Giải Toán 9: Ôn tập Chương IV Giải SGK Toán 9 Tập 2 (trang 63, 64)

Giải Toán 9 Ôn tập Chương IV: Hàm Số y = ax² (a ≠ 0) - Phương trình bậc hai một ẩn giúp các bạn học sinh tham khảo cách giải, đối chiếu với lời giải hay chính xác phù hợp với năng lực của các bạn lớp 9.

Giải bài tập Toán 9 trang 63, 64 tập 2 được biên soạn đầy đủ tóm tắt lý thuyết, trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm, củng cố, bồi dưỡng và kiểm tra vốn kiến thức của bản thân. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải bài tập Toán 9 Ôn tập Chương IV trang 63, 64, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 9: Ôn tập Chương IV: Trang 63, 64

Bài 54
Bài 55
Bài 56
Bài 57
Bài 58
Bài 59
Bài 60
Bài 61
Bài 62
Bài 63
Bài 64
Bài 65
Bài 66

Bài 54

Vẽ đồ thị của hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ và $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ trên cùng một hệ trục tọa độ

a) Qua điểm (B(0; 4) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’.

b) Tìm trên đồ thị của hàm số $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách:

- Ước lượng trên hình vẽ:

- Tính toán theo công thức.

Xem gợi ý đáp án

Vẽ đồ thị hàm số:

* Hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ và $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$

- Tập xác định D = R

- Bảng giá trị

x	-4	-2	2	4
$\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$	4	1	1	4
$\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$	-4	-1	-1	-4

- Vẽ đồ thị:

- Đồ thị hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ và $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ là các Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O và nhận Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ nằm trên trục hoành, đồ thị hàm số $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ nằm dưới trục hoành.

a) Đường thẳng qua B(0; 4) song song với Ox có dạng: y = 4.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 4 và đồ thị hàm số $\displaystyle y = {1 \over 4}{x^2}$ là:

$\dfrac{1}{4}{x^2} = 4 \Leftrightarrow {x^2} = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4$

Từ đó ta có hoành độ của M là x = 4, của M' là x = - 4.

b) Trên đồ thị hàm số $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ ta xác định được điểm N và N’ có cùng hoành độ với M, M’. Ta được đường thẳng NN'//Ox

Tìm tung độ của N, N’

- Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của N là y = - 4; của N’ là y = -4

- Tính toán theo công thức:

Điểm N(4;y). Thay x = 4 vào $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ nên $\displaystyle y = - {1 \over 4}{.4^2} = - 4$

Điểm N’(-4;y). Thay x = - 4 vào $\displaystyle y = - {1 \over 4}{x^2}$ nên $\displaystyle y = - {1 \over 4}.{( - 4)^2} = - 4$

Vậy tung độ của N, N’ cùng bằng -4.

Bài 55

Cho phương trình: x² - x - 2 = 0.

a) Giải phương trình.

b) Vẽ hai đồ thị y = x² và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.

c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Xem gợi ý đáp án

a) x² – x – 2 = 0

Có a = 1; b = -1; c = -2 ⇒ a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1; 2}

b) + Đường thẳng y = x + 2 cắt trục Ox tại (-2; 0) và cắt Oy tại (0; 2).

+ Parabol y = x² đi qua các điểm (-2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4).

c) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

x² = x + 2 ↔ x² - x- 2 = 0

Phương trình (*) chính là phương trình đã giải ở ý (a) Do đó hai nghiệm ở câu (a) chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị

Bài 56

Giải các phương trình:

a) 3x⁴ – 12x² + 9 = 0;

b) 2x⁴ + 3x² – 2 = 0;

c) x⁴ + 5x² + 1 = 0.

Xem gợi ý đáp án

Cả ba phương trình trên đều là phương trình trùng phương.

a) 3x⁴ – 12x² + 9 = 0 (1)

Đặt x² = t, t ≥ 0.

(1) trở thành: 3t² – 12t + 9 = 0 (2)

Giải (2):

Có a = 3; b = -12; c = 9

⇒ a + b + c = 0

⇒ (2) có hai nghiệm t₁ = 1 và t₂ = 3.

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.

+ t = 3 ⇒ x² = 3 ⇒ x = ±√3.

+ t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1.

