Giải Toán 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Giải SGK Toán 9 Tập 2 (trang 19, 20)

Download.vn mời quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 2 trang 19, 20 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số thuộc chương 3 Đại số 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 7 Toán lớp 9 tập 2. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài 4 Chương 3 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 2. Chúc các bạn học tốt.

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

1. Quy tắc cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước:

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia) ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho.

2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Giải bài tập toán 9 trang 19 tập 2

Bài 20 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

a) \left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right.

b) \left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x - 3y = 0& & \end{matrix}\right.

c) \left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right.

d) \left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right.

e) \left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right.

Xem gợi ý đáp án

a) \left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right.

Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được

\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right. \\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+y+2x-y =3+7 & & \\ 2x -y = 7& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5x =10 & & \\ 2x -y = 7& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = 2x-7& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = 2.2-7& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = -3& & \end{matrix}\right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; -3).

b) \left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x - 3y = 0& & \end{matrix}\right.

Trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x - 3y = 0& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+5y =8 & & \\ 2x +5y-(2x-3y) = 8-0& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 8y = 8& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ y = 1& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+5.1 =8 \\ y = 1& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =\dfrac{3}{2} & & \\ y = 1& & \end{matrix}\right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là {\left(\dfrac{3}{2}; 1\right)}.

c) \left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right.

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, rồi trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 4x + 2y =8& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+3y =6 & & \\ 4x +3y-(4x+2y) = 6-8& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+3.(-2) =6 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x =12 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =3 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3; -2).

d) \left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, rồi trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được

\left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x + 9y = -6 & & \\ 6x - 4y = -6& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x+9y =-6 & & \\ 6x +9y-(6x-4y) = -6-(-6)& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x + 9y = -6 & & \\ 13y = 0& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = -1 & & \\ y = 0 & & \end{matrix}\right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (-1; 0).

e)

\left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

\left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x + 2,5y=15 & & \\ 1,5x - 2y = 1,5 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x+2,5y =15 & & \\ 1,5x +2,5y-(1,5x-2y) = 15-1,5& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x + 2,5y=15 & & \\ 4,5y = 13,5 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x =15 -2, 5 . 3& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x =7,5& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =5& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (5; 3).

Bài 21 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

a) \left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.;

b) \left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.

Xem gợi ý đáp án

a) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với -\sqrt 2, rồi cộng từng vế hai phương trình, ta được:

\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y = -\sqrt{2}& & \\ 2x + \sqrt{2}y = -2 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y+2x+ \sqrt{2}.y = -\sqrt{2}-2& & \\ 2x + \sqrt{2}y = -2 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4\sqrt{2}.y = -\sqrt{2} - 2& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-\sqrt{2} - 2}{4\sqrt 2}& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x = -y\sqrt{2} -2 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x =- \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}.\sqrt{2} -2 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x =\dfrac{\sqrt 2 -6}{4}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{8}& & \\ y = -\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4}& & \end{matrix}\right.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:{\left( -\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{8}; -\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \right)}

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \sqrt{2}, rồi cộng từng vế hai phương trình.

Ta có \left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.

Suy ra

\left\{\begin{matrix} 5\sqrt 6 x + y \sqrt 2 = 4 & & \\ x \sqrt 6 - y \sqrt 2=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6 \sqrt 6 x=6 & & \\ x \sqrt 6 -y \sqrt 2 =2 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y \sqrt 2 = x \sqrt 6 -2& & \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y \sqrt 2 = \dfrac{\sqrt 6}{6}. \sqrt 6 -2& & \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y =- \dfrac{\sqrt 2}{2}& & \end{matrix} \right.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là {\left(\dfrac{\sqrt 6}{6}; -\dfrac{\sqrt 2}{2} \right)}

Giải bài tập toán 9 trang 19 tập 2: Luyện tập

Bài 22 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right.

b) \left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 11& & \\ -4x + 6y = 5 & & \end{matrix}\right.

c) \left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \dfrac{2}{3}y = 3\dfrac{1}{3} & & \end{matrix}\right.

Xem gợi ý đáp án

a) \left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right.

