Giải Toán 9: Ôn tập Chương III: Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn Giải SGK Toán 9 Tập 2 (trang 27)

Giải Toán 9 Ôn tập Chương III: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn giúp các bạn học sinh tham khảo cách giải, đối chiếu với lời giải hay chính xác phù hợp với năng lực của các bạn lớp 9.

Giải bài tập Toán 9 trang 27 tập 2 được biên soạn đầy đủ tóm tắt lý thuyết, trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm, củng cố, bồi dưỡng và kiểm tra vốn kiến thức của bản thân. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải bài tập Toán 9 Ôn tập Chương III trang 27, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Ôn tập Chương III: Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn
Giải bài tập toán 9 trang 27 tập 2

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn

1. Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: $(I) \left\{\begin{matrix} ax + by = c & & \\ a'x + b'y = c' & & \end{matrix}\right.$

trong đó ax + by = c và a'x + b'y = c' là những phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm chung thì nghiệm chung ấy gọi là nghiệm của hệ phương trình (I). Trái lại, nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) là vô nghiệm.

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Đối với hệ phương trình (I), ta gọi (d) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình ax + by = c và (d') là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình a'x + b'y = c'.

+ Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

+ Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

+ Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

3. Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Ta dùng kí hiệu "⇔" để chỉ sự tương đương của hai hệ phương trình.

Giải bài tập toán 9 trang 27 tập 2

Bài 40

Giải các hệ phương trình sau và minh họa hình học kết quả tìm được:

$a) \left\{ \matrix{2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1 \hfill \cr} \right.$

$b) \left\{ \matrix{0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right.$

$c) \left\{ \matrix{{\displaystyle{3 \over 2}}x - y = {\displaystyle{1 \over 2}} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.$

Xem gợi ý đáp án

$a) \left\{ \matrix{2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1 \hfill \cr} \right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr {\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{\rm{x}} + 5y = 2 \hfill \cr - 2{\rm{x}} - 5y = - 5 \hfill \cr} \right.$

Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ trên, ta được: 2x + 5y +(-2x-5y)= 2-5

$\Leftrightarrow$ 0 = - 3 (vô lý)

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Minh họa hình học kết quả tìm được:

- Vẽ đồ thị hàm số 2x + 5y = 2.

Cho y = 0 ⇒ x = 1. Ta xác định được điểm A(1; 0)

Cho y = 1 ⇒ x = -1,5. Ta xác định được điểm B(-1,5; 1).

Đồ thị hàm số 2x + 5y = 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

-Vẽ đồ thị hàm số ${\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 5y = 5$

Cho x = 0 ⇒ y = 1. Ta xác định được điểm C(0; 1)

Cho y = 2 ⇒ x = -2,5. Ta xác định được điểm D(-2,5; 2)

Đồ thị hàm số ${\displaystyle{2 \over 5}}x + y = 1$ là đường thẳng đi qua hai điểm C và D.

Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.

$b) \left\{ \matrix{0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ 0,2{\rm{x}} + 0,1y = 0,3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2{\rm{x}} - y = - 3 \hfill \cr 3{\rm{x}} + y = 5 \, (2) \hfill \cr} \right.$

Cộng vế với vế của hai phương trình trên, ta được $-2x-y+3x+y=-3+5 \Leftrightarrow x = 2$

Thế x = 2 vào phương trình (2), ta được: 6 + y = 5 ⇔ y = -1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(2;-1)

Minh họa hình học:

- Đồ thị hàm số 0,2x + 0,1y = 0,3 là một đường thẳng đi qua hai điểm:

A( 0; 3) và B(1,5; 0)

- Đồ thị hàm số 3x + y = 5 là một đường thẳng đi qua hai điểm C( 0; 5) và D( 1; 2)

- Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: M( 2; -1).

Vậy (2; -1) là một nghiệm của hệ phương trình.

$c) \left\{ \matrix{{\displaystyle{3 \over 2}}x - y = {\displaystyle{1 \over 2}} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ {\displaystyle{3 \over 2}}x - y = {\displaystyle{1 \over 2}} \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3{\rm{x}} + 2y = - 1 \hfill \cr 3{\rm{x}} - 2y = 1 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\ - 3x + 2y + 3x - 2y = - 1 + 1\end{array} \right.$

$\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 3x - 1\\0 = 0\left( \right)\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát là $\left( {x;{\displaystyle{3 \over 2}}x - {\displaystyle{1 \over 2}}} \right)$ với x ∈ R

Minh họa hình học

- Đồ thị hàm số $\dfrac{3}{2}x - y = \dfrac{1}{2}$ và đồ thị hàm số 3x - 2y = 1 cùng là một đường thẳng đi qua hai điểm $A(0; - {\displaystyle{1 \over 2}})$ và B(1;1) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 41

Giải các hệ phương trình sau:

$a) \left\{ \matrix{x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.$

$b) \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1\end{array} \right.$

Xem gợi ý đáp án

$a) \left\{ \matrix{x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1 \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1 \hfill \cr} \right.$

$\left\{ \matrix{ x\sqrt 5 - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1(1) \hfill \cr \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + y\sqrt 5 = 1(2) \hfill \cr} \right.$

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ (1) ta có $x = \displaystyle{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}(3)$

Thế (3) vào (2), ta được:

$\eqalign{ & \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left[ {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + 1} \over {\sqrt 5 }}} \right] + y\sqrt 5 = 1 \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)y + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 5y = \sqrt 5 \cr & \Leftrightarrow - 2y + 5y = \sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 \cr&\Leftrightarrow y = {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3} \cr}$

Thế y vừa tìm được vào (3), ta được:

