Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 Ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9

Giới thiệu Tải về Bình luận

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 là một trong những kiến thức quan trọng giúp các em học sinh lớp 9 giải được các dạng bài tập Đại số. Vậy các phương pháp nào giải phương trình vô tỉ, mời các em học sinh hãy cùng Download.vn theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Cách giải phương trình vô tỉ bao gồm 6 phương pháp giải, trong mỗi phương pháp bao gồm kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa kèm theo một số bài tập có đáp án. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm công thức tính chu vi hình chữ nhật, công thức tính diện tích hình vuông.

Phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9

I. Phương pháp 1: Nâng lũy thừa
II. Phương pháp 2: Đưa về phương trình tuyệt đối
III. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

I. Phương pháp 1: Nâng lũy thừa

A. Lí thuyết

$1/ \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x)=g(x)\end{array}\right.$

$2/ \sqrt{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x) \geq 0 \\ f(x)=g^{2}(x)\end{array}\right.$

$3/ \sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\sqrt{h(x)} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x)+g(x)+2 \sqrt{f(x) \cdot g(x)}=h(x)\end{array}\right.$

$4 / \sqrt[2 n]{f(x)}=\sqrt[2 n]{g(x)} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x)=g(x)\end{array} \quad\left(n \in N^{*}\right)\right.$

$5/ \sqrt[2 n]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x) \geq 0 \\ f(x)=g^{2 n}(x)\end{array} \quad\left(n \in N^{*}\right)\right.$

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: $\sqrt{x+1}=x-1 (1)$

$HD: (1) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-1 \geq 0 \\ x+1=(x-1)^{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 1 \\ x^{2}-3 x=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 1 \\ x=3\end{array} \Leftrightarrow x=3\right.\right.\right.$

Bài 2: Giải phương trình: $x-\sqrt{2 x+3}=0$

Bài 3: Giải phương trình: $\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2 x}$

$HD: Ta có: \sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2 x} \Leftrightarrow \sqrt{x+4}=\sqrt{1-2 x}+\sqrt{1-x}$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1-2 x \geq 0 \\ 1-x \geq 0 \\ x+4=1-2 x+1-x+2 \sqrt{(1-2 x)(1-x)}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \leq \frac{1}{2} \\ 2 x+1=\sqrt{2 x^{2}-3 x+1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \leq \frac{1}{2} \\ 2 x+1 \geq 0 \\ (2 x+1)^{2}=2 x^{2}-3 x+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{-1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2}+7 x=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{-1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} \\ {\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=-7\end{array} \Leftrightarrow x=0\right.}\end{array}\right.\right.\right.\right.$

Bài 4: Giải phương trình: $\sqrt{x-2}-3 \sqrt{x^{2}-4}=0$

HD: ĐK: $\left\{\begin{array}{l}x-2 \geq 0 \\ x^{2}-4 \geq 0\end{array} \Leftrightarrow x \geq 2(1)\right.$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-2}-3 \sqrt{(x-2)(x+2)}=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \sqrt { x - 2 } = 0 } \\ { ( 1 - 3 \sqrt { x + 2 } ) = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=\frac{-17}{9} \end{array}\right.\right.$

Kết hợp (1) và (2) ta được: $\mathrm{x}=2$

Bài 5. Giải phương trình : $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x \sqrt{\sqrt{3}+x}$

HD:Đk: $0 \leq x \leq \sqrt{3}$ khi đó pt đã cho tương đương:

$x^{3}+\sqrt{3} x^{2}+x-\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{10}{3 \sqrt{3}} \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$
Bài 6. Giải phương trình sau : $2 \sqrt{x+3}=9 x^{2}-x-4$

HD:Đk: $x \geq-3$ phương trình tương đương :

$(1+\sqrt{3+x})^{2}=9 x^{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \sqrt { x + 3 } + 1 = 3 x } \\ { \sqrt { x + 3 } + 1 = - 3 x } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18} \end{array}\right.\right.$

Bài 7. Giải phương trình sau : $2+3 \sqrt[3]{9 x^{2}(x+2)}=2 x+3 \sqrt[3]{3 x(x+2)^{2}}$

HD: $\mathrm{pt} \Leftrightarrow(\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{3 x})^{3}=0 \Leftrightarrow x=1$

Bài 8. Giải và biện luận phương trình: $\sqrt{\mathrm{x}^{2}-4}=\mathrm{x}-\mathrm{m}$

...........

II. Phương pháp 2: Đưa về phương trình tuyệt đối

A,. Kiến thức

Sử dụng hằng đẳng thức sau

$\sqrt{f^{2}(x)}=g(x) \Leftrightarrow|f(x)|=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases}f(x)=g(x) & (f(x) \geq 0) \\ f(x)=-g(x) & (f(x)<0)\end{cases}$

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: $\sqrt{\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+4}+\mathrm{x}=8(1)$

$\underline{\mathrm{HD}}:(1) \Leftrightarrow \sqrt{(\mathrm{x}-2)^{2}}=8-\mathrm{x} \quad \Leftrightarrow|\mathrm{x}-2|=8-\mathrm{x}$

- Nếu x<2:(1) $\Rightarrow$ 2-x=8-x (vô nghiệm)

- Nếu $\mathrm{x} \geq 2:(1) \Rightarrow \mathrm{x}-2=8-\mathrm{x} \Leftrightarrow \mathrm{x}=5 (thoả mãn) Vậy: \mathrm{x}=5$