Nhân phương trình trên với 3, nhân phương trình dưới với 2, rồi cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

\left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -15x + 6y = 12& & \\ 12x - 6y =-14 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -3x = -2& & \\ -15x + 6y = 12& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{2}{3}& & \\ 6y = 12 + 15 . x& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{2}{3}& & \\ 6y = 12+15.\dfrac{2}{3}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{2}{3}& & \\ 6y = 22& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{2}{3}& & \\ y =\dfrac{11}{3}& & \end{matrix}\right.

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là {\left(\dfrac{2}{3}; \dfrac{11}{3} \right)}

b) \left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 11& & \\ -4x + 6y = 5 & & \end{matrix}\right.

Nhân hai vế phương trình trên với 2 rồi cộng hai vế của hai phương trình với nhau, ta được:

\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 11& & \\ -4x + 6y = 5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ -4x + 6y = 5& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ 4x - 6y = -5& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ 0x - 0y = 27\ (vô\ lý) & & \end{matrix}\right.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

c) \left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \dfrac{2}{3}y = 3\dfrac{1}{3} & & \end{matrix}\right.

Đổi hỗn số về phân số rồi nhân hai vế của phương trình dưới với 3 sau đó trừ vế với vế của hai phương trình ta được:

\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \dfrac{2}{3}y = 3\dfrac{1}{3} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \dfrac{2}{3}y = \dfrac{10}{3} & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ 3x - 2y = 10 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \in \mathbb{R} & & \\ 3x -2y= 10& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \in \mathbb{R} & & \\ y= \dfrac{3x-10}{2}& & \end{matrix}\right.

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 23 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải hệ phương trình sau:

\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2})x+ (1 - \sqrt{2})y = 5 \ (1) & & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3\ (2) & & \end{matrix}\right.

Xem gợi ý đáp án

Xét hệ \left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2})x+ (1 - \sqrt{2})y = 5 \ (1) & & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3\ (2) & & \end{matrix}\right.

Trừ từng vế hai phương trình (1) cho (2), ta được:

(1+\sqrt{2})x+(1 - \sqrt{2})y - (1+\sqrt2)x-(1 + \sqrt{2})y = 5-3

(1 - \sqrt{2})y - (1 + \sqrt{2})y = 5-3 ⇔ (1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2})y = 2

\Leftrightarrow -2\sqrt{2}y = 2 \Leftrightarrow y = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}}

\Leftrightarrow y =\dfrac{-\sqrt{2}}{2} (3)

Thay (3) vào (1) ta được:

(1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})\dfrac{-\sqrt{2}}{2} = 5

\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x + \dfrac{-\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt 2 . \sqrt 2}{2} = 5

\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x + \dfrac{-\sqrt{2}}{2} + 1 = 5 \Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x =5- \dfrac{-\sqrt{2}}{2} - 1

\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x = \dfrac{8 + \sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{8 + \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{2})}

\Leftrightarrow x = \dfrac{(8 + \sqrt{2}).(1-\sqrt 2)}{2(1 + \sqrt{2})(1- \sqrt 2)} \Leftrightarrow x = \dfrac{8 - 8\sqrt{2} + \sqrt{2} -2}{2(1 - 2)}

\Leftrightarrow x = \dfrac{6 - 7\sqrt{2}}{-2} \Leftrightarrow x = \dfrac{ 7\sqrt{2}-6}{2}

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:{\left(\dfrac{ 7\sqrt{2}-6}{2}; \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \right)}

Bài 24 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 2)

Giải hệ các phương trình:

a) \left\{\begin{matrix} 2(x + y)+ 3(x - y)=4 & & \\ (x + y)+2 (x - y)= 5& & \end{matrix}\right.

b) \left\{\begin{matrix} 2(x -2)+ 3(1+ y)=-2 & & \\ 3(x -2)-2 (1+ y)=-3& & \end{matrix}\right.

Xem gợi ý đáp án

a) \left\{\begin{matrix} 2(x + y)+ 3(x - y)=4 & & \\ (x + y)+2 (x - y)= 5& & \end{matrix}\right.

Thực hiện nhân phá ngoặc và thu gọn, ta được:

\left\{\begin{matrix} 2(x+y)+3(x-y) =4 & & \\ (x+y) +2(x-y) =5 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+2y+3x-3y =4 & & \\ x+y +2x-2y =5 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5x-y =4 & & \\ 3x-y =5 & & \end{matrix}\right.

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được:

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x =-1 & & \\ 3x-y =5 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =3x-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =3.\dfrac{-1}{2}-5 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =\dfrac{-13}{2} & & \end{matrix}\right.

