Download.vn Học tập Lớp 12 Toán 12 Chân trời sáng tạo

Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo trang 25 → 36

Tải về Bình luận
  • 1
Mục lục

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 25 → 36.

Giải bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 1 Bài 4 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh ôn tập Bài 4 Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn:

Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Tập 1 trang 36

Bài 1

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x3 + x – 2

b) y = 2x^3 + x^2 - \frac{ 1}{ 2} x - 3\(y = 2x^3 + x^2 - \frac{ 1}{ 2} x - 3\)

Hướng dẫn giải:

a) Xét hàm số: y = x3 + x – 2

1. Tập xác định: \mathbb{R}\(\mathbb{R}\).

2. Sự biến thiên:

  • Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 3x2 + 1. Do y' > 0 trên \mathbb{R}\(\mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; +\infty )\((– ∞; +\infty )\).

Hàm số đã cho không có cực trị.

  • Các giới hạn tại vô cực:

\lim_{x \rightarrow -\infty} y=\lim_{x \rightarrow -\infty}x^3 \left ( 1+\frac{1}{x^2 }-\frac{ 2}{x^3} \right ) =-∞\(\lim_{x \rightarrow -\infty} y=\lim_{x \rightarrow -\infty}x^3 \left ( 1+\frac{1}{x^2 }-\frac{ 2}{x^3} \right ) =-∞\)

\lim_{x \rightarrow +\infty} y=\lim_{x \rightarrow +\infty}x^3 \left ( 1+\frac{1}{x^2 }-\frac{ 2}{x^3} \right ) =+∞\(\lim_{x \rightarrow +\infty} y=\lim_{x \rightarrow +\infty}x^3 \left ( 1+\frac{1}{x^2 }-\frac{ 2}{x^3} \right ) =+∞\)

  • Bảng biến thiên:

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

3. Đồ thị

Khi x = 0 thì y = - 2 nên (0; - 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x3 + x – 2 = 0

⇔ x = 1.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(0; - 2).

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

b) Xét hàm số: y = 2x^3 + x^2 - \frac{ 1}{ 2} x - 3\(y = 2x^3 + x^2 - \frac{ 1}{ 2} x - 3\)

1. Tập xác định: \mathbb{R}\(\mathbb{R}\).

2. Sự biến thiên:

  • Chiều biến thiên:

Đạo hàm y\(y'=6x^2 + 2x-\frac{1}{2}\).

y' = 0 ⇔ x=-\frac{1}{2}\(x=-\frac{1}{2}\) hoặc x=\frac{1}{6}\(x=\frac{1}{6}\)

Trên các khoảng (– ∞; – \frac{ 1}{ 2} )\((– ∞; – \frac{ 1}{ 2} )\) và (\frac{ 1}{6} ; + ∞)\((\frac{ 1}{6} ; + ∞)\), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (– \frac{ 1}{ 2} ; \frac{1}{6} )\((– \frac{ 1}{ 2} ; \frac{1}{6} )\), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

  • Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x=-\frac{1}{2}\(x=-\frac{1}{2}\) và y_{CĐ}=-\frac{11}{4}\(y_{CĐ}=-\frac{11}{4}\).

Hàm số đạt cực tiểu tại x=\frac{1}{6}\(x=\frac{1}{6}\) và y_{CT}=-\frac{329}{108}\(y_{CT}=-\frac{329}{108}\).

  • Các giới hạn tại vô cực:

\lim_{x \rightarrow -\infty} y=\lim_{x \rightarrow -\infty}x^3 \left ( 2+\frac{1}{x }+\frac{1}{2x^2 }-\frac{ 3}{x^3} \right ) =-∞\(\lim_{x \rightarrow -\infty} y=\lim_{x \rightarrow -\infty}x^3 \left ( 2+\frac{1}{x }+\frac{1}{2x^2 }-\frac{ 3}{x^3} \right ) =-∞\)

\lim_{x \rightarrow +\infty} y=\lim_{x \rightarrow +\infty}x^3 \left ( 2+\frac{1}{x }+\frac{1}{2x^2 }-\frac{ 3}{x^3} \right ) =+∞\(\lim_{x \rightarrow +\infty} y=\lim_{x \rightarrow +\infty}x^3 \left ( 2+\frac{1}{x }+\frac{1}{2x^2 }-\frac{ 3}{x^3} \right ) =+∞\)

  • Bảng biến thiên:

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

3. Đồ thị

Khi x = 0 thì y = - 3 nên (0; - 3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ 2x^3 + x^2 - \frac{ 1}{ 2} x - 3 =0\(2x^3 + x^2 - \frac{ 1}{ 2} x - 3 =0\)

⇔ x = 1,06

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1,063; 0).

