Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian Giải Toán 12 Kết nối tri thức trang 45 → 59

Giải Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1 trang 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59.

Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 Bài 6 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh ôn tập Bài 6 Chương II: Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian. Mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn:

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 trang 58, 59

Bài 2.1

Trong không gian, cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ phân biệt và đều khác $\overrightarrow{0}$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

c) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

d) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

Hướng dẫn giải:

Các mệnh đề đúng là: a), b)

Bài 2.2

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2, AD = 3 và AA' = 4. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{B{B}^{\prime }},\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.

Hướng dẫn giải:

Vì ABB'A' là hình chữ nhật nên AA' = BB' = DD' = 4 ⇒ $|\overrightarrow{B{B}^{\prime }}|=4$

ABCD là hình chữ nhật nên $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

⇒ $|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{13}$

Do BDD'B' là hình chữ nhật nên $B{D}^{\prime }=\sqrt{B{D}^2+D{D}^{\prime 2}}=\sqrt{(\sqrt{13}{)}^2+4^2}=\sqrt{29}$

⇒ $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=\sqrt{29}$

Bài 2.3

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow{a}$) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$).

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}$ và $\overrightarrow{e}$.

b) Giải thích vì sao các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ đôi một bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

a) Các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ đều cùng phương với vectơ $\overrightarrow{a}$ nên chúng đôi một cùng phương với nhau.

Các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ đều ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nên chúng đôi một cùng hướng với nhau.

b) Vì trọng lực tác dụng lên bàn phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực có độ lớn bằng nhau, do đó các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ có độ dài bằng nhau.

Vậy các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ đôi một bằng nhau

Bài 2.4

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{D}^{\prime }}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{0}$

c) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$

$=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}$

$=(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$

$=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{D}^{\prime }}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$

$=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$

$=\overrightarrow{0}$

c) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$

Bài 2.5

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$:

a) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$

b) $\overrightarrow{B^{\prime }C}$

c) $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$

Hướng dẫn giải:

a) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

b) $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

c) $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

Bài 2.6

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$

$\iff \overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SC}$

$\iff \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$ có cùng độ dài và cùng hướng

Suy ra BA = CD và BA // CD

Vậy ABCD là hình bình hành

Bài 2.7

Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM = 2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN = 2BN. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}$

$=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

Bài 2.8

Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{IG}$, ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).

Bài 2.9

Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Hướng dẫn giải:

Giả sử ba lực kéo trên mỗi sợi dây được biểu diễn bởi các vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ với O là đầu chung của ba sợi dây.

Khi các ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$

Vẽ điểm D sao cho OADB là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$

Khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OC}$, hay O là trung điểm của CD.

Do đó O, A, B, C cùng thuộc mặt phẳng (ABCD)

Vậy ba sợi dây cùng nằm trong một mặt phẳng

Bài 2.10

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

a) $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }C}$

b) $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{BC}$

c) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$

Hướng dẫn giải:

a) Vì ACC'A' là hình chữ nhật nên AA' = C'C và AA' // C'C

Hai vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }C}$ có cùng độ dài và ngược hướng nên $(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }C})={180}^{\circ }$

Vậy $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{C^{\prime }C}=|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}|\cdot |\overrightarrow{C^{\prime }C}|.\cos (\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }C})$

$=2\cdot 2.\cos {180}^{\circ }=-4$

b) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC và AD // BC

Hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ có cùng độ dài và cùng hướng nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

Do đó $(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{AD})=\widehat{A^{\prime }AD}={90}^{\circ }$

Vậy $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}|\cdot |\overrightarrow{BC}|.\cos (\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{BC})$

$=|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}|\cdot |\overrightarrow{AD}|.\cos (\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{AD})$

$=2\cdot 1.\cos {90}^{\circ }=0$

c) Vì ABB'A' là hình chữ nhật nên B'A' = BA và B'A' // BA

Hai vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{BA}$ có cùng độ dài và cùng hướng nên $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$

Do đó $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }})=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA})={135}^{\circ }$

Vậy $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}|.\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }})$

$=|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{BA}|.\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA})$

$=\sqrt{2}\cdot 1.\cos {135}^{\circ }=-1$

Bài 2.11

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng có độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 45°, hãy tính:

a) $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$

b) $(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$

c) $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{)}^2$

Hướng dẫn giải:

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

$=1.1.\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})={\overrightarrow{a}}^2+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-6{\overrightarrow{b}}^2$

$=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|.\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})-6|\overrightarrow{b}{|}^2$

$=1^2+\frac{\sqrt{2}}{2}-{6.1}^2$

$=\frac{-10+\sqrt{2}}{2}$

c) $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

$=1^2+2.\frac{\sqrt{2}}{2}+1^2$

$=2+\sqrt{2}$

Bài 2.12

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}$

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}).\overrightarrow{CD}$

$=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}$

$=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+(-\overrightarrow{BC}).(-\overrightarrow{DC})$

$=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}$

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}$

$=(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC})+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}$

$=(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB})+(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC})$

$=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC})=0$