Toán 12 Bài tập cuối chương I Giải Toán 12 Kết nối tri thức trang 42, 43, 44

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương I là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1 trang 42, 43, 44.

Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập 1 Bài tập cuối chương I được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh ôn tập Bài tập cuối chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn:

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 trang 42, 43 - Trắc nghiệm

Bài 1.30

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Phát biểu nào dưới đây là đúng?

A. Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b).

B. Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b).

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a; b).

D. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b).

Đáp án: B

Bài 1.31

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ℝ.

A) = −x³ + 3x² – 9x.

B. y = −x³ + x + 1.

C. y = \(\frac{x-1}{x-2}\)

D. y = 2x² + 3x + 2.

Đáp án: A

Bài 1.32

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A. y = |x|.

B. y = x⁴.

C. y = −x³ + x.

D. \(y=\frac{2x-1}{x+1}\) .

Đáp án: D

Bài 1.33

Giá trị cực tiểu của hàm số y = x²lnx là

A. \(\frac{1}{e}\)

B. \(-\frac{1}{e}\)

C. \(-\frac{1}{2e}\)

D. \(\frac{1}{2e}\)

Đáp án: C

Bài 1.34

Giá trị lớn nhất của hàm số y = (x – 2)²e^x trên đoạn [1; 3] là

A. 0.

B. e³.

C. e⁴.

D. e.

Đáp án: B

Bài 1.35

Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn: \(\lim_{x\rightarrow 2^{+} } f(x) = 1\); \(\lim_{x\rightarrow 2^{-} } f(x) = 1\); \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = 2\) và \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = 2\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

B. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

C. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

D. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án: B

Bài 1.36

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = \(\frac{x^{2} +2x-2}{x+2}\) là

A. y = −2.

B. y = 1.

C. y = x + 2.

D. y = x.

Đáp án: D

Bài 1.37

Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ\{1; 3}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

B. Đường thẳng y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

C. Đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

D. Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án: D

Bài 1.38

Đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số:

A. \(y = \frac{x+1}{x+2}\)

B. \(y = \frac{2x+1}{x+1}\)

C. \(y = \frac{x-1}{x+1}\)

D. \(y = \frac{x+3}{1-x}\)

Đáp án: B

Bài 1.39

Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số:

A. \(y = x - \frac{1}{x+1}\) B. \(y = \frac{2x+1}{x+1}\) C. \(y = \frac{x^{2}-x+1 }{x+1}\) D. \(y= \frac{x^{2} +x+1}{x+1}\)

Đáp án: D

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 trang 43, 44 - Tự luận

Bài 1.40

Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 3x – 1;

b) y = x⁴ – 2x² – 1;

c) \(y = \frac{2x-1}{3x+1}\)

d) \(y = \frac{x^{2} +2x+2}{x+1}\)

Hướng dẫn giải:

a) y = x³ – 3x² + 3x – 1

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: y' = 3x² - 6x + 3

y' = 0 \(\Leftrightarrow\) x = 1

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-∞;1\right)\) và \(\left(1;+∞\right)\)

Hàm số không có cực trị.

b) y = x⁴ – 2x² – 1

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: y' = 4x³ - 4x

y' = 0 \(\Leftrightarrow\) x = - 1 hoặc x = 0 hoặc x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(1;+∞\right)\), nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; - 1)\) và \((0;1)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1 và y_CT = y(- 1) = - 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = y(1) = - 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = - 1.

c) \(y = \frac{2x-1}{3x+1}\)

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R} \setminus \left \{-\frac{1}{3} \right \}\).

Ta có: \(y'=\frac{5}{\left(3x+1\right)^2}>0\) với mọi \(x\ne-\frac{1}{3}\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(- \infty ; - \frac{ 1}{3} \right)\) và \(\left(- \frac{ 1}{3}; + \infty \right)\)

Hàm số không có cực trị.

d) \(y = \frac{x^{2} +2x+2}{x+1}\)

Bài 1.41

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{2x+1}{3x-2}\) trên nửa khoảng [2; +∞);

b) \(y = \sqrt{2-x^{2} }\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \frac{2x+1}{3x-2}\) trên nửa khoảng [2; +∞)

Ta có: \(y'=-\frac{7}{\left(3x-2\right)^2} <0\) với mọi x ≥ 2.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có \(\underset{[2;+\infty)}{\max} y=y(2)=\frac{5}{4}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) \(y = \sqrt{2-x^{2} }\)

TXĐ: \(\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

Ta có: \(y'=-\frac{x}{ \sqrt{2-x^2} }\); y' = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có \(\underset{[-\sqrt{2} ;\sqrt{2}] }{\max} y=y(0)=\sqrt{2}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

Bài 1.42

Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{3x-2}{x+1}\)

b) \(y = \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \frac{3x-2}{x+1}\)

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{3x-2}{x+1} =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{3 -\frac{2}{x} }{1+\frac{1}{x}} = 3\)

\(\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3x-2}{x+1} =\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3 -\frac{2}{x} }{1+\frac{1}{x}} = 3\)

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3.

