Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Giải Toán 12 Kết nối tri thức trang 26 → 32

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1 trang 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32.

Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 Bài 4 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh ôn tập Bài 4 Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn:

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 trang 32

Bài 1.21

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = −x³ + 3x + 1;

b) y = x³ + 3x² – x – 1.

Hướng dẫn giải:

a) y = − x³ + 3x + 1

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\)

2. Sự biến thiên:

• Ta có: y' = - 3x² + 3. Vậy y' = 0 khi x = - 1 hoặc x = 1.
• Trên khoảng (- 1; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng (- ∞; - 1) và (1; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
• Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1, giá trị cực tiểu y_CT = - 1. Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại y_CĐ = 3.
• Giới hạn tại vô cực:

\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} x^3\left ( − 1 + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^3} \right ) = + \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty} x^3\left ( − 1 + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^3} \right ) = - \infty\)

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 1).

Điểm (- 1; - 1) thuộc đồ thị hàm số.

• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).

b) y = x³ + 3x² – x – 1.

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\)

2. Sự biến thiên:

• Ta có: y' = 3x² + 6x - 1. Vậy y' = 0 khi \(x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\) hoặc \(x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\).
• Trên khoảng \(\left(\frac{-3-2\sqrt{3}}{3};\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\right)\), y' < 0 nên hàm số nghịch biến. Trên các khoảng \(\left ( - \infty; \frac{-3 - 2\sqrt{3}}{3} \right )\) và \(\left ( \frac{-3+2\sqrt{3}}{3}; + \infty \right )\), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
• Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=\frac{18-16\sqrt{3}}{9}\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\), giá trị cực đại \(y_{CĐ}=\frac{18+16\sqrt{3}}{9}\).
• Giới hạn tại vô cực:

\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} x^3\left ( 1 + \frac{3}{x} -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} \right ) = - \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty} x^3\left ( 1 + \frac{3}{x} -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} \right ) =+ \infty\)

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; - 1).

Điểm (1; 2) thuộc đồ thị hàm số.

• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (- 1; 2).

Bài 1.22

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{2x+x}{x+1}\);

b) \(y = \frac{x+3}{1-x}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \frac{2x+1}{x+1}\)

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ - 1 \right \}\)

2. Sự biến thiên:

• Ta có: \(y'=\frac{1}{\left(x+1\right)^2} >0\) với mọi x ≠ - 1.
• Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ∞; - 1) và (- 1; + ∞).
• Hàm số không có cực trị.
• Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} \frac{2x+1}{x+1} = + \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow - 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^+} \frac{2x+1}{x+1} = -\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{2x+1}{x+1} = 2\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x+1}{x+1} = 2\)

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 1).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left(-\frac{1}{2};0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) \(y = \frac{x+3}{1-x}\)

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\)

2. Sự biến thiên:

• Ta có: \(y'=\frac{4}{\left(1 - x\right)^2} >0\) với mọi x ≠ 1.
• Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ∞; 1) và (1; + ∞).
• Hàm số không có cực trị.
• Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} \frac{x+3}{1-x} = + \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^+} \frac{x+3}{1-x} = -\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{x+3}{1-x} = -1\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x+3}{1-x} = -1\)

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = - 1.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 3).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (- 3; 0).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; - 1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.23

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{2x^{2} -x+4}{x2}\)

b) \(y = \frac{x^{2} +2x+1}{x+3}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \frac{2x^{2} -x+4}{x-1}\)

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\)

2. Sự biến thiên: Viết \(y= 2x+1+\frac{5}{x-1}\)

• Ta có: \(y'=2-\frac{5}{\left(x-1\right)^2} = \frac{2x^2-4x+3}{\left(x-1\right)^2}\)

Vậy \(y'=0 \Leftrightarrow \frac{2x^2-4x+3}{\left(x-1\right)^2} =0\)\(\Leftrightarrow x=\frac{2+\sqrt{10} }{ 2}\) hoặc \(x=\frac{2-\sqrt{10} }{ 2}\)

• Trên các khoảng \(\left(-\infty;\frac{2-\sqrt{10}}{2}\right)\) và \(\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2}; +\infty \right),\)y' > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng \(\left( \frac{2-\sqrt{10}}{2} ; 1\right)\) và \(\left(1;\frac{2+\sqrt{10}}{2} \right) ,\) y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

• Hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{2-\sqrt{10} }{ 2}\) với \(y_{CĐ}=3-2\sqrt{10}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\frac{2+\sqrt{10} }{ 2}\) với \(y_{CT}=3 + 2\sqrt{10}\)

• \(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{2x^{2} -x+4}{x-1} =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{2x -1 +\frac{ 4}{x } }{1-\frac{1}{x } }= - \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2x^{2} -x+4}{x-1} =\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{2x -1 +\frac{ 4}{x } }{1-\frac{1}{x } }= + \infty\)

• Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow 1^-} y = \lim_{x\rightarrow 1^-} \left ( 2x+1+\frac{5}{x-1} \right )= - \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow 1^+} y = \lim_{x\rightarrow 1^+} \left ( 2x+1+\frac{5}{x-1} \right )= + \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} [y -(2x+1)] = \lim_{x\rightarrow + \infty} \left ( \frac{5}{x-1} \right )= 0\)

\(\lim_{x\rightarrow -\infty} [y -(2x+1)] = \lim_{x\rightarrow - \infty} \left ( \frac{5}{x-1} \right )= 0\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x + 1

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; - 4).

Điểm (2; 10) thuộc đồ thị của hàm số.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) \(y = \frac{x^{2} +2x+1}{x+3}\)

Bài 1.24

Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).

b) Coi C(x) là hàm số xác định với x ³ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Hướng dẫn giải:

a) Khối lượng KOH trong cốc ban đầu là: 30 . 100 = 3000 (mg)

Khối lượng KOH trong bình là: 8x (mg)

Khối lượng KOH trong cốc sau khi trộn là: 8x + 3000 (mg)

-> Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn là:

\(C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}\) (mg/ml)

b) Xét hàm số \(C\left(x\right)=\frac{8x+3000}{x+30}\) với x ≥ 0.

1. Tập xác định của hàm số: \([0;+ \infty)\)

2. Sự biến thiên: Viết \(C(x)= 8+\frac{2760}{x+30}\)

• Ta có: \(y'= -\frac{2760}{\left(x+30\right)^2} <0\) với mọi x ≥ 0.
• Hàm số nghịch biến trên \([0;+ \infty)\)
• Hàm số không có cực trị.

• Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty}\frac{8x+3000}{x+30} =8\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty}\frac{8x+3000}{x+30} =8\)

\(\lim_{x\rightarrow -30^-} y = \lim_{x\rightarrow -30^-} \frac{8x+3000}{x+30}= - \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow -30^+} y = \lim_{x\rightarrow -30^+} \frac{8x+3000}{x+30}= +\infty\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 30 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 8.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị là phần bên phải trục Oy:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 100).

Điểm (200; 20) thuộc đồ thị của hàm số.

c) Do y' < 0 với mọi x ≥ 0 và \(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =8\) nên nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml

Bài 1.25

Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở R₁ và R₂ thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức \(R = \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} }\) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở 8 Ω được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu x (Ω) thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số y = R(x), x > 0 và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω.

Hướng dẫn giải:

Điện trở tương đương của mạch là: \(R=\frac{8x}{x+8}\) (Ω)

Xét hàm số \(y=R\left(x\right)=\frac{8x }{x+8}\) với x > 0.

1. Tập xác định của hàm số: \((0;+ \infty)\)

2. Sự biến thiên: Viết \(R(x)= 8-\frac{64}{x+8}\)

• Ta có: \(R'(x)= \frac{64}{\left(x+8\right)^2} >0\) với mọi x > 0.
• Hàm số đồng biến trên \((0;+ \infty)\)
• Hàm số không có cực trị.

• Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty}\frac{8x }{x+8} =8\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{8x }{x+8} =8\)

\(\lim_{x\rightarrow -8^-} y = \lim_{x\rightarrow -8^-} \frac{8x}{x+8}= + \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow -8^+} y = \lim_{x\rightarrow -8^+} \frac{8x}{x+8}= - \infty\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 8 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 8.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị là phần bên phải trục Oy:

Giao điểm của đồ thị hàm số vi trục tung là điểm (0; 0).

Điểm (8; 4) thuộc đồ thị của hàm số.

a) Vì R'(x) > 0 nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch cũng tăng.

b) Do \(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =8\) nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω