Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên Ôn tập Toán 9

Giới thiệu Tải về Bình luận

Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên là một trong những dạng toán khó, đa dạng về phương pháp giải và linh hoạt về cách suy luận. Chính vì vậy trong bài viết dưới đây Download.vn sẽ giới thiệu đến các bạn cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên.

Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm nguyên gồm cách tìm, ví dụ minh họa kèm theo một số bài tập tự luyện giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, công thức tính chu vi hình chữ nhật, công thức tính diện tích hình vuông.

Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

I. Cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên
II. Ví dụ tìm m để phương trình có nghiệm nguyên
III. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

I. Cách tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

1. Các kiến thức liên quan:

Tính chất chia hết của số nguyên.
Tính chất của số chính phương.
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có 2 nghiệm x₁; x₂ thì :

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

2. Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên:

- Phương pháp đánh giá

+Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến.

+Đưa về tổng các bình phương để đánh giá

- Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.

- Đổi vai trò của ẩn

- Đưa về phương trình ước số.

- Tham số hóa để đưa về phương trình ước số.

- Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên.

- Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét.

II. Ví dụ tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Cho phương trình ${x^2} - 2mx + m - 4 = 0$ (m là tham số). Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có 2 cách làm bài toán được trình bày như sau:

Cách 1:

Ta có:

$\Delta ' = {m^2} - \left( {m - 4} \right) = {m^2} - m + 4A$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì ∆’ phải là số chính phương

Do đó ta có:

$\begin{matrix} {m^2} - m + 4 = {k^2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \Rightarrow 4{m^2} - 4m + 16 = 4{k^2} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4{k^2} = - 15 \hfill \\ \Rightarrow \left( {2m - 1 - 2k} \right)\left( {2m - 1 + 2k} \right) = - 15 \hfill \\ \end{matrix}$

Do k² luôn lớn hơn 0 nên không ảnh hưởng tới giá trị cần tìm của m ta giả sử k ≥ 0 ta có:

(2m – 1 + 2k) ≥ (2m – 1 – 2k)

Do đó ta có các trường hợp như sau:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 1} \\ {2m - 1 + 2k = 15} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 4} \\ {k = 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 3} \\ {2m - 1 + 2k = 55} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1} \\ {k = 2} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 5} \\ {2m - 1 + 2k = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {k = 2} \end{array}} \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m - 1 - 2k = - 15} \\ {2m - 1 + 2k = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 3} \\ {k = 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Thử kiểm tra lại kết quả, thay các giá trị m = -3, m = 0, m = 4 vào phương trình ta thấy đều thỏa mãn điều kiện bài toán

Cách 2: Sử dụng hệ thức Vi – et

Gọi x_1,, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm nguyên của phương trình ta có:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 2m} \\ {{x_1}{x_2} = m - 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow {x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} = 8 \hfill \\ \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4{x_1}{x_2} - 1 = 15 \hfill \\ \Rightarrow \left( {2{x_1} - 1} \right)\left( {2{x_2} - 1} \right) = - 15 \hfill \\ \end{matrix}$

Trường hợp 1: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 1} \\ {2{x_2} - 1 = 15} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = 0} \\ {{x_2} = 8} \end{array} \Rightarrow m = 4} \right.$

Trường hợp 2: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 5} \\ {2{x_2} - 1 = 3} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 2} \\ {{x_2} = 2} \end{array} \Rightarrow m = 0} \right.$

Trường hợp 3: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 15} \\ {2{x_2} - 1 = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 7} \\ {{x_2} = 1} \end{array} \Rightarrow m = - 3} \right.$

Trường hợp 4: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1} - 1 = - 3} \\ {2{x_2} - 1 = 5} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - 1} \\ {{x_2} = 3} \end{array} \Rightarrow m = 1} \right.$

Thử lại kêt quả với m = 0, m = 3, m = -3, m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Tìm các số nguyên m để phương trình ${x^2} - \left( {4 + m} \right)x + 2m = 0$ có các nghiệm là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{matrix} {m^2} + 16 = {k^2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \Rightarrow {m^2} - {k^2} = - 16 \hfill \\ \Rightarrow \left( {m + k} \right)\left( {m - k} \right) = - 16 \hfill \\ \end{matrix}$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì ∆ phải là số chính phương. Khi đó ta có:

Ta thấy (m + k) – (m – k) = 2k

=> (m + k) và (m – k) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Do tích là 16 nên là cùng chẵn

Mặt khác m + k ≥ m – k do đó ta có bảng số liệu như sau:

m + k	8	4	2
m – k	--2	-4	-8
m	3	0	-3

Kiểm tra lại kết quả ta thấy m = -3, m = 0, m = 3 đều thỏa mãn điều kiện phương trình.

Vậy m = -3, m = 0, m = 3 là các giá trị cần tìm.

III. Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm nguyên

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị nguyên của a sao cho với các giá trị đó phương trình : $x^{2}+a x+a=0$ có nghiệm nguyên .

Bài 2: Cho phương trình :

$(\mathrm{m}-1) \mathrm{x}^{2}-(2 \mathrm{~m}+1) \mathrm{x}+\mathrm{m}^{2}-2 \mathrm{~m}+4=0$

Tìm tất cả các giá trị nguyên của m đề phương trình có các nghiệm đều là số nguyên .

Bài 3 : Tìm tất cả các số nguyên a để phương trình:

$\mathrm{x}^{2}-(3+2 \mathrm{a}) \mathrm{x}+40-\mathrm{a}=0$

Bài 4: Tìm x, y nguyên thỏa mãn:

$7 x^{2}+13 y^{2}=1820$

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

$2 x^{6}-2 x^{3} y+y^{2}=64$

Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau:

$a) 2 x y-4 x-y=1$

$b) 2 x y-x-y+1=0$

$c) 6 x^{2}+7 y^{2}=229$

$d) 8 x^{2}-5 y^{2}+10 x+4=0$

Bài 7 : Tìm các số hữu tỉ x để $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+6$ là số chính phương.

Bài tập 8: Cho phương trình $b\left( {b + 3} \right){x^2} - 2x - \left( {b + 1} \right)\left( {b + 2} \right) = 0$ (b là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm hữu tỉ

b) Xác định tham số b để phương trình có các nghiệm đều nguyên.

Bài tập 9: Cho phương trình ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 3m + 1 = 0$ (m là tham số). Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.