm số $y=a x+b(a \neq 0)$ $y=a x+b(a \neq 0)$

- Tính chất:

Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.
Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.

- Đồ thị: Đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).

4. Hàm số $y=\operatorname{ax}^{2}(a \neq 0)$ $y=\operatorname{ax}^{2}(a \neq 0)$

- Tính chất:

Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

- Đồ thị:

Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).

Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

$y=a x+b(d)$ và $y=a^{\prime} x+b^{\prime}\left(d^{\prime}\right)$ $y=a^{\prime} x+b^{\prime}\left(d^{\prime}\right)$

(d) và (d') cắt nhau ⇔ a ≠ a'
(d) // (d') ⇔ a = a' và b ≠ b'
(d) ≡ (d') ⇔ a = a' và b = b'

6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong.

Xét đường thẳng $y=a x+b(d)$ và $y=a x^{2}(P)$ $y=a x^{2}(P)$

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm
(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm
(d) và (P) không có điểm chung

7. Phương trình bậc hai.

Xét phương trình bậc hai $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$

Công thức nghiệm

$\Delta=b^{2}-4 a c$ $\Delta=b^{2}-4 a c$

- Nếu $\Delta>0:$ $\Delta>0:$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} ; x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$ $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} ; x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$

- Nếu $\Delta=0:$ $\Delta=0:$ Phương trình có nghiệm kép :

$x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2 a}$ $x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2 a}$

- Nếu $\Delta<0:$ $\Delta<0:$ phương trình vô nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn

$\Delta^{\prime}=b^{\prime 2}-a c \text { vói } b=2 b^{\prime}$ $\Delta^{\prime}=b^{\prime 2}-a c \text { vói } b=2 b^{\prime}$

- Nếu $\Delta^{\prime}>0:$ $\Delta^{\prime}>0:$ Phương trình có 2 nghiệm

$x_{1}=\frac{-b^{\prime}+\sqrt{\Delta}}{a} ; x_{2}=\frac{-b^{\prime}-\sqrt{\Delta}}{a}$ $x_{1}=\frac{-b^{\prime}+\sqrt{\Delta}}{a} ; x_{2}=\frac{-b^{\prime}-\sqrt{\Delta}}{a}$

- Nếu $\Delta^{\prime}=0$ $\Delta^{\prime}=0$ phương trình có nghiệm kép

$x_{1}=x_{2}=\frac{-b^{\prime}}{a}$ $x_{1}=x_{2}=\frac{-b^{\prime}}{a}$

- Nếu $\Delta^{\prime}<0$ $\Delta^{\prime}<0$: Phương trình vô nghiệm

8. Hệ thức Viet và ứng dụng.

- Hệ thức Viet:

Nếu $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ là nghiệm của phương trình bậc hai $\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0(\mathrm{a} \neq 0)$ $\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0(\mathrm{a} \neq 0)$ thì

$\left\{\begin{array}{l} S=x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} \\ P=x_{1} x_{2}=\frac{c}{a} \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l} S=x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} \\ P=x_{1} x_{2}=\frac{c}{a} \end{array}\right.$

- Một số ứng dụng:

+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: $x^{2}-S x+P=0$ $x^{2}-S x+P=0$

(Điều kiện S²- 4P ≥ 0)

+ Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai $a^{2}+b x+c=0$ (a\neq0)$ $a^{2}+b x+c=0$ (a\neq0)$

Nếu $a +b+c=0$ thì phương trình có hai nghiệm $\mathrm{x}_{1}=1 ; \mathrm{x}_{2}=\frac{c}{a}$ $\mathrm{x}_{1}=1 ; \mathrm{x}_{2}=\frac{c}{a}$

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: $\mathrm{x}_{1}=-1 ; \mathrm{x}_{2}=-\frac{c}{a}$ $\mathrm{x}_{1}=-1 ; \mathrm{x}_{2}=-\frac{c}{a}$

9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán: Rút gọn biểu thức A

Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bước sau:

- Quy đồng mẫu thức (nếu có)

- Đưa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)

- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia....