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt

b) 2x⁴ + 3x² – 2 = 0 (1)

Đặt $t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)$

Ta có phương trình :

$\eqalign{ & 2{t^2} + 3t - 2 = 0 \cr & \Delta = 9 + 16 = 25 \Rightarrow \sqrt \Delta = 5 \cr & \Rightarrow {t_1} = {{ - 3 + 5} \over 4} = {1 \over 2}(TM);{t_2} = - 2 \cr}$

Với $\displaystyle t = {1 \over 2} \Rightarrow {x^2} = {1 \over 2}$

$\Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} = \pm {{\sqrt 2 } \over 2}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

c) x⁴ + 5x² + 1 = 0 (1)

Đặt x² = t, t > 0.

(1) trở thành: t² + 5t + 1 = 0 (2)

Giải (2):

Có a = 1; b = 5; c = 1

⇒ Δ = 5² – 4.1.1 = 21 > 0

Cả hai nghiệm đều < 0 nên không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

Bài 57

Giải các phương trình:

$a) 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11$

$b) \displaystyle {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}$

$c) \displaystyle {x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}$

$d) \displaystyle {{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}$

$e) 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)$

$f) {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)$

Xem gợi ý đáp án

$a) 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11$

$\eqalign{ & 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11 \cr & \Leftrightarrow 5{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 10 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr}$

⇒ Phương trình có hai nghiệm: x₁ = -1 và x₂ = -c/a = 2.

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-1; 2}.

$b) \displaystyle {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}$

$\eqalign{ & {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6} \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 20{\rm{x}} = 5{\rm{x}} + 25 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 25{\rm{x}} - 25 = 0 \cr & \Delta = {25^2} + 4.6.25 = 1225 \cr & \sqrt \Delta = 35 \Rightarrow {x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6} \cr}$

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6}$

$c) \displaystyle {x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}$

Điều kiện: $x \ne \left\{ {0;2} \right\}$

Ta có $\dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{10 - 2x}}{{{x^2} - 2x}}$

⇔ x² = 10 – 2x

⇔ x² + 2x – 10 = 0

Có a = 1; b = 2; c = -10 ⇒ Δ’ = 1² – 1.(-10) = 11 > 0

Phương trình trên có $\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 10} \right) = 11 > 0$ nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt {11} \\x = - 1 - \sqrt {11} \end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = - 1 + \sqrt {11} ;x = - 1 - \sqrt {11} \ .$

$d) \displaystyle {{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}$

$\displaystyle {{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}$ ĐKXĐ $x \ne \pm {1 \over 3}$

⇔ (x + 0,5).(3x – 1) = 7x + 2

⇔ 3x² + 1,5x – x – 0,5 = 7x + 2

⇔ 3x² – 6,5x – 2,5 = 0.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất: $\displaystyle {x} = {5 \over 2}$

$e) 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)$

$\begin{array}{l} 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + 1 - \sqrt 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Delta = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} - 8\sqrt 3 \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\\ \Delta = 3 - 2\sqrt 3 + 1 - 8\sqrt 3 + 24\\ = 28 - 10\sqrt 3 \\ = {5^2} - 2.5.\sqrt 3 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\\ = {\left( {5 - \sqrt 3 } \right)^2} \end{array}$

$\begin{array}{l} {x_1} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 - 5 + \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\\ {x_2} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 + 5 - \sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

$f) {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)$

$\eqalign{ & {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 4 - 3\sqrt 2 = 0 \cr & \Delta = 8 - 12\sqrt 2 + 9 - 16 + 12\sqrt 2 = 1 \cr & \sqrt \Delta = 1 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{3 - 2\sqrt 2 + 1} \over 2} = 2 - \sqrt 2 \cr & {x_2} = {{3 - 2\sqrt 2 - 1} \over 2} = 1 - \sqrt 2 \cr}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 58

Giải các phương trình:

a) 1,2x³ – x² – 0,2x = 0;

b) 5x³ – x² – 5x + 1 = 0.