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 2

Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2.

a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y" = 0.

b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải:

a) Tập xác định của hàm số: \mathbb{R}\(\mathbb{R}\).

Ta có: y' = 3x2 - 6x

y'' = 6x - 6; y'' = 0 ⇔ x = 1.

=> Tọa độ điểm I(1; 0).

b) Ta có: y' = 0 ⇔ 3x2 - 6x = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Lập bảng biến thiên:

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và yCT = - 2

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai cực trị là (1; 0).

Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Bài 3

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y=3+\frac{1}{x}\(y=3+\frac{1}{x}\)

b) y = \frac{x-3}{1-x}\(y = \frac{x-3}{1-x}\).

Hướng dẫn giải:

a) y=3+\frac{1}{x} =\frac{3x+1}{x}\(y=3+\frac{1}{x} =\frac{3x+1}{x}\)

1. Tập xác định: D=\mathbb{R} \setminus \left \{ 0 \right \}\(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ 0 \right \}\)

2. Sự biến thiên:

  • Chiều biến thiên:

Đạo hàm y\(y'=-\frac{1}{x^2}\). Vì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0)\((– ∞; 0)\) và (0; + ∞)\((0; + ∞)\).

  • Tiệm cận:

Ta có: \lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left ( 3+\frac{1}{x} \right ) =3;\(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left ( 3+\frac{1}{x} \right ) =3;\) \lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left ( 3+\frac{1}{x} \right ) = 3\(\lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left ( 3+\frac{1}{x} \right ) = 3\). Suy ra đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: \lim_{x \rightarrow 0^+} y = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left ( 3+\frac{1}{x} \right ) =+\infty ;\(\lim_{x \rightarrow 0^+} y = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left ( 3+\frac{1}{x} \right ) =+\infty ;\) \lim_{x \rightarrow 0^-} y = \lim_{x \rightarrow 0^-} \left (3+\frac{1}{x} \right ) =-\infty\(\lim_{x \rightarrow 0^-} y = \lim_{x \rightarrow 0^-} \left (3+\frac{1}{x} \right ) =-\infty\). Suy ra đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Bảng biến thiên:

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

3. Đồ thị

Ta có y = 0 ⇔ 3+\frac{ 1}{x }=0\(3+\frac{ 1}{x }=0\)

⇔ x=-\frac{1}{3}\(x=-\frac{1}{3}\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm \left(-\frac{1}{3};0\right)\(\left(-\frac{1}{3};0\right)\)

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(0; 3).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 và y = 3.

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

b) y = \frac{x-3}{1-x}\(y = \frac{x-3}{1-x}\).

1. Tập xác định: D=\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\)

2. Sự biến thiên:

  • Chiều biến thiên:

Đạo hàm y\(y'=-\frac{2}{\left(1-x\right)^2}\). Vì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1)\((– ∞; 1)\) và (1; + ∞)\((1; + ∞)\).

  • Tiệm cận:

Ta có: \lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x-3}{1-x} =-1;\(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x-3}{1-x} =-1;\) \lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x-3}{1-x} = - 1\(\lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x-3}{1-x} = - 1\). Suy ra đường thẳng y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: \lim_{x \rightarrow 1^+} y = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{x-3}{1-x} =+\infty ;\(\lim_{x \rightarrow 1^+} y = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{x-3}{1-x} =+\infty ;\) \lim_{x \rightarrow 1^-} y = \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{x-3}{1-x} =-\infty\(\lim_{x \rightarrow 1^-} y = \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{x-3}{1-x} =-\infty\). Suy ra đường thẳng x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Bảng biến thiên:

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

3. Đồ thị

Khi x = 0 thì y = - 3 nên (0; - 3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ \frac{x-3}{1-x} =0\(\frac{x-3}{1-x} =0\)

⇔ x = 3.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (3; 0).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; - 1).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = - 1.