Cộng trừ các số hạng đồng dạng.

Dạng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.

- Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn biểu thức A

Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a

Cách giải:

- Rút gọn biểu thức A(x).

Thay x = a vào biểu thức rút gọn.

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B

Một số phương pháp chứng minh:

- Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.

A = B ⇔ A - B = 0

- Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp.

A = A1 = A2 = ... = B

- Phương pháp 3: Phương pháp so sánh.

- Phương pháp 4: Phương pháp tương đương.

A = B ⇔ A' = B' ⇔ A" = B" ⇔ ...... ⇔ (*) (*) đúng do đó A = B

- Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết.

- Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp.

Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ.

Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B

Một số bất đẳng thức quan trọng:

Bất đẳng thức Cosi:

$\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \ldots a_{n}} \text { (vói } \left.a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \ldots a_{n} \geq 0\right)$ $\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \ldots a_{n}} \text { (vói } \left.a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \ldots a_{n} \geq 0\right)$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots=a_{n}$ $a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots=a_{n}$

Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: $a _{1} ; \mathrm{a}_{2} ; \mathrm{a}_{3} ; \ldots ; \mathrm{an} ; \mathrm{b}_{1} ; \mathrm{b}_{2} ; \mathrm{b}_{3} ; \ldots bn$ $a _{1} ; \mathrm{a}_{2} ; \mathrm{a}_{3} ; \ldots ; \mathrm{an} ; \mathrm{b}_{1} ; \mathrm{b}_{2} ; \mathrm{b}_{3} ; \ldots bn$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}=\ldots=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}=\ldots=\frac{a_{n}}{b_{n}}$

Dạng 5: Bài toán liên quan đến phương trình bậc 2

Bài toán 1: giải các phương trình bậc 2: ax²+ bx + 2

- Các phương pháp giải:

- Phương pháp 1 : Phân tích đưa về phương trình tích.

- Phương pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai

$\mathrm{x}^{2}=\mathrm{a} \rightarrow \mathrm{x}=\pm \sqrt{a}$ $\mathrm{x}^{2}=\mathrm{a} \rightarrow \mathrm{x}=\pm \sqrt{a}$

- Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có $\Delta=b^{2}-4 a c$ $\Delta=b^{2}-4 a c$

+ Nếu $\Delta>0$ $\Delta>0$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} ; x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$ $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} ; x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$

+ Nếu $\Delta=0$ $\Delta=0$ : Phương trình có nghiệm kép

$x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2 a}$ $x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2 a}$

+ Nếu $\Delta<0$ $\Delta<0$ : Phương trình vô nghiệm

- Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta có $\Delta^{\prime}=\mathbf{b}^{\prime 2}- ac$ $\Delta^{\prime}=\mathbf{b}^{\prime 2}- ac$ với $\mathbf{b}=2 \mathbf{b}^{\prime}$ $\mathbf{b}=2 \mathbf{b}^{\prime}$

+ Nếu $\Delta^{\prime}>0$ $\Delta^{\prime}>0$ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1}=\frac{-b^{\prime}+\sqrt{\Delta^{\prime}}}{a} ; x_{2}=\frac{-b^{\prime}-\sqrt{\Delta}}{a}$ $x_{1}=\frac{-b^{\prime}+\sqrt{\Delta^{\prime}}}{a} ; x_{2}=\frac{-b^{\prime}-\sqrt{\Delta}}{a}$

+ Nếu $\Delta^{\prime}=0$ $\Delta^{\prime}=0$: Phương trình có nghiệm kép

$x_{1}=x_{2}=\frac{-b^{\prime}}{a}$ $x_{1}=x_{2}=\frac{-b^{\prime}}{a}$

+ Nếu $\Delta^{\prime}<0$ $\Delta^{\prime}<0$ : Phương trình vô nghiệm

- Phương pháp 5: Nhầm nghiệm nhờ định lí Vi-et. Nếu $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ là nghiệm của phương trình bậc hai $\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0(\mathrm{a} \neq 0)$ $\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0(\mathrm{a} \neq 0)$ thì:

