Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy Ôn tập Toán 9

Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra bài thi vào lớp 10.

Chứng minh ba đường thẳng đồng quy tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, cách chứng minh kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập và tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về chứng minh đường thẳng đồng quy. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

1. Đồng quy là gì?

Đường thẳng đồng quy là thuật ngữ được sử dụng trong toán học để miêu tả tình huống khi ba đường thẳng cùng đi qua một điểm duy nhất hoặc song song với nhau. Để xác định xem ba đường thẳng có đồng quy hay không, chúng ta thường kiểm tra xem chúng có cùng một điểm giao hay không.

Có hai trường hợp chính khi nói về đường thẳng đồng quy:

1. Ba đường thẳng cùng đi qua một điểm: Trong trường hợp này, ta nói rằng ba đường thẳng đồng quy khi chúng cùng đi qua một điểm duy nhất. Điểm này được gọi là điểm giao của ba đường thẳng.

2. Ba đường thẳng song song với nhau: Trong trường hợp này, ta nói rằng ba đường thẳng đồng quy khi chúng không có điểm giao với nhau. Tức là, chúng có cùng hướng và không bao giờ cắt nhau.

Đường thẳng đồng quy là một khái niệm quan trọng trong hình học và có nhiều ứng dụng trong các bài toán liên quan đến đồ thị, công thức và cấu trúc hình học.

2. Ba đường thẳng đồng quy là gì?

Định nghĩa về ba đường thẳng đồng quy được diễn giải như sau: “Cho ba đường thẳng lần lượt là a, b, c không trùng với nhau. Nếu ba đường thẳng a,b,c cùng đi qua một điểm O nào đó thì ta sẽ gọi đó là đồng quy.

3. Tính chất của 3 đường thẳng đồng quy

– Nếu hai đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó có thể suy ra đường cao thứ 3 cũng sẽ cùng đi qua giao điểm đó.

– Nếu ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trọng tâm của tam giác.

– Ba đường cao trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là trực tâm của tam giác.

– Nếu hai đường trung tuyến trong tam giác bất kỳ cắt nhau tại một điểm thì từ đó ta có thể suy ra đường trung tuyến thứ 3 chắc chắn cũng đi qua giao điểm đó. Trọng tâm sẻ chia đoạn thẳng trung tuyến thành 3 phần: Từ trọng tâm lên tới đỉnh chiếm tới 2/3 độ dài của trung tuyến đó.

– Nếu ba đường phân giác trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm cụ thể thì điểm này sẽ được gọi là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

– Nếu hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại một điểm cụ thể thì từ đó ta có thể suy ra đường phân giác thứ 3 cũng sẽ đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường phân giác sẽ cách đều 3 cạnh của tam giác.

– Khi ba đường trung trực trong một tam giác đồng quy tại 1 điểm thì điểm này sẽ được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

– Nếu hai đường trung trực bên trong tam giác cắt nhau tại một điểm thì từ đó chúng ta có thể suy ra đường trung trực thứ 3 chắc chắn đi qua giao điểm đó. Giao điểm của 3 đường trung trực sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác.

4. Điều kiện để 3 đường thẳng đồng quy

- Định lý trọng tâm: Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm. Đồng thời khoảng cách từ điểm này đến đỉnh gấp đôi khoảng cách từ điểm này đến trung điểm của cạnh đối diện. Giao điểm nói trên được gọi là trọng tâm của hình tam giác.

- Định lý tâm ngoại tiếp: các đường trung trực của ba cạnh của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này gọi là tâm ngoại tiếp của tam giác.

- Định lý trực tâm: Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác

- Định lý tâm nội tiếp: Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm này được gọi là tâm nội tuyến của tam giác.

- Định lý tâm bàng tiếp: Tia phân giác của góc trong của tam giác và tia phân giác của góc ngoài ở hai đỉnh còn lại cắt nhau tại một điểm. Điểm này gọi là tâm bàng tiếp của tam giác. Hình tam giác có 3 tâm bàng tiếp.