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là {\left( \dfrac{-1}{2}; \dfrac{-13}{2} \right)}.

b) \left\{\begin{matrix} 2(x -2)+ 3(1+ y)=-2 & & \\ 3(x -2)-2 (1+ y)=-3& & \end{matrix}\right.

 Phá ngoặc và thu gọn vế trái của hai phương trình trong hệ, ta được:

\left\{\begin{matrix} 2(x-2)+3(1+y)=-2 & & \\ 3(x - 2)- 2(1+ y) = -3& & \end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix} 2x-4+3+3y=-2 & & \\ 3x - 6- 2-2 y = -3& & \end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1 & & \\ 3x-2 y = 5& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 6x-4 y = 10& & \end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 13y = -13& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} 6x=-3 - 9y & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix} 6x=6 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (1; -1).

Bài 25 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 2)

Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:

P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10).

Xem gợi ý đáp án

Ta có

P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10) có hai hệ số là a=(3m - 5n + 1) và b=(4m - n -10).

Do đó P(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3m - 5n +1 = 0 & & \\ 4m - n -10=0& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3m - 5n = -1 & & \\ 4m - n =10& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3m - 5n = -1 & & \\ 20m - 5n =50& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3m - 5n - \left( {20m - 5n} \right) = - 1 - 50\\ 4m - n = 10 \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -17m = -51 & & \\ 4m - n =10& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m = 3 & & \\ -n = 10 - 4.3& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m = 3 & & \\ n = 2& & \end{matrix}\right.

Vậy m=3, n=2 thì đa thức P(x) =0.

Bài 26 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 2)

Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a)A(2; -2) và B(-1; 3)

b) A(-4; -2) và B(2; 1)

c) A(3; -1) và B(-3; 2)

d)A(\sqrt{3}; 2) và B(0; 2)

Xem gợi ý đáp án

a)A(2; -2) và B(-1; 3)

Hàm số y=ax+b (1)

Vì đồ thị hàm số đi qua A(2; -2), thay x=2, y=-2 vào (1), ta được: -2=2a + b.

Vì đồ thị hàm số đi qua B(-1; 3), thay x=-1, y=3 vào (1), ta được: 3=-a + b.

Ta có hệ phương trình ẩn là a và b.

\left\{\begin{matrix} 2a + b = -2 & & \\ -a + b = 3& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + b - \left( { - a + b} \right) = - 2 - 3\\ - a + b = 3 \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a = -5 & & \\ -a + b = 3 & & \end{matrix}\right. .

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{-5}{3} & & \\ - b = a+3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{-5}{3} & & \\ b = \dfrac{-5}{3}+3 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{5}{3} & & \\ b = \dfrac{4}{3}& & \end{matrix}\right.

Vậy a = -\dfrac{5}{3} và b = \dfrac{4}{3} .

b) A(-4; -2) và B(2; 1)

Hàm số y=ax+b (1)

Vì đồ thị hàm số đi qua A(-4; -2), thay x=-4,\ y=-2 vào (1), ta được: -2=-4a + b .

Vì đồ thị hàm số đi qua B(2; 1), thay x=2, y=1 vào (1), ta được: 1=2a + b.

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b:

\left\{\begin{matrix} -4a + b = -2 & & \\ 2a + b = 1& & \end{matrix}\right.

\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b - \left( {2a + b} \right) = - 2 - 1\\ 2a + b = 1 \end{array} \right.

⇔ \left\{\begin{matrix} -6a = -3 & & \\ 2a + b = 1& & \end{matrix}\right.

⇔ \left\{\begin{matrix} a=\dfrac{1}{2} & & \\ b = 1-2a & & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{2} & & \\ b = 1-2.\dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{2} & & \\ b = 0 & & \end{matrix}\right.

Vậy a = \dfrac{1}{2};\ b=0.

c) A(3; -1) và B(-3; 2)

Hàm số y=ax+b (1)

Vì đồ thị hàm số đi qua A(3; -1), thay x=3, y=-1 vào (1), ta được: -1=3a + b

Vì đồ thị hàm số đi qua B(-3; 2), thay x=-3,y=2 vào (1), ta được: 2=-3a + b.

Ta có hệ phương trình ẩn a, b:

\left\{\begin{matrix} 3a + b = -1 & & \\ -3a + b = 2& & \end{matrix}\right.