$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a} \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a} \end{array}\right.$

Chú ý: Nếu a, c trái dấu túc là a.c <0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Bài toán 2:

- Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng

a. Trường hợp $\mathrm{a}=0$ $\mathrm{a}=0$ với vài giá trị nào đó của m. Giả sử $\mathrm{a}=0 \Leftrightarrow \mathrm{m}=\mathrm{m}_{0}$ $\mathrm{a}=0 \Leftrightarrow \mathrm{m}=\mathrm{m}_{0}$ ta có:

(*) trở thành phương trình bậc nhất $ax +\mathrm{c}=0(* *)$ $ax +\mathrm{c}=0(* *)$

+ Nếu $\mathrm{b} \neq 0$ $\mathrm{b} \neq 0$ với $\mathrm{m}=\mathrm{m}_{0}:(* *)$ $\mathrm{m}=\mathrm{m}_{0}:(* *)$ có một nghiệm $\mathrm{x}=-\mathrm{c} / \mathrm{b}$ $\mathrm{x}=-\mathrm{c} / \mathrm{b}$

+ Nếu $\mathrm{b}=0$ $\mathrm{b}=0$ và c =0 với $\mathrm{m}=\mathrm{m}_{0}:\left({ }^{* *}\right)$ $\mathrm{m}=\mathrm{m}_{0}:\left({ }^{* *}\right)$ vô định $\Leftrightarrow\left({ }^{*}\right)$ $\Leftrightarrow\left({ }^{*}\right)$ vô định

+ Nếu $\mathrm{b}=0$ $\mathrm{b}=0$ và $\mathrm{c} \neq 0$ $\mathrm{c} \neq 0$vói $\mathrm{m}=\mathrm{m}_{0}:(* *)$ $\mathrm{m}=\mathrm{m}_{0}:(* *)$ vô nghiệm $\Leftrightarrow\left({ }^{*}\right)$ $\Leftrightarrow\left({ }^{*}\right)$ vô nghiệm

b. Trường hợp $\mathrm{a} \neq 0$ $\mathrm{a} \neq 0$ : Tính $\Delta$ $\Delta$ hoặc $\Delta^{\prime} +\operatorname{Tinh} \Delta=\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}$ $\Delta^{\prime} +\operatorname{Tinh} \Delta=\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}$

Nếu $\Delta>0$ $\Delta>0$ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} ; x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$ $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} ; x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$

Nếu $\Delta=0$ $\Delta=0$: Phương trình có nghiệm kép : $x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2 a}$ $x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2 a}$ Nếu $\Delta<0$ $\Delta<0$ : Phương trình vô nghiệm + Tính $\Delta^{\prime}=\mathrm{b}^{\prime 2}-\mathrm{ac} với \mathrm{b}=2 \mathrm{~b}^{\prime}$ $\Delta^{\prime}=\mathrm{b}^{\prime 2}-\mathrm{ac} với \mathrm{b}=2 \mathrm{~b}^{\prime}$

Nếu $\Delta^{\prime}>0$ $\Delta^{\prime}>0$ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1}=\frac{-b^{\prime}+\sqrt{\Delta}}{a} ; x_{2}=\frac{-b^{\prime}-\sqrt{\Delta}}{a}$ $x_{1}=\frac{-b^{\prime}+\sqrt{\Delta}}{a} ; x_{2}=\frac{-b^{\prime}-\sqrt{\Delta}}{a}$

Nếu $\Delta^{\prime}=0$ $\Delta^{\prime}=0$: Phương trình có nghiệm kép: $x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{a}$ $x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{a}$ Nếu $\Delta^{\prime}<0$ $\Delta^{\prime}<0$: Phương trình vô nghiệm Ghi tóm tắt phần biện luận trên.

Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b} \mathbf{x}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ $\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b} \mathbf{x}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm. Có hai khả năng để phương trình bậc hai $a x^{2}+b x+c=0$ $a x^{2}+b x+c=0$ có nghiệm:

1. Hoặc $\mathrm{a}=0, \mathrm{~b} \neq 0$ $\mathrm{a}=0, \mathrm{~b} \neq 0$

2. Hoặc $\mathrm{a} \neq 0, \Delta \geq 0$ $\mathrm{a} \neq 0, \Delta \geq 0$ hoặc $\Delta^{\prime} \geq 0$ $\Delta^{\prime} \geq 0$

Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2 .

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta>0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta>0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta>0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta>0\end{array}\right.$

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $a x^{2}+b x+c=0$ $a x^{2}+b x+c=0$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm. Q Điều kiện có một nghiệm:

$\left\{\begin{array} { l } { a = 0 } \\ { b \neq 0 } \end{array} \text { hoặc } \left\{\begin{array} { l } { a \neq 0 } \\ { \Delta = 0 } \end{array} \text { hoặc } \left\{\begin{array}{l} a \neq 0 \\ \Delta=0 \end{array}\right.\right.\right.$ $\left\{\begin{array} { l } { a = 0 } \\ { b \neq 0 } \end{array} \text { hoặc } \left\{\begin{array} { l } { a \neq 0 } \\ { \Delta = 0 } \end{array} \text { hoặc } \left\{\begin{array}{l} a \neq 0 \\ \Delta=0 \end{array}\right.\right.\right.$

Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số $\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b} \mathbf{x}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ $\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b} \mathbf{x}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm kép.

Điều kiện có nghiệm kép: $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta=0\end{array}\right. hoặc \left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta=0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta=0\end{array}\right. hoặc \left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta=0\end{array}\right.$

Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b x}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ $\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b x}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm. -

- Điều kiện có một nghiệm: $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta<0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta<0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta<0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta<0\end{array}\right.$

Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $\mathrm{ax}^{2}+\mathbf{b} \mathbf{x}+\mathrm{c}=\mathbf{0}$ $\mathrm{ax}^{2}+\mathbf{b} \mathbf{x}+\mathrm{c}=\mathbf{0}$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.

- Điều kiện có một nghiệm: $\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ b \neq 0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ b \neq 0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta=0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta=0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta=0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}a \neq 0 \\ \Delta=0\end{array}\right.$

- Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu: $\left\{\begin{array}{l}\Delta \geq 0 \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}\Delta \geq 0 \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime} \geq 0 \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime} \geq 0 \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.$

Bài toán 10: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{b} \mathrm{x}+\mathrm{c}=\mathbf{0}$ $\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{b} \mathrm{x}+\mathrm{c}=\mathbf{0}$ (a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm dương.

Điều kiện có hai nghiệm dương: $\quad\left\{\begin{array}{l}\Delta \geq 0 \\ P=\frac{c}{a}>0 \\ S=-\frac{b}{a}>0\end{array}\right.$ $\quad\left\{\begin{array}{l}\Delta \geq 0 \\ P=\frac{c}{a}>0 \\ S=-\frac{b}{a}>0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}\Delta \geq 0 \\ P=\frac{c}{a}>0 \\ S=-\frac{b}{a}>0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}\Delta \geq 0 \\ P=\frac{c}{a}>0 \\ S=-\frac{b}{a}>0\end{array}\right.$

Bài toán 11: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b x}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ $\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b x}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ (trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm. - Điều kiện có hai nghiệm âm:

