Giải Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Giải SGK Toán 9 Tập 2 (trang 52, 53)

Giải Toán lớp 9 trang 52, 53 tập 2 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi và bài tập của bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng thuộc chương 4 Đại số 9.

Giải Toán 9 Bài 6 tập 2 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 52, 53 tập 2 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Trả lời câu hỏi Toán 9 Bài 6
Giải Toán 9 trang 52 tập 2

Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1. Hệ thức Vi-ét

Nếu ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

$\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}& & \\ x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a} & & \end{matrix}\right.$

2. Áp dụng

a) Tính nhẩm nghiệm

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 = c/a

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 và nghiệm còn lại là x2 = -c/a

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x2 - Sx + P = 0

+ Điều kiện để có hai số đó là S2 - 4P ≥ 0

Trả lời câu hỏi Toán 9 Bài 6

Câu hỏi 1

Hãy tính x₁ + x₂, x₁x₂.

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$

Gợi ý đáp án

$\begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} + \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \hfill \\ = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{ - 2b}}{{2a}} = \dfrac{{ - b}}{a} \hfill \\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\left( {\dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}} \right) \hfill \\ = \dfrac{{\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} \hfill \\ = \dfrac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{{b^2} - {b^2} + 4ac}}{{4{a^2}}} = \dfrac{c}{a} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu hỏi 2

Cho phương trình 2x² – 5x + 3 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

b) Chứng tỏ rằng x₁= 1 là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm x₂.

Gợi ý đáp án

a) a = 2; b = -5; c = 3

⇒ a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0

b) Thay x = 1 vào phương trình ta được:

2.1² - 5.1 + 3 = 0

Vậy = 1 là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có: ${x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{3}{2}:{x_1} = \frac{3}{2}:1 = \frac{3}{2}$

Câu hỏi 3

Cho phương trình 3x² + 7x + 4 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.

b) Chứng tỏ rằng x₁= -1 là một nghiệm của phương trình.

c) Tìm nghiệm x₂.

Gợi ý đáp án

a) a = 3; b = 7; c = 4

⇒ a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0

b) Thay x = -1 vào phương trình ta được:

3.(-1)² + 7.(-1) + 4 = 0

Vậy x = - 1 là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có: ${x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{4}{3} \Rightarrow {x_2} = \frac{4}{3}:\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 4}}{3}$

Câu hỏi 4

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) -5x²+ 3x + 2 = 0

b) 2004x² + 2005x + 1 = 0

Gợi ý đáp án

a) -5x²+ 3x + 2 = 0;

Nhận thấy phương trình có a + b + c = 0

=> -5 + 3 + 2 = 0

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = 1;{x_2} = - \frac{2}{5}$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = 1;{x_2} = - \frac{2}{5}$

b) 2004x²+ 2005x + 1 = 0

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 0

=> 2004 – 20005 +1 = 0

=> Phương trình có 2 nghiệm ${x_1} = - 1;{x_2} = \frac{{ - 1}}{{2004}}$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

Giải Toán 9 trang 52 tập 2

Bài 25

Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...):

a) 2x² – 17x + 1 = 0; Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

b) 5x² – x – 35 = 0; Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

c) 8x² – x + 1 = 0 ; Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

d) 25x² + 10x + 1 = 0 ; Δ = …; x₁ + x₂ = …; x₁.x₂ = …;

Xem gợi ý đáp án

a) 2x² – 17x + 1 = 0

Có a = 2; b = -17; c = 1

Δ = b² – 4ac = (-17)² – 4.2.1 = 281 > 0.

Theo hệ thức Vi-et: phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn:

x₁ + x₂ = -b/a = 17/2

x₁.x₂ = c/a = 1/2.

b) 5x² – x – 35 = 0

Có a = 5 ; b = -1 ; c = -35 ;

Δ = b² – 4ac = (-1)² – 4.5.(-35) = 701 > 0

Theo hệ thức Vi-et, phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn:

x₁ + x₂ = -b/a = 1/5

x₁.x₂ = c/a = -35/5 = -7.

c) 8x² – x + 1 = 0

Có a = 8 ; b = -1 ; c = 1

Δ = b² – 4ac = (-1)² – 4.8.1 = -31 < 0

Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại x₁ ; x₂.

d) 25x² + 10x + 1 = 0

Có a = 25 ; b = 10 ; c = 1

Δ = b² – 4ac = 10² – 4.25.1 = 0

Khi đó theo hệ thức Vi-et có:

x₁ + x₂ = -b/a = -10/25 = -2/5

x₁.x₂ = c/a = 1/25.