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow -1^+} f(x)= \lim_{x\rightarrow -1^+} \frac{3x-2}{x+1} = -\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow -1^-} f(x)= \lim_{x\rightarrow -1^-} \frac{3x-2}{x+1} = +\infty\)

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1.

b) \(y=f(x)=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right)+\frac{1}{4\left(2x-1\right)}\)

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2} ^+} f(x)= \lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2}^+} \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1} = +\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2} ^-} f(x)= \lim_{x\rightarrow \frac{ 1}{ 2}^-} \frac{x^{2}+2x-1 }{2x-1} = -\infty\)

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=\frac{1}{2}\).

Ta có: \(\lim_{x\rightarrow +\infty} \left [ f(x) -\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right) \right ] = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{4\left(2x-1\right)} =0\)

\(\lim_{x\rightarrow -\infty} \left [ f(x) -\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\right) \right ] = \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{4\left(2x-1\right)} =0\)

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\).

Bài 1.43

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = −x³ + 6x² – 9x + 12;

b) \(y = \frac{2x-1}{x+1}\)

c) \(y = \frac{x^{2}-2x }{x-1}\)

Hướng dẫn giải:

a) y = −x³ + 6x² – 9x + 12

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\)

2. Sự biến thiên:

• Ta có: y' = - 3x² + 12x - 9. Vậy y' = 0 khi x = 1 hoặc x = 3.
• Trên khoảng (1; 3), y' > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
• Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y_CT = 8. Hàm số đạt cực đại tại x = 3, giá trị cực đại y_CĐ = 12.
• Giới hạn tại vô cực:

\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} x^3\left ( − 1 + \frac{6}{x } - \frac{9}{x^2} + \frac{12}{x^3} \right ) = + \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow + \infty} x^3\left ( − 1 + \frac{6}{x } - \frac{9}{x^2} + \frac{12}{x^3} \right ) = - \infty\)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 12).

Điểm (1; 8) thuộc đồ thị hàm số.

• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (2; 10).

b) \(y = \frac{2x-1}{x+1}\)

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ - 1 \right \}\)

2. Sự biến thiên:

• Ta có: \(y'=\frac{3}{\left(x+1\right)^2} >0\) với mọi x ≠ - 1.
• Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ∞; - 1) và (- 1; + ∞).
• Hàm số không có cực trị.
• Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^ -} \frac{2x-1}{x+1} = + \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow - 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow - 1 ^+} \frac{2x-1}{x+1} = -\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow - \infty} y =\lim_{x\rightarrow - \infty} \frac{2x-1}{x+1} = 2\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} y =\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x-1}{x+1} = 2\)

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1, tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; - 1).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( \frac{1}{2};0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

c) \(y = \frac{x^{2}-2x }{x-1} = x-1-\frac{1}{x-1}\)

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\)

2. Sự biến thiên:

• Ta có: \(y'=1+\frac{1}{\left(x-1\right)^2} >0\) với mọi x ≠ 1.
• Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ∞; 1) và (1; + ∞).
• Hàm số không có cực trị.
• Tiệm cận: \(\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^ -} \frac{x^{2}-2x }{x-1} = + \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow 1 ^ +} y =\lim_{x\rightarrow 1 ^+} \frac{x^{2}-2x }{x-1} = -\infty\)

\(\lim_{x\rightarrow + \infty} [y-(x-1)] =\lim_{x\rightarrow + \infty} -\frac{1}{x+1} = 0\)

\(\lim_{x\rightarrow - \infty} [y-(x-1)] =\lim_{x\rightarrow - \infty} -\frac{1}{x+1} = 0\)

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, tiệm cận xiên là đường thẳng y = x - 1.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 0).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (2; 0).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.44

Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\frac{1}{p} +\frac{1}{q} = \frac{1}{f}\)

a) Viết công thức tính q = g(p) như một hàm số của biến p ∈ (f; +∞).

b) Tính các giới hạn \(\lim_{p\rightarrow +\infty } g(p); \lim_{p\rightarrow f^{+} }g(p)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số q = g(p) trên khoảng (f; +∞).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\frac{1}{p} +\frac{1}{q} = \frac{1}{f} \Leftrightarrow q = g(p) =\frac{fp}{p-f}\) với p ∈ (f; +∞).

b) Ta có: \(\lim_{p\rightarrow +\infty } g(p) = \lim_{p\rightarrow +\infty }\frac{fp}{p-f} =f\)

=> Khoảng cách từ vật đến thấu kính càng lớn thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính càng gần bằng tiêu cự.

\(\lim_{p\rightarrow f^{+} }g(p) = \lim_{p\rightarrow f^{+} }\frac{fp}{p-f} = + \infty\)

=> Khoảng cách từ vật đến thấu kính càng tiến về tiêu cự f thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính càng lớn.

c) Ta có: \(q'=\frac{-f^2}{\left(p-f\right)^2}<0\) với p ∈ (f; +∞).

Bảng biến thiên:

Bài 1.45

Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: N(t) = 100e^0,012t (N(t) được tính bằng triệu người, 0 ≤ t ≤ 50).

a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0; 50].

c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm.

Bài 1.46

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.