$\left\{\begin{array} { l } { \Delta \geq 0 } \\ { P = \frac { c } { a } > 0 } \\ { S = - \frac { b } { a } < 0 } \end{array} \text { hoặc } \left\{\begin{array}{l} \Delta^{\prime} \geq 0 \\ P=\frac{c}{a}>0 \\ S=-\frac{b}{a}<0 \end{array}\right.\right.$ $\left\{\begin{array} { l } { \Delta \geq 0 } \\ { P = \frac { c } { a } > 0 } \\ { S = - \frac { b } { a } < 0 } \end{array} \text { hoặc } \left\{\begin{array}{l} \Delta^{\prime} \geq 0 \\ P=\frac{c}{a}>0 \\ S=-\frac{b}{a}<0 \end{array}\right.\right.$

Bài toán 12: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai $\overline{\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b x}+\mathbf{c}}=\mathbf{0}$ $\overline{\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b x}+\mathbf{c}}=\mathbf{0}$(a, b, c phụ thuộc tham số m) có $\mathbf{2}$ $\mathbf{2}$ nghiệm trái dấu. Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:

P<0 hoặc a và c trái dấu.

Bài toán 13: Tìm điểu kiện của tham số m để phương trình bậc hai $\overline{\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b x}+\mathbf{c}}=\mathbf{0}\left({ }^{*}\right)$ $\overline{\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b x}+\mathbf{c}}=\mathbf{0}\left({ }^{*}\right)$ ( a, b, c phu thuộc tham số m ) có một nghiệm $\mathbf{x}=\mathbf{x}_{1}$ $\mathbf{x}=\mathbf{x}_{1}$. - Cách giải:

- Thay $x=x_{1}$ $x=x_{1}$ vào phương trình $\left(^{*}\right)$ $\left(^{*}\right)$ ta có: $a x_{1}{ }^{2}+b x_{1}+c=0 \rightarrow m$ $a x_{1}{ }^{2}+b x_{1}+c=0 \rightarrow m$

- Thay giá trị của m vào (*) $\rightarrow \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ $\rightarrow \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$

- Hoặc tính $\mathrm{x}_{2}=\mathrm{S}-\mathrm{x}_{1} hoặc \mathrm{x}_{2}=\frac{P}{x_{1}}$ $\mathrm{x}_{2}=\mathrm{S}-\mathrm{x}_{1} hoặc \mathrm{x}_{2}=\frac{P}{x_{1}}$

Bài toán 14: Tìm điều kiện của tham :

$\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b x}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ $\mathbf{a x}^{2}+\mathbf{b x}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$(a, b, c phu thuộc tham sô m) có $\mathbf{2}$ $\mathbf{2}$ nghiệm $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}$ $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}$ thoả mãn các điều kiện:

$a. \alpha x_{1}+\beta x_{2}=\gamma$ $a. \alpha x_{1}+\beta x_{2}=\gamma$

$b. x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=k$ $b. x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=k$

$c. \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=n$ $c. \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=n$

$d. x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \geq h$ $d. x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \geq h$

$e. x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=t$ $e. x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=t$

Điều kiện chung: $\Delta \geq 0$ $\Delta \geq 0$ hoặc $\Delta^{\prime} \geq 0\left(^{*}\right)$ $\Delta^{\prime} \geq 0\left(^{*}\right)$

Theo định lí Viet ta có:

$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=S(1) \\ x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a}=P \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=S(1) \\ x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a}=P \end{array}\right.$

a. Trường hợp: $\alpha x_{1}+\beta x_{2}=\gamma$ $\alpha x_{1}+\beta x_{2}=\gamma$

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} \\ \alpha x_{1}+\beta x_{2}=\gamma\end{array} \longrightarrow \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right.$ $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} \\ \alpha x_{1}+\beta x_{2}=\gamma\end{array} \longrightarrow \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right.$

Thay $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$vào (2)

Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)

b. Trường hợp: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=k \leftrightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=k$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=k \leftrightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=k$

Thay $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=\mathrm{S}=\frac{-b}{a} và \mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}=\mathrm{P}=\frac{c}{a}$ $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=\mathrm{S}=\frac{-b}{a} và \mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}=\mathrm{P}=\frac{c}{a}$ vào ta có: $\mathrm{S}^{2}-2 \mathrm{P}=\mathrm{k} \rightarrow$ $\mathrm{S}^{2}-2 \mathrm{P}=\mathrm{k} \rightarrow$ Tìm được giá trị của m thoả mãn (*)

c. Trường hợp: $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=n \leftrightarrow x_{1}+x_{2}=n x_{1}, x_{2} \leftrightarrow-b=n c$ $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=n \leftrightarrow x_{1}+x_{2}=n x_{1}, x_{2} \leftrightarrow-b=n c$

................