Bài 2: Giải phương trình

$\sqrt{x+2+2 \sqrt{x+1}}+\sqrt{x+10-6 \sqrt{x+1}}=2 \sqrt{x+2-2 \sqrt{x+1}} (2)$

$\underline{H D}:(2) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1 \geq 0 \\ \sqrt{x+1+2 \sqrt{x+1}+1}+\sqrt{x+1-2.3 \sqrt{x+1}+9}=2 \sqrt{x+1-2 \sqrt{x+1}+1}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq-1 \\ \sqrt{x+1}+1+|\sqrt{x+1}-3|=2|\sqrt{x+1}-1|\end{array}\right.$

Đặt $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}+1}(\mathrm{y} \geq 0) \Rightarrow$ phương trình \left({ }^{*}\right) đã cho trở thành: $\mathrm{y}+1+|\mathrm{y}-3|=2|\mathrm{y}-1|$

- Nếu $0 \leq \mathrm{y}<1: \mathrm{y}+1+3-\mathrm{y}=2-2 \mathrm{y} \Leftrightarrow \mathrm{y}=-1 (loại)$

- Nếu $1 \leq \mathrm{y} \leq 3: \mathrm{y}+1+3-\mathrm{y}=2 \mathrm{y}-2 \Leftrightarrow \mathrm{y}=3$

- Nếu $\mathrm{y}>3: \mathrm{y}+1+\mathrm{y}-3=2 \mathrm{y}-2$ (vô nghiệm)

Với $\mathrm{y}=3 \Leftrightarrow \mathrm{x}+1=9 \Leftrightarrow \mathrm{x}=8$ (thoả mãn)

Vậy: $\mathrm{x}=8$

Bài 3: Giải phương trình: $\sqrt{x-2+\sqrt{2 x-5}}+\sqrt{x+2+3 \sqrt{2 x-5}}=7 \sqrt{2}$

$\mathrm{HD}: Ð \mathrm{~K}: x \geq \frac{5}{2} \mathrm{PT} \Leftrightarrow \sqrt{2 x-5+2 \sqrt{2 x-5}+1}+\sqrt{2 x-5+6 \sqrt{2 x-5}+9}=14$

$\Leftrightarrow|\sqrt{2 x-5}+1|+|\sqrt{2 x-5}+3|=14 \Leftrightarrow \sqrt{2 x-5}=5 \Leftrightarrow x=15 (Thoả mãn)$ Vậy: x=15

Bài 4: Giải phương trình: $\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2 \sqrt{x-1}}=2$

HD:ĐK: $x \geq 1$

$\mathrm{Pt} \Leftrightarrow \sqrt{x-1+2 \sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2 \sqrt{x-1}+1}=2 \Leftrightarrow \sqrt{x-1}+1+|\sqrt{x-1}-1|=2$

Nếu $x>2 pt \Leftrightarrow \sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=2 \Leftrightarrow x=2 (Loại)$

Nếu $x \leq 2 \mathrm{pt} \Leftrightarrow \sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=2 \Leftrightarrow 0 x=0 (Luôn đúng với \forall x)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{x \in R \mid 1 \leq x \leq 2\}$

.....................

III. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t=f(x) và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như "hoàn toàn".

Bài 1. Giải phương trình: $\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$

HD: Điều kiện: $x \geq 1$

Nhận xét. $\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}} \cdot \sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=1$

Đặt $t=\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}$ thì phương trình có dạng: $t+\frac{1}{t}=2 \Leftrightarrow t=1$ . Thay vào tìm được x=1 $x=1-\sqrt{2} và x=2+\sqrt{3}$

Bài 2. Giải phương trình: $2 x^{2}-6 x-1=\sqrt{4 x+5}$

HD: Điều kiện: $x \geq-\frac{4}{5}$

Đăt $t=\sqrt{4 x+5}(t \geq 0)$ thì $x=\frac{t^{2}-5}{4}$ . Thay vào ta có phương trình sau:

$\begin{aligned} 2 \cdot \frac{t^{4}-10 t^{2}+25}{16} &-\frac{6}{4}\left(t^{2}-5\right)-1=t \Leftrightarrow t^{4}-22 t^{2}-8 t+27=0 \\ \Leftrightarrow &\left(t^{2}+2 t-7\right)\left(t^{2}-2 t-11\right)=0 \end{aligned}$

Ta tìm được bốn nghiệm là: $t_{1,2}=-1 \pm 2 \sqrt{2} ; t_{3,4}=1 \pm 2 \sqrt{3}$

Do $t \geq 0$ nên chỉ nhận các giá trị $t_{1}=-1+2 \sqrt{2}, t_{3}=1+2 \sqrt{3}$

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình 1 : $x=1-\sqrt{2} và x=2+\sqrt{3}$

Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện $2 x^{2}-6 x-1 \geq 0$

Ta được: $x^{2}(x-3)^{2}-(x-1)^{2}=0$ , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.

Đơn giản nhất là ta đặt : $2 y-3=\sqrt{4 x+5}$ và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)

Bài 3. Giải phương trình sau: $x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$

HD: Điều kiện: $1 \leq x \leq 6$

Đặt $y=\sqrt{x-1}(y \geq 0)$ thì phương trình trở thành:

$\begin{aligned} &y^{2}+\sqrt{y+5}=5 \Leftrightarrow y^{4}-10 y^{2}-y+20=0 \text { ( với } \\ &y \leq \sqrt{5}) \Leftrightarrow\left(y^{2}+y-4\right)\left(y^{2}-y-5\right)=0 \Leftrightarrow y=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\left(\text { loại), } y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right. \end{aligned}$