Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng Bài tập Toán 9

Giới thiệu Tải về Bình luận

Bài tập hệ thức Vi-et là một trong những kiến thức quan trọng giúp các em học sinh lớp 9 giải được các dạng bài tập về hệ thức Vi-et.

Bài tập về hệ thức Vi-et bao gồm các lý thuyết và các dạng bài tập kèm theo, được biên soạn theo chương trình sách giáo khoa hiện hành. Nhằm giúp cho các em học sinh có tài liệu tham khảo để ôn tập, củng cố kiến thức đồng thời vận dụng để làm những bài tập có dạng tương tự hoặc nâng cao đạt kết quả tốt. Bên cạnh đó các em xem thêm một số tài liệu như: cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, cách bấm máy tính giải hệ phương trình.

Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc -1 Vi du 1: Nhầm nghiệm của các phương trình sau:

a) $3 x^{2}+8 x-11=0$

b) $2 x^{2}+5 x+3=0$

1.2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số cho biết, cho truớc một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:

Vi dụ 2:

a) Phương trình $x^{2}-2 p x+5=0$ có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình.

b) Phương trình $x^{2}+5 x+q=0$ có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình

c) Phương trình $x^{2}-7 x+q=0$ biết hiệu hai nghiệm bằng 11 . Tìm q và hai nghiệm của phương trình

d) Phương trình $x^{2}-q x+50=0$ có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó.

Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình

a) 5 $x^{2}+24 x+19=0$

b) $x^{2}-(m+5) x+m+4=0$

Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình

a) $x^{2}+m x-35=0$ biết một nghiệm bằng -5

b) $2 x^{2}-(m+4) x+m=0$ biết một nghiệm bằng -3

c) $m x^{2}-2(m-2) x+m-3=0$ biết một nghiệm bằng 3

2. Dạng 2: Lập phương trình bậc hai

2.1. Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Vi dụ 1: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2

Ví dụ 2: Cho $\mathrm{x}_{1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} ; \mathrm{x}_{2}=\frac{1}{1+\sqrt{3}}$

Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm: $\mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2}.$

2.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.

Vi dụ 1: Cho phương trình $x^{2}-3 x+2=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}.$

Vi dụ 2: Cho phương trình $3 x^{2}+5 x-6=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}.$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=x_{1}+\frac{1}{x_{2}} ; y_{2}=x_{2}+\frac{1}{x_{1}}$

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{px}+\mathrm{q}=0$ sao cho hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}.$ của phương trình thoả mãn hệ: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}=5 \\ \mathrm{x}_{1}^{3}-\mathrm{x}_{2}^{3}=35\end{array}\right.$

* Bài tập áp dụng:

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:

a) 8 và -3

b) 36 và -104

c) $1+\sqrt{2} và 1-\sqrt{2}$

d) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ và $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

Bài 2: Cho phương trình $x^{2}-5 x-1=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=x_{1}^{4} ; y_{2}=x_{2}^{4}$

Bài 3: Cho phương trình $x^{2}-2 x-8=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=x_{1}-3 ; y_{2}=x_{2}-3$

Bài 4: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương $x^{2}+m x-2=0$

Bài 5: Cho phương trình $x^{2}-2 x-m^{2}=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=2 x_{1}-1 ; y_{2}=2 x_{2}-1$

Bài 6: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}=2 \\ x_{1}^{3}-x_{2}{ }^{3}=26\end{array}\right.$

3. Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

Ví du 1: Tìm hai số a và b biết S=a+b=-3, P=a b=-4

Ví dụ 2: Tìm hai số a và b biết S=a+b=3, P=a b=6

* Bài tập áp dụng:

1: Tìm hai số biết tổng S =9 và tích P=20

2. Tìm x, y biết

a) x+y=11 ; x y=28

b) x-y=5 ; x y=66

Bài 3: Tìm hai số x, y biết: $x^{2}+y^{2}=25 ; x y=12$

4. Dạng 4: Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.

4.1. Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm.

Ví dụ

1: Cho phương trình $x^{2}-8 x+15=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ hãy tính

a) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

b) $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$

c) $\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}$

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho phương trình $8 x^{2}-72 x+64=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ hãy tính

$a) x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

$b) \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$

Bài 2: Cho phương trình $x^{2}-14 x+29=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ hãy tính

$a) x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$

$b) \frac{1-x_{1}}{x_{1}}+\frac{1-x_{2}}{x_{2}}$

4.2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc tham Số

Ví dụ 1: Cho Phương trình $m x^{2}-(2 m+3) x+m-4=0$ (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa $x_{1} ; x_{2}$ không phụ thuộc vào m

Ví dụ 2: Gọi $x_{1} ; x_{2}$ là nghiệm của phương trình $(m-1) x^{2}-2 m x+m-4=0$

Chứng minh biểu thức $A=3\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-8$ không phụ thuộc giá trị của m

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho phương trình $x^{2}-(m+2) x+2 m-1=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa $x_{1} ; x_{2}$ sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m

Bài 2:

Cho phương trình $x^{2}-2(m+1) x+m^{2}-1=0 (1)$

a) Giải phương trình (1) khi m=7

b) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ của (1) sao cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số m

4.3. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước.

Ví dụ 1: Cho phương trình $m x^{2}-6(m-1) x+9(m-3)=0$ . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}=x_{1} x_{2}$

Ví dụ 2: Cho phương trình $m x^{2}-2(m-4) x+m+7=0$ . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}-2 x_{2}=0$

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình $3 x^{2}+4(m-1) x+m^{2}-4 m+1=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)$