II. Kiến thức phần Hình học

1. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

+ Tỉ số lượng giác của góc nhọn

+ Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:

b = a.sinB = a.cosC

b = c.cotB = c.cotC

c = a.sinC = a.cosB

c = b.tanC = b.cotB

2. Chương 2, 3: Đường tròn và góc với đường tròn

* Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây: trong một đường tròn:

+ Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

+ Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

* Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

* Liên hệ giữa cung và dây: trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

* Tiếp tuyến của đường tròn

+ Tính chất của tiếp tuyến: tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

+ Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

- Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung

+ Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính

+ Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó

+ Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau: nếu MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:

- MA = MB

- MO là phân gác của góc AMB và OM là phân giác của góc AOB với O là tâm của đường tròn

* Góc với đường tròn

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

+ Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

+ Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90⁰ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội tiếp thừ chắn nửa đường tròn

+ Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

* Với C là độ dài đường tròn, R là bán kính, l là độ dài cung thì:

+ Độ dài đường tròn: $C = 2\pi R$ $C = 2\pi R$

+ Độ dài cung tròn: $l = \frac{{\pi R{n^0}}}{{{{180}^0}}}$ $l = \frac{{\pi R{n^0}}}{{{{180}^0}}}$

+ Diện tích hình tròn: $S = \pi {R^2}$ $S = \pi {R^2}$

+ Diện tích hình quạt tròn: $S = \frac{{\pi {R^2}{n^0}}}{{{{360}^0}}}$ $S = \frac{{\pi {R^2}{n^0}}}{{{{360}^0}}}$

3. Chương 4: Hình trụ, hình nón, hình cầu

* Với h là chiều cao và l là đường sinh thì:

+ Diện tích xung quanh của hình trụ: ${S_{xq}} = 2\pi R.h$ ${S_{xq}} = 2\pi R.h$

+ Diện tích toàn phần hình trụ: ${S_{tp}} = 2\pi R.h + 2\pi {R^2}$ ${S_{tp}} = 2\pi R.h + 2\pi {R^2}$

+ Thể tích của hình trụ: $V = S.h + \pi {R^2}h$ $V = S.h + \pi {R^2}h$

+ Diện tích xung quanh của hình nón: ${S_{xq}} = \pi Rl$ ${S_{xq}} = \pi Rl$

+ Diện tích toàn phần hình nón: ${S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}$ ${S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}$

+ Thể tích hình nón: $V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h$ $V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h$

.............................

4. Các dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau.

Cách chứng minh:

Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác
Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau
Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba
Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc góc
Hai góc sole trong, sole ngoài hoặc đồng vị
Hai góc ở vị trí đối đỉnh
Hai góc của cùng một tam giác cân hoặc đều Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng
Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Cách chứng minh:

Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba
Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
Hai cạnh bên của hình thang cân Hai dây trương hai cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường bằng nhau.

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song

Cách chứng minh:

Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba
Chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba
Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: ở vị trí so le trong, ở vị trí so le ngoài, ở vị trí đồng vị.
Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đường tròn
Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành

Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Cách chứng minh:

Chúng song song song song với hai đường thẳng vuông góc khác.
Chứng minh chúng là chân đường cao trong một tam giác. Đường kính đi qua trung điểm dây và dây.
Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau.

Tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Ngoài ra các bạn học sinh tham khảo thêm rất nhiều tài liệu học tập khác như

Chia sẻ bởi: