Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác Các dạng bài tập Toán 11

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình lớp 11 mà học sinh cần phải ghi nhớ.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác bao gồm cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác, ví dụ minh họa và một số dạng bài tập có đáp án kèm theo. Qua đó giúp các bạn học sinh có thêm nhiều tư liệu tham khảo, nhanh chóng ghi nhớ được kiến thức để biết cách giải các bài tập Toán 11. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn theo dõi tại đây.

1. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:

+ Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1

+Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1

+ Bất đẳng thức bunhia –copski: Cho hai bộ số (a₁; a₂) và (b₁;b₂) khi đó ta có:

(a₁.b₁+ a₂.b₂ )² ≤ ( a₁²+ a₂² ).( b₁²+ b₂² )

Dấu “=” xảy ra khi: a₁/a₂ = b₁/b₂

+ Giả sử hàm số y= f(x) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M].

+ Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a² + b² ≥ c²

2. Ví dụ giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Hàm số y= 1+ 2cos²x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x₀. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.x₀=π+k2π, kϵZ .

B.x₀=π/2+kπ, kϵZ .

C.x₀=k2π, kϵZ .

D.x₀=kπ ,kϵZ .

Trả lời.

Chọn B.

Ta có - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 0 ≤ cos²x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos²x ≤ 3

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .

Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ .

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.

A.M= 3 ;m= 0

B. M=2 ; m=0.

C. M=2 ; m= 1.

D.M= 3 ; m= 1.

Trả lời.

Chọn C.

Ta có: y = sin² x+ 2cos²x = (sin²x+ cos²x) + cos²x = 1+ cos² x.

Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos² x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos² x+1 ≤ 2

 Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1 

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx - 3

A.M= 1; m= - 7

B. M= 7; m= - 1

C. M= 3; m= - 4

D. M=4; m= -3

Lời giải

Chọn A

Ta có : - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên - 4 ≤ 4sinx ≤ 4

Suy ra : - 7 ≤ 4sinx-3 ≤ 1

Do đó : M= 1 và m= - 7

Ví dụ 4: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 .

A. [5; 9]

B.[6;10]

C. [ 8;12]

D. [10; 14]

Trả lời

Chọn C

Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos⁡2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2

⇒ 8 ≤ -2cos2x+10 ≤ 12

Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là : T= [ 8 ;12]

3. Bài tập giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: $y=4\sin x\cos x+1$

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$y=4\sin x\cos x+1=2\sin 2x+1$}

Do _{$-1\le \sin 2x\le 1\Rightarrow -2\le 2\sin 2x\le 2\Rightarrow -2+1\le 2\sin 2x+1\le 2+1$}

_{$\Rightarrow -1\le 2\sin 2x+1\le 3$} hay _{$-1\le y\le 3$}

• _$y=3$ khi và chỉ khi _{$\sin 2x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$}
• _$y=-1$ khi và chỉ khi _{$\sin 2x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$}

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: _{$y=4-3{\sin }^{2}x$}

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$0\le {\sin }^{2}x\le 1\Rightarrow 0\ge -3{\sin }^{2}x\ge -3\Rightarrow 4-0\ge y\ge 4-3\Rightarrow 4\ge y\ge 1$}

• _$y=4$ khi và chỉ khi _{${\sin }^{2}x=1\Rightarrow {\cos }^{2}x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$}
• _$y=1$ khi và chỉ khi _{${\sin }^{2}x=0\Rightarrow \sin x=0\Rightarrow x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$}

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 4, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=6{\cos }^{2}x+2{\cos }^{2}2x$

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$y=6{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}2x=6{\cos }^{2}x+{(2{\cos }^{2}x-1)}^2=4{\cos }^{4}x+2{\cos }^{2}x+1$}

Đặt _{$t={\cos }^{2}x,t\in [0,1]$}ta có hàm số _{$y=4t^2+2t+1$}
Giá trị lớn nhất của hàm số là 7 khi _{$\cos x=1\Rightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$}

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 khi _{$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$}

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

$a.y=3\sin x+4\cos x+5$

$b.y=\sqrt{2\sin x+3}$

Hướng dẫn giải

a. Xét phương trình _{$y=3\sin x+4\cos x+5\iff 3\sin x+4\cos x+5-y=0$}

$\Rightarrow$ Phương trình có nghiệm

$\iff 3^2+4^2\ge {(5-y)}^2\iff y^2-10y\le 0\iff 0\le y\le 10$

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 10, giá trị nhỏ nhất là 0

b. Ta có: _{$-1\le \sin x\le 1\Rightarrow -2\le 2\sin x\le 2\Rightarrow -2+3\le 2\sin x+3\le 2+3$}

$\Rightarrow 1\le 2\sin x+3\le 5$

$\Rightarrow 1\le y\le 5$

• $y=5$ khi và chỉ khi _{$\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$}
• $y=1$ khi và chỉ khi _{$\sin x=0\Rightarrow x=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$}

Vây giá trị lớn nhất của hàm số là 5

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1