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 4

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\)

b) y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}\(y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}\)

Hướng dẫn giải:

a) y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\)

1. Tập xác định: D=\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\)

2. Sự biến thiên:

  • Chiều biến thiên:

Đạo hàm y\(y'= \frac{ x^2-2x }{(x-1)^2}\). Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (0; 1) và (1; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (-\infty ;0)\((-\infty ;0)\) và (2; +\infty )\((2; +\infty )\), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

  • Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

\lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = -\infty ;\(\lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = -\infty ;\) \lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = +\infty\(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = +\infty\)

Ta có: a=\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x^2 - x}} = 1\(a=\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x^2 - x}} = 1\) và b= \lim_{x \rightarrow +\infty } \left (\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} -x\right ) = -1\(b= \lim_{x \rightarrow +\infty } \left (\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} -x\right ) = -1\)

Suy ra đường thẳng y = x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: \lim_{x \rightarrow 1^+} y = \lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} =+\infty ;\(\lim_{x \rightarrow 1^+} y = \lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} =+\infty ;\) \lim_{x \rightarrow 1^-} y = \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} =-\infty\(\lim_{x \rightarrow 1^-} y = \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} =-\infty\). Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Bảng biến thiên:

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại (0; - 2).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 0).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x - 1.

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

b) y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}\(y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}\)

1. Tập xác định: D=\mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{1}{2} \right \}\(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ \frac{1}{2} \right \}\)

2. Sự biến thiên:

  • Chiều biến thiên:

Đạo hàm y\(y'= 2-\frac{2}{(1-2x)^2}\). Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Trên các khoảng (0; \frac{1}{2}\(\frac{1}{2}\)) và (\frac{1}{2}\(\frac{1}{2}\); 1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (-\infty ;0)\((-\infty ;0)\) và (1; +\infty )\((1; +\infty )\), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

  • Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

\lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left ( 2x - \frac{1}{{1 - 2x}} \right ) = -\infty ;\(\lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left ( 2x - \frac{1}{{1 - 2x}} \right ) = -\infty ;\) \lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left (2x - \frac{1}{{1 - 2x}} \right ) = +\infty\(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left (2x - \frac{1}{{1 - 2x}} \right ) = +\infty\)

Ta có: a=\lim_{x \rightarrow +\infty } \left (2 - \frac{1}{{x - 2x^2}} \right ) = 2\(a=\lim_{x \rightarrow +\infty } \left (2 - \frac{1}{{x - 2x^2}} \right ) = 2\) và b= \lim_{x \rightarrow +\infty } \left (2x - \frac{1}{{1 - 2x}} -2x\right ) = 0\(b= \lim_{x \rightarrow +\infty } \left (2x - \frac{1}{{1 - 2x}} -2x\right ) = 0\)

Suy ra đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2} ^+} y = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2} ^+} \left ( 2x - \frac{1}{{1 - 2x}} \right ) =+\infty ;\(\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2} ^+} y = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2} ^+} \left ( 2x - \frac{1}{{1 - 2x}} \right ) =+\infty ;\) \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2} ^-} y = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2} ^-} \left ( 2x - \frac{1}{{1 - 2x}} \right ) =-\infty\(\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2} ^-} y = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2} ^-} \left ( 2x - \frac{1}{{1 - 2x}} \right ) =-\infty\). Suy ra đường thẳng x=\frac{1}{2}\(x=\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Bảng biến thiên:

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại (0; - 1).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I\left(\frac{1}{2};1\right)\(I\left(\frac{1}{2};1\right)\).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x=\frac{1}{2}\(x=\frac{1}{2}\) và y = 2x.