⇔ \left\{ \begin{array}{l} 3a + b = - 1\\ 3a + b + \left( { - 3a + b} \right) = - 1 + 2 \end{array} \right.

⇔ \left\{\begin{matrix} 3a + b = -1 & & \\ 2b = 1& & \end{matrix}\right.

⇔ \left\{\begin{matrix} 3a =-1 -b & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} 3a =-1 -\dfrac{1}{2} & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right.

⇔ \left\{\begin{matrix} 3a =\dfrac{-3}{2} & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} a =\dfrac{-1}{2} & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right.

Vậy a=\dfrac{-1}{2},\ b = \dfrac{1}{2}.

d)A(\sqrt{3}; 2) và B(0; 2)

Hàm số y=ax+b (1)

Vì đồ thị hàm số đi qua A(\sqrt{3}; 2), thay x= \sqrt 3, y=2 vào (1), ta được: 2= \sqrt{3}a + b .

Vì đồ thị hàm số đi qua B(0; 2), thay x=0, y=2 vào (1), ta được: 2= 0 . a + b .

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b.

\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}.a + b =2 & & \\ 0. a + b = 2& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}.a + b =2 & & \\ b = 2& & \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} a = 0 & & \\ b = 2 & & \end{matrix}\right.

Vậy a=0, b=2.

Bài 27 (trang 19 SGK Toán 9 Tập 2) 

Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:

a) \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1& & \\ \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = 5& & \end{matrix}\right.

Hướng dẫn. Đặt u =\dfrac{1}{x},\ v =\dfrac{1}{y}

b) \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{y -1} = 2 & & \\ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.

Hướng dẫn. Đặt u = \dfrac{1}{x - 2},\ v = \dfrac{1}{y - 1}.

Xem gợi ý đáp án

a) Điền kiện x ≠0, y ≠0.

Đặt \left\{\begin{matrix} u = \dfrac{1}{x} & & \\ v = \dfrac{1}{y} & & \end{matrix}\right. (với u \ne 0,\ v \ne 0).

Phương trình đã cho trở thành:

\left\{\begin{matrix} u - v = 1 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3u - 3v = 3 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3u - 3v - \left( {3u + 4v} \right) = 3 - 5\\ 3u + 4v = 5 \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7v = -2 & & \\ 3u = 5- 4v & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v =\dfrac{2}{7} & & \\ 3u = 5- 4.\dfrac{2}{7} & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v =\dfrac{2}{7} & & \\ u = \dfrac{9}{7} & & \end{matrix} \right.

Suy ra \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{7}& & \\ \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{7}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{7}{9}& & \\ y = \dfrac{7}{2}& & \end{matrix}(thỏa\ mãn )\right.

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất {\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{7}{2} \right)}.

b) \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{y -1} = 2 & & \\ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.

Hướng dẫn. Đặt u = \dfrac{1}{x - 2},\ v = \dfrac{1}{y - 1}.

Điều kiện \left\{\begin{matrix} x-2 \ne 0 & & \\ y-1 \ne 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \ne 2 & & \\ y \ne 1 & & \end{matrix}\right.

Đặt \left\{\begin{matrix} u = \dfrac{1}{x -2} & & \\ v = \dfrac{1}{y -1} & & \end{matrix}\right. (với u \ne 0,\ v \ne 0 ).

Phương trình đã cho trở thành:

\left\{\begin{matrix} u + v = 2 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u + 2v = 4 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2u + 2v - \left( {2u - 3v} \right) = 4 - 1\\ u + v = 2 \end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5v = 3 & & \\ u+v=2 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=2-v & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=2-\dfrac{3}{5} & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=\dfrac{7}{5} & & \end{matrix} \right.

Suy ra \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x -2} = \dfrac{7}{5}& & \\ \dfrac{1}{y -1} = \dfrac{3}{5}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x -2 = \dfrac{5}{7}& & \\ y - 1 = \dfrac{5}{3}& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{5}{7}+ 2& & \\ y = \dfrac{5}{3}+1& & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{19}{7}& & \\ y = \dfrac{8}{3}& & \end{matrix} \right.

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất {\left(\dfrac{19}{7};\dfrac{8}{3} \right)}.

 

Mời bạn đánh giá!
  • Lượt tải: 01
  • Lượt xem: 21
  • Dung lượng: 998,6 KB
0 Bình luận
Sắp xếp theo