- Trọng tâm, trực tâm, tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp đều là tâm của tam giác. Chúng đều có những mối liên hệ quan trọng đến hình tam giác.

5. Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy bạn có thể áp dụng những cách làm sau đây:

Cách 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng, sau đó tiến hành chứng minh đường thẳng thứ ba cũng đi qua giao điểm đó.

Cách 2: Chứng minh một điểm bất kỳ cũng thuộc vào ba đường thẳng đó.

Cách 3: Sử dụng 1 trong những tính chất đồng quy trong tam giác như là:

* Ba đường thẳng có chứa các đường trung tuyến.

* Ba đường thẳng có chứa các đường phân giác.

* Ba đường thẳng có chứa các đường trung trực.

* Ba đường thẳng có chứa các đường các đường cao.

Cách 4: Sử dụng tính chất của các đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song và những đoạn thẳng tỉ lệ.

Cách 5: Sử dụng các chứng minh phản chứng.

Cách 6: Sử dụng tính chất thẳng hàng của các điểm

Cách 7: Chứng minh các đường thẳng đều đi qua một điểm duy nhất.

6. Ví dụ chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Ví dụ 1: Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy tại 1 điểm.

Ta có 3 đường thẳng lần lượt là (d1): y = 2x + 1; (d2): y = (-x) – 2; (d3): y = (m-1)x – 4

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ là giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) ta có: y = 2x + 1 = (-x) – 2 ⇔ 3x = -3 ⇔ x = -1

Suy ra ta có y = 2 x (-1) + 1 = -1

Như vậy giao điểm của (d1) với (d2) sẽ là là I(-1;-1)

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm I sẽ phải thuộc vào đường thẳng (d3)

=> -1 = (m – 1) x (-1) – 4 ⇔ m = -2

Như vậy phương trình đường thẳng (d3) sẽ là: y = -3x – 4

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC, qua lần lượt mỗi đỉnh A, B, C ta kẻ 3 đường thẳng song song với cạnh đối diện và chúng sẽ cắt nhau tại F, D, E. Hãy chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm.

Lời giải:

Ta có:

AE // BC

AB // CE

Từ đó suy ra được ABCE là 1 hình bình hành.

⇒ AE = BC

Dùng cách chứng minh tương tự ta cũng có ACBF là hình bình hành.

⇒ AF = BC

⇒ AE = AF

Như vậy A là trung điểm của EF.

Tương tự ta cũng có được B là trung điểm của đường thẳng DF, C là trung điểm của DE.

Như vậy, A, B, C lần lượt là trung điểm của ba cạnh tam giác DEF. Do đó ta có thể ⇒AD, BE, CF đồng quy tại trọng tâm của tam giác DEF.

7. Bài tập chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD; M là trung điểm CD; I thuộc đoạn AG; BI cắt mp (ACD) tại J. Chọn mệnh đề sai

A. Giao tuyến của (ACD) và (ABG) là AM
B. 3 điểm A; J; M thẳng hàng.
C. J là trung điểm của AM.
D. Giao tuyến của mp(ACD) và (BDJ) là DJ.

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB; AC; BD sao cho EF cắt BC tại I; EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?

A. CD; EF; EG
B. CD; IG; HF
C. AB; IG; HF
D, AC; IG; BD

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm M . Gọi N là giao điểm của SD và mp (AMB). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Ba đường thẳng AB; CD; MN đôi một song song
B. Ba đường thẳng AB; CD; MN đôi một cắt nhau
C. Ba đường thẳng AB; CD; MN đồng quy
D. Ba đường thẳng AB; CD; MN cùng thuộc một mặt phẳng

Bài 4. Cho tam giác ABC và một điểm O ở trong tam giác. Gọi F, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác AOB và tam giác AOC. Chứng minh ba đường thẳng AO, BF, CG đồng quy

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD. Vẽ các điểm M, N sao cho AB, AC theo thứ tự là các đường trung trực của DM, DN. Gọi giao điểm cua MN với AB và AC theo thứ tự là F và E. Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi O và K lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABH và ACH. Vẽ AD vuông góc với OK. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BO, CK đồng quy.