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 5

Cho hàm số: y = \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}\(y = \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}\)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm toạ độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Hướng dẫn giải:

a) y = \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}\(y = \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}\)

1. Tập xác định: D=\mathbb{R} \setminus \left \{ -2 \right \}\(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ -2 \right \}\)

2. Sự biến thiên:

  • Chiều biến thiên:

Đạo hàm y\(y'= \frac{ -x^2-4x+5 }{(x+2)^2}\). Ta có y' = 0 ⇔ x = - 5 hoặc x = 1.

Trên các khoảng (-\infty ;-5)\((-\infty ;-5)\) và (1; +\infty )\((1; +\infty )\), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (-5;-2)\((-5;-2)\) và (-2; 1 )\((-2; 1 )\), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

  • Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 5 và yCT = 13

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCĐ = 1

  • Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

\lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} = +\infty ;\(\lim_{x \rightarrow -\infty} y = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} = +\infty ;\) \lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} = -\infty\(\lim_{x \rightarrow +\infty} y = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} = -\infty\)

Ta có: a=\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x^2 + 2x}} = - 1\(a=\lim_{x \rightarrow +\infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x^2 + 2x}} = - 1\) và b= \lim_{x \rightarrow +\infty } \left ( \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} +x\right ) = 5\(b= \lim_{x \rightarrow +\infty } \left ( \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} +x\right ) = 5\)

Suy ra đường thẳng y = - x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: \lim_{x \rightarrow -2^+} y = \lim_{x \rightarrow -2^+} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =-\infty ;\(\lim_{x \rightarrow -2^+} y = \lim_{x \rightarrow -2^+} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =-\infty ;\) \lim_{x \rightarrow -2^-} y = \lim_{x \rightarrow -2^-} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =+\infty\(\lim_{x \rightarrow -2^-} y = \lim_{x \rightarrow -2^-} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =+\infty\). Suy ra đường thẳng x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Bảng biến thiên:

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

3. Đồ thị

Ta có y = 0 ⇔ \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =0\(\frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} =0\)

⇔ x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\(x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) hoặc x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\(x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm \left( \frac{3+\sqrt{13}}{2} ;0\right)\(\left( \frac{3+\sqrt{13}}{2} ;0\right)\) và \left(\frac{3-\sqrt{13}}{2};0\right)\(\left(\frac{3-\sqrt{13}}{2};0\right)\).

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại \left(0;\frac{1}{2}\right)\(\left(0;\frac{1}{2}\right)\).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(- 2; 7).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = - 2 và y = - x + 5.

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

b) (-2; 7) là tọa độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số chính là trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Bài 6

Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.

Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Hướng dẫn giải:

a) Cạnh của đáy hộp là: 6 - 2x (dm)

Hàm số biểu thị thể tích hộp với cạnh đáy 6 - 2x (dm) và chiều cao h = x (dm) là:

V(x) = (6 - 2x)2 . x = 4x3 - 24x2 + 36x

b) Xét hàm số y = V(x) = 4x3 - 24x2 + 36x

1. Tập xác định: (0; 3)

2. Sự biến thiên:

  • Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 12x2 - 48x + 36. Ta có y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Trên khoảng (1; 3), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (0; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

  • Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCĐ = 16.
  • Bảng biến thiên:

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

3. Đồ thị

Ta có y = 0 ⇔ 4x3 - 24x2 + 36x = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 3

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (0; 0) và (3; 0)

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại (0; 0).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(2; 8).

Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Vậy Việt nên cắt đi 4 hình vuông ở góc có cạnh bằng 1dm để thể tích của hộp đạt lớn nhất là 16 dm3.

Chia sẻ bởi: 👨 Lê Thị tuyết Mai
Liên kết tải về

Link Download chính thức:

Tìm thêm: Giải SGK Toán 12 Toán 12 Chân trời sáng tạo
Sắp xếp theo
👨

Tài liệu tham khảo khác

Chủ đề liên quan

Có thể bạn quan tâm

Xem thêm

Mới nhất trong tuần

Toán 12 - CTST
Chỉ thành viên Download Pro tải được nội dung này! Download Pro - Tải nhanh, website không quảng cáo! Tìm hiểu thêm
Mua Download Pro 79.000đ