Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác Ôn tập Toán 11

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác là tài liệu vô cùng hữu ích mà hôm nay Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Tính chẵn lẻ và chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác là một trong những kiến thức quan trọng nằm trong chủ đề hàm số lượng giác. Tài liệu bao gồm cách xác định chu kì của hàm số lượng giác, ví dụ minh họa kèm theo một số bài tập trắc nghiệm có đáp án kèm theo. Qua đó giúp các bạn cách xác định hàm số tuần hoàn, cách tính chu kì cơ sở và cách xác định hàm số chẵn, hàm số lẻ. 

1. Cách xác định chu kì của hàm số lượng giác

Định nghĩa: Hàm số _{$y=f\left(x\right)$} có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số _{$T\ne 0$} sao cho với mọi _{$x\in D$} ta có:

• _{$\{\begin{array}{c}x-T\in D\\ x+T\in D\end{array}$}
• _{$f(x+T)=f\left(x\right)$}

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được:

• _{$y=\sin x$} tuần hoàn với chu kì _$T=2\pi$
• _{$y=\cos x$} tuần hoàn với chu kì _$T=2\pi$
• _{$y=\tan x$} tuần hoàn với chu kì _$T=\pi$
• _{$y=\cot x$} tuần hoàn với chu kì _$T=\pi$

Chú ý:

Hàm số _{$y=\sin (ax+b)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{\left|a\right|}$}

Hàm số _{$y=\cos (ax+b)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{\left|a\right|}$}

Hàm số _{$y=\tan (ax+b)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{\pi }{\left|a\right|}$}

Hàm số _{$y=\cot (ax+b)$} tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{\left|a\right|}$

Đặc biệt:

i. Hàm số _{$y=a\sin mx+b\cos nx+c,(m,n\in \mathbb{Z})$} là hàm số tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{(m,n)}$} với (m,n) là ước chung lớn nhất

ii. Hàm số _{$y=a\tan mx+b\cot nx+c,(m,n\in \mathbb{Z})$} là hàm số tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{\pi }{(m,n)}$} với (m,n) là ước chung lớn nhất

2. Ví dụ minh họa tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số _{$y={\sin }^{2}x$}

Hướng dẫn giải

Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn

$\mathrm{\exists }T>0:f(x+T)=f\left(x\right)\iff \sin {(x+T)}^2=\sin x^2,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$x=0\iff \sin T^2=0\iff T^2=k\pi \iff T=\sqrt{k\pi }$

$\iff f(x+\sqrt{k\pi })=f\left(x\right),\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Cho _{$x=\sqrt{2k\pi }$} . Ta có: _{$f\left(\sqrt{2k\pi }\right)=\sin {\left(\sqrt{2k\pi }\right)}^2=0$}

$f(x+\sqrt{k\pi })=\sin {(x+\sqrt{k\pi })}^2=\sin (3k\pi +2k\pi \sqrt{2})=\pm \sin \left(2k\pi \sqrt{2}\right)$

$\Rightarrow f(x+\sqrt{k\pi })\ne 0$

Vậy hàm số đã không phải là hàm số tuần hoàn

Ví dụ 2: Xét tính tuần hoàn và chu kì cơ sở của các hàm số sau:

$a.y=\sin (2x+1)$
$b.y=\cos (\frac{1}{2}-3x)$

Hướng dẫn giải

a.Hàm số _{$y=\sin (2x+1)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$}

b.Hàm số _{$y=\cos (\frac{1}{2}-3x)$} tuần hoàn với chu kì _{$T=\frac{2\pi }{|-3|}=\frac{2\pi }{3}$}

Ví dụ 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số:

$a.y=1+{\sin }^{2}2x$

$b.y=\frac{1}{\sin 2x}$

Hướng dẫn giải

a.Ta có:

$y=1+{\sin }^2(2x)=1+\frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4x}{2}$

Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T _{$\Rightarrow f(x+T)=f(x)$}

$\iff \frac{3}{2}-\frac{\cos 4x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{\cos 4(x+T)}{2}$

_{$\iff \cos 4x=\cos 4(x+T)$} chọn _$x=0$

$\Rightarrow \cos 4\text{T}=1\iff \text{T}=\frac{\text{k}\pi }{2}$

Chọn $\mathrm{k}=1\to \mathrm{T}=\frac{\pi }{2}$ vậy chu kì là $\mathrm{T}=\frac{\pi }{2}$

b.Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T _{$\Rightarrow f(x+T)=f(x)$}

$\iff \frac{1}{\sin 2(x+T)}=\frac{1}{\sin 2x}\iff \sin 2(x+T)=\sin 2x$

Chọn _{$x=0\Rightarrow \sin T=0\Rightarrow T=k\pi$}

Chọn _{$k=1\Rightarrow T=\pi$}

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì _$T=\pi$

3. Trắc nghiệm tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Câu 1: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. y= sin x

B. y = x+ 1

C. y=x2 .

D. y=(x-1)/(x+2) .

Lời giải:

Chọn A

Tập xác định của hàm số: D= R

Với mọi x ∈ D , k ∈ Z ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D , sin(x+2kπ)=sinx .

Vậy y=sinx là hàm số tuần hoàn.

Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. y= sinx- x

B. y= cosx

C. y= x.sin x

D.y=(x2+1)/x

Lời giải:

Chọn B

Tập xác định của hàm số: D=R .

mọi x ∈ D , k ∈ Z ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D,cos(x+2kπ)=cosx .

Vậy y= cosx là hàm số tuần hoàn.

Câu 3: Chu kỳ của hàm số y= cosx là:

A. 2kπ

B. 2π/3

C. π

D. 2π

Lời giải:

Chọn D

Tập xác định của hàm số: D= R

Với mọi x ∈ D;k ∈ Z, ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D thỏa mãn: cos⁡( x+k2π)=cosx

Vậy y= cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì (ứng với k= 1) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn cos⁡( x+k2π)=cosx

Câu 4: Chu kỳ của hàm số y= tanx là:

A.2π

B.π/4

C.kπ,k ∈ Z

D.π

Lời giải:

Chọn D

Tập xác định của hàm số:D= R\{π/2+kπ,k ∈ Z }

Với mọi x ∈ D;k ∈ Z ta có x-kπ ∈ D;x+kπ ∈ D và tan (x+kπ)=tanx

Vậy là hàm số tuần hoàn với chu kì π (ứng với k= 1) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn tan (x+kπ)=tanx