Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Giới thiệu Tải về Bình luận

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh lớp 9 tham khảo.

Tài liệu được biên soạn chi tiết cả kiến thức lý thuyết ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập tự luyện. Đây là nguồn tư liệu tham khảo giúp học sinh yêu thích môn Toán tự học, tự rèn luyện để nâng cao năng lực bản thân, tạo tiền đề vững chắc cho các lớp học sau này. Bên cạnh đó để học tốt môn Toán 9 các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

1. Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: $a{x^2} + bc + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ * có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ . Khi đó hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:

$\left\{ \begin{matrix} S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} \hfill \\ P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt sau:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm ${x_1} = 1$ và ${x_2} = \frac{c}{a}$

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm ${x_1} = - 1$ và ${x_2} = - \frac{c}{a}$

2. Định lý Vi-ét đảo

Giả sử hai số ${x_1},\,\,{x_2}$ thực thỏa mãn hệ thức:

$\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = S \hfill \\ {x_1}{x_2} = P \hfill \\ \end{matrix} \right.\left( {{S^2} \geqslant 4P} \right)$

thì ${x_1},\,\,{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ${x^2} - Sx + P = 0$

3. Cách giải bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là $a \ne 0$ và $\Delta \geqslant 0$ )

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho

+ Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

4. Ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1

Bài 3: Tìm m để phương trình ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $3{x_1} + 2{x_2} = 4$ .

Gợi ý đáp án:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' > 0$

Ta có $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( { - 2} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 8 > 0\forall m$

Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = - 2\left( {m + 1} \right) \Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2} \hfill \\ {x_2}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 2 \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Ta có $3{x_1} + 2{x_2} = 4 \Leftrightarrow 3\left[ { - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}} \right] + 2{x_2} = 4$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow - 6\left( {m + 1} \right) - 3{x_2} + 2{x_2} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow {x_2} = - 6\left( {m + 1} \right) - 4 = - 10 - 6m \hfill \\ \Rightarrow {x_1} = - 2\left( {m + 1} \right) + 6\left( {m + 1} \right) + 4 = 4m + 8 \hfill \\ \end{matrix}$

Có ${x_1}{x_2} = - 2 \Leftrightarrow - \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = - 2$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 24{m^2} + 48m + 40m + 80 = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 24{m^2} + 88m + 78 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m = \dfrac{{ - 3}}{2} \hfill \\ m = \dfrac{{ - 13}}{6} \hfill \\ \end{matrix} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy với $m = - \frac{3}{2}$ hoặc $m = \frac{{ - 13}}{6}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $3{x_1} + 2{x_2} = 4$ .

Bài 4: Cho phương trình ${x^2} - 5x + m = 0$ . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$

Gợi ý đáp án:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta > 0$

Ta có $\Leftrightarrow 25 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{25}}{4}$

Vậy với $m < \frac{{25}}{4}$ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 5 \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Có $A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3 \Rightarrow {A^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 9$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 \hfill \\ \Leftrightarrow 25 - 4m = 9 \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3$

Bài 2: Cho phương trình bậc hai ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0$ (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m,

b) Tìm m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6

Gợi ý đáp án:

a) Ta có: $\Delta ' = b{'^2} - ac$

$= {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {2m - 5} \right) = {m^2} - 4m + 6 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\forall m$

Vậy với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m - 1} \right) \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2m - 5 \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Ta có tổng hai nghiệm bằng 6

$\Rightarrow {x_1} + {x_2} = 6 \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) = 6 \Leftrightarrow m = 4$

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng hai nghiệm bằng 6.

Bài 3: Cho phương trình ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0$ (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2$ có giá trị nhỏ nhất.

Gợi ý đáp án:

a, Ta có $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m = 4{m^2} + 8m + 9 = 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m$

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{matrix} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2m + 3 \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m \hfill \\ \end{matrix} \right.$

Ta có:

$\begin{matrix} x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \hfill \\ = 4{m^2} + 12m + 9 - 2m = 4{m^2} + 10m + 9 \hfill \\ = {\left( {2m + \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} \geqslant \dfrac{{11}}{4} \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi $m = \frac{{ - 5}}{4}$

Vậy với $m = \frac{{ - 5}}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

5. Bài tập tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 1: Tìm m để phương trình ${x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = 3$

Bài 2 Tìm m để phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 3$