Xem gợi ý đáp án

a) 1,2x³ – x² – 0,2x = 0;

$\Leftrightarrow x\left( {1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2 = 0(*) \hfill \cr} \right.$

Giải (*): $1,2x^2 – x – 0,2 = 0$

Ta có: a + b + c = 1,2 + (-1) + (-0,2) = 0

Vậy (*) có 2 nghiệm: $\displaystyle {x_1}= 1; \displaystyle {x_2} = {{ - 0,2} \over {1,2}} = - {1 \over 6}$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: $\displaystyle {x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = - {1 \over 6}$

$b) 5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0$

⇔ x²(5x – 1) – (5x – 1) = 0

⇔ (x² – 1)(5x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x + 1)(5x – 1) = 0

$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \matrix{5{\rm{x}} - 1 = 0 \hfill \cr {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \dfrac{1}{5} \hfill \cr x = \pm 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: $\displaystyle {x_1} = {1 \over 5};{x_2} = - 1;{x_3} = 1$

Bài 59

Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

$a) 2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0$

$b) {\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0$

Xem gợi ý đáp án

$a) 2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0$

Đặt ${x^2} - 2x = t$ , ta thu được phương trình $2{t^2} + 3t + 1 = 0$

Phương trình trên có a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0 nên có hai nghiệm $t = - 1;t = - \dfrac{1}{2}.$

+ Với $t = - 1 \Rightarrow {x^2} - 2x = - 1\\$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

+ Với $t = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x^2} - 2x = - \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x - 1 = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm $x = 1;x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2};x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}$

$b) {\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0$

ĐK: $x \ne 0.$

Đặt $x + \dfrac{1}{x} = t$ , ta thu được phương trình {t^2} - 4t + 3 = 0

Phương trình trên có $a + b + c = 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0$ nên có hai nghiệm t = 1;t = 3.

+ Với $t = 1 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 1 \Rightarrow {x^2} - x + 1 = 0 .$

Xét $\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 = - 3 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

+ Với $t = 3 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = 3$

$\Rightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\,$ (*)

Phương trình (*) có $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 5 > 0$ nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2};x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$

Bài 60

Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:

$a) \displaystyle 12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}$

$b) 2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3$

$c) {x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2$

d) x² - 2mx + m - 1 = 0

Xem gợi ý đáp án

$a) \displaystyle 12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}$

$\displaystyle 12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}$

Ta có: $\displaystyle {x_1}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {1 \over 2}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {x_2} = {1 \over 6}$

$b) 2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3$

$2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3$

Ta có: $\displaystyle {x_1}.{x_2} = {{ - 39} \over 2} \Leftrightarrow - 3{{\rm{x}}_2} = {{ - 39} \over 2}$

$\Leftrightarrow \displaystyle {x_2} = {{13} \over 2}$

$c) {x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2$

${x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2$

Ta có:

$\eqalign{ & {x_1}.{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr & \Leftrightarrow - \sqrt 2 .{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr & \Leftrightarrow {x_2} = {{\sqrt 2 - 2} \over { - \sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 } \right)} \over { - \sqrt 2 }} = \sqrt 2 - 1 \cr}$

d) x² - 2mx + m - 1 = 0 (1)

Vì x₁ = 2 là một nghiệm của pt (1) nên:

2² - 2m.2 + m - 1 = 0

⇔ 4- 4 m+ m – 1 = 0

⇔ 3- 3m = 0

⇔ m = 1

Khi m = 1 ta có: x₁.x₂ = m - 1 (hệ thức Vi-ét)

⇔ 2.x₂ = 0 (vì x₁ = 2 và m = 1)

⇔ x₂ = 0

Bài 61

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 12, uv = 28 và u > v

b) u + v = 3, uv = 6

Xem gợi ý đáp án

a) S = 12, P = 28 ⇒ S² – 4P = 32 > 0

⇒ u, v là hai nghiệm của phương trình: x² – 12x + 28 = 0.

Có a = 1; b = -12; c = 28 ⇒ Δ’ = (-6)² – 28 = 8 > 0

Phương trình có hai nghiệm x₁ = 6 + 2√2; x₂ = 6 - 2√2

Vì u > v nên u = 6 + 2√2 và v = 6 - 2√2

b) S = 3; P = 6 ⇒ S² – 4P = -15 < 0

Vậy không tồn tại u, v thỏa mãn yêu cầu.

Bài 62

Cho phương trình 7x² + 2(m – 1)x - m² = 0.

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.

Xem gợi ý đáp án

a) Ta có: a = 7, b= 2(m-1), c = - m²

Suy ra: Δ' = (m - 1)² + 7m²

Do (m-1)² ≥ 0 mọi m và m² ≥ 0 mọi m

=> ∆’≥ 0 với mọi giá trị của m.