Bài 26

Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 35x² – 37x + 2 = 0;

b) 7x² + 500x – 507 = 0;

c) x² – 49x – 50 = 0;

d) 4321x² + 21x – 4300 = 0.'

Xem gợi ý đáp án

a) Phương trình 35x² – 37x + 2 = 0

Có a = 35; b = -37; c = 2 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = c/a = 2/35.

b) Phương trình 7x² + 500x – 507 = 0

Có a = 7; b = 500; c = -507 ⇒ a + b + c = 7 + 500 – 507 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = c/a = -507/7.

c) Phương trình x² – 49x – 50 = 0

Có a = 1; b = -49; c = -50 ⇒ a – b + c = 1 – (-49) – 50 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = -1; x₂ = -c/a = 50.

d) Phương trình 4321x² + 21x – 4300 = 0

Có a = 4321; b = 21; c = -4300 ⇒ a – b + c = 4321 – 21 – 4300 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm x₁ = -1; x₂ = -c/a = 4300/4321.

Bài 27

Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a) x² – 7x + 12 = 0;

b) x² + 7x + 12 = 0.

Xem gợi ý đáp án

a) x² – 7x + 12 = 0

Có a = 1; b = -7; c = 12

⇒ Δ = b² – 4ac = (-7)² – 4.1.12 = 1 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn:

$\displaystyle{x_1} + {x_2} = {\rm{ }} - {{ - 7} \over 1} = 7 = 3 + 4$

$\displaystyle{x_1}{x_2} = {\rm{ }}{{12} \over 1} = 12 = 3.4$

Vậy dễ dàng nhận thấy phương trình có hai nghiệm là 3 và 4.

b) x² + 7x + 12 = 0

Có a = 1; b = 7; c = 12

⇒ Δ = b² – 4ac = 7² – 4.1.12 = 1 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ thỏa mãn:

$\displaystyle{x_1} + {x_2} = {\rm{ }} - {7 \over 1} = - 7 = - 3 + ( - 4)$

$\displaystyle{x_1}{x_2} = {\rm{ }}{{12} \over 1} = 12 = ( - 3).( - 4)$

Bài 28

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 32 , uv = 231

b) u + v = -8, uv = -105

c) u + v = 2, uv = 9

Xem gợi ý đáp án

a) S = 32; P = 231 ⇒ S² – 4P = 32² – 4.231 = 100 > 0

⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình: x² – 32x + 231 = 0.

Ta có: Δ = (-32)² – 4.231 = 100 > 0

⇒ PT có hai nghiệm:

$\Delta' {\rm{ }} = {\rm{ ( - }}16{)^2}-{\rm{ }}231.1{\rm{ }} = {\rm{ }}256{\rm{ }}-{\rm{ }}231{\rm{ }} = {\rm{ }}25,{\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}5$

$\begin{array}{l} {x_1} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - \left( { - 16} \right) - 5}}{1} = 11\\ {x_2} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - \left( { - 16} \right) + 5}}{1} = 21 \end{array}$

Vậy u = 21 ; v = 11 hoặc u = 11 ; v = 21.

b) S = -8; P = -105 ⇒ S² – 4P = (-8)² – 4.(-105) = 484 > 0

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x² + 8x – 105 = 0

Ta có: Δ’ = 4² – 1.(-105) = 121 > 0

Phương trình có hai nghiệm:

$\begin{array}{l} {x_1} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - 4 - 11}}{1} = - 15\\ {x_2} = \dfrac{{ - b '+ \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{{ - 4 + 11}}{1} = 7 \end{array}$