Do đó phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁; x₂.

Theo hệ thức Viet ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \dfrac{2(m-1)}{7}\\ {x_1}.{x_2} = \dfrac{- m^2}{7} \end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l} x_1^2 + x_2^2=x_1^2 + x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2 \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\ = {\left[ {\dfrac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{7}} \right]^2} - 2.\dfrac{{ - {m^2}}}{7}\\ = \dfrac{{4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right)}}{{49}} + \dfrac{{2{m^2}}}{7}\\ = \dfrac{{4{m^2} - 8m + 4 + 14{m^2}}}{{49}}\\ = \dfrac{{18{m^2} - 8m + 4}}{{49}} \end{array}$

Vậy $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}} .$

Bài 63

Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?

Xem gợi ý đáp án

Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là x (x > 0).

Dân số thành phố sau 1 năm là:

2 + 2.x = 2.(1 + x) (triệu người)

Dân số thành phố sau 2 năm là:

2.(1 + x) + 2.(1 + x).x = 2.(1 + x)² (triệu người).

Theo bài ra ta có phương trình:

2.(1 + x)² = 2,020050

⇔ (1 + x)² = 1,010025

⇔ x + 1 = 1,005

⇔ x = 0,005 = 0,5%.

Vậy tỉ số tăng dân số trung bình một năm của thành phố là 0,5%.

Bài 64

Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?

Xem gợi ý đáp án

Gọi số mà đề bài đã cho là x, x nguyên dương, x > 2.

Bạn Quân đã chọn số x – 2 để nhân với x.

Theo đề bài, ta có: x(x – 2) = 120 hay $x^2 – 2x – 120 = 0$

Phương trình trên có $\Delta'=(-1)^2-1.(-120)=121>0$

Suy ra $x = 1+\sqrt {121}=12$ (thỏa mãn) hoặc $x=1-\sqrt {121}=-10$ (loại)

Nên số đầu bài cho là 12

Theo đầu bài yêu cầu tìm tích của x với x +2

Vậy kết quả đúng phải là 168.

Bài 65

Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường.Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.

Xem gợi ý đáp án

Gọi vận tốc của xe lửa thứ nhất là: x (km/h) (x > 0)

⇒ vận tốc xe lửa thứ hai là: x + 5 (km/h)

Do hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường, với quãng đường từ Hà Nội đến Bình Sơn dài 900 km nên quãng đường mỗi xe đi được kể từ khi bắt đầu đến khi hai xe gặp nhau là 900: 2= 450 ( km)

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất. Điều kiện x > 0.

Khi đó vận tốc của xe lửa thứ hai là x + 5 (km/h).

Đến khi gặp nhau tại chính giữa quang đường thì mỗi xe đều đi được 900:2=450 km.

Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là: $\displaystyle {{450} \over x}$ (giờ)

Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là: $\displaystyle {{450} \over {x + 5}}$ (giờ)

Vì xe lửa thứ hai đi sau 1 giờ, nghĩa là thời gian đi đến chỗ gặp nhau ít hơn xe thứ nhất 1 giờ. Ta có phương trình:

$\dfrac{{450}}{x} - \dfrac{{450}}{{x + 5}} = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 450\left( {x + 5} \right) - 450x = x\left( {x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow 450x + 2250 - 450x = {x^2} + 5x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 2250 = 0\\ \Delta = {5^2} - 4.\left( { - 2250} \right) = 9025 > 0,\sqrt \Delta = 95 \end{array}$

Từ đó ta có: ${x_1} = 45$ (nhận); ${x_2} = -50$ (loại)

Vậy:

Vận tốc của xe lửa thứ nhất là 45 km/h.

Vận tốc của xe lửa thứ hai là 50 km/h.

Bài 66

Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm².

Xem gợi ý đáp án

Gọi x (cm) là độ dài của đoạn AK. Điều kiện 0 < x < 12

Vì ∆ABC đồng dạng ∆AMN nên

$\eqalign{ & {{MN} \over {BC}} = {{AM} \over {AB}} = {{AK} \over {AH}} = {x \over {12}} \cr & \Rightarrow MN = {{16x} \over {12}} = {{4{\rm{x}}} \over 3} \cr}$