$\begin{array}{l} x = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \right) + 3}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1 + \sqrt {15} + 3 - \sqrt 3 + 3}}{{3\sqrt 5 }}\\ = \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt {15} + 5}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 \left( {1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}}{{3\sqrt 5 }} = \dfrac{{1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{3} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: $\displaystyle\left( {{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1} \over 3};{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1} \over 3}} \right)$

$b) \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình: (I)

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1\end{array} \right.$

Điều kiện: $\displaystyle x \ne - 1;y \ne - 1$

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt $\displaystyle u = {x \over {x + 1}};v = {y \over {y + 1}}$

Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là u và v ta được:

$\displaystyle \left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 \,\,(1') \hfill \cr u + 3v = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2u + v = \sqrt 2 (3) \hfill \cr - 2u - 6v = 2(4) \hfill \cr} \right.$

Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được: $\displaystyle - 5{\rm{v}} = 2 + \sqrt 2 \Leftrightarrow v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}$

Thay $\displaystyle v = {{ - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \over 5}$ vào (1’), ta được:

$\displaystyle 2u + v = \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = -v+\sqrt 2$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 } \over 5} + \sqrt 2 \Leftrightarrow 2u = {{2 + \sqrt 2 + 5\sqrt 2 } \over 5} = {{2 + 6\sqrt 2 } \over 5}$

$\displaystyle \Leftrightarrow u = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}$

Với giá trị của $\displaystyle u,v$ vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm x, y.

Ta có:

$\displaystyle \left\{ \matrix{ {x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr {y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \left( {x + 1} \right).\left( {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right) \hfill \cr y = \left( {y + 1} \right).{{{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5}} \hfill \cr} \right.$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} = \left( {x + 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 2 } \right) \hfill \cr 5y = \left( {y + 1} \right)\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) \hfill \cr} \right.$

$\displaystyle \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x = x\left( {3\sqrt 2 + 1} \right) + 3\sqrt 2 + 1\\ 5y = y\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right) - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - \left( {3\sqrt 2 + 1} \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\ 5y - \left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)x = 3\sqrt 2 + 1\\ \left( {7 + \sqrt 2 } \right)y = - 2 - \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.$

$\displaystyle \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2 + 1} \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)}}\\ y = \dfrac{{\left( { - 2 - \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {7 + \sqrt 2 } \right)\left( {7 - \sqrt 2 } \right)}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2}\,(tmđk)\\ y = \dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}\,(tmđk) \end{array} \right. \end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $\displaystyle \left( {\dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}} \right)$

Bài 42

Giải hệ phương trình $\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.$ trong mỗi trường hợp sau:

a) m = -√2;

b) m = √2;

c) m = 1.

Xem gợi ý đáp án

$(I) \left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m(1) \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 (2) \hfill \cr} \right.$

Từ phương trình (1) ta rút ra được y = 2x – m (*)

Thay (*) vào phương trình (2) ta được:

4x – m².(2x – m) = 2√2

⇔ 4x – 2m².x + m³ = 2√2

⇔ (4 – 2m²).x = 2√2 – m³ (**)

a) Với m = -√2, phương trình (**) trở thành: 0x = 4√2

Phương trình vô nghiệm.

Vậy với m = -√2, hệ phương trình (I) vô nghiệm.

b) Với m = √2, phương trình (**) trở thành: 0x = 0

Phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R, khi đó y = 2x – √2

Vậy với m = √2, hệ (I) có vô số nghiệm dạng (x ; 2x - √2), x ∈ R

c) m = 1

$(I) \left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = m(1) \hfill \cr 4{\rm{x}} - {m^2}y = 2\sqrt 2 (2) \hfill \cr} \right.$

Ta có (1) ⇔ y = 2x – m (3)

Thế (3) vào (2), ta có:

$4{\rm{x}} - {m^2}\left( {2{\rm{x}} - m} \right) = 2\sqrt 2$

$\Leftrightarrow 2\left( {2 - {m^2}} \right)x = 2\sqrt 2 - {m^3}(*)$

Với m = 1. Thế vào phương trình (*), ta được:

$2.(2-1)x = 2\sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = 2\sqrt 2 - 1$

$\Leftrightarrow x = \displaystyle {{2\sqrt 2 - 1} \over 2}$

Thay x vừa tìm được vào (3), ta có: $y = 2\sqrt{2} – 2$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là: $\left( \displaystyle {{{2\sqrt 2 - 1} \over 2};2\sqrt 2 - 2} \right)$

Bài 43

Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6km, khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trường hợp trên nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.

Xem gợi ý đáp án

Gọi vận tốc của người đi từ A là x (km/phút), vận tốc của người đi từ B là y,(km/phút) (ĐK: x;y > 0)

Nếu hai người khời hành cùng lúc thì gặp nhau tại một điểm cách A là 2km nên lúc này quãng đường người từ A đi được là 2km; quãng đường người từ B đi được là 3,6 - 2 = 1,6km.

Khi đó thời gian người từ A đi là $\dfrac{2}{x}$ (phút), thời gian người từ B đi là $\dfrac{1,6}{y} (phút).$

Vì hai người khời hành cùng lúc và ngược chiều nên đến khi gặp nhau thời gian hai người đi là bằng nhau, nên ta có phương trình $\dfrac{2}{x} = \dfrac{{1,6}}{y} (1)$

Nhận thấy rằng người đi từ B đi chậm hơn người đi từ A (vì khi khởi hành cùng lúc thì quãng đường người từ B đi ít hơn người đi từ A).

Lại có nếu người đi chậm hơn (người đi từ B) xuất phát trước người đi từ A là 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường nên mỗi người đi được 1,8 km.

Thời gian hai người đi từ A và đi từ B lần lượt là: $\dfrac{{1,8}}{x};\dfrac{{1,8}}{y}$ (phút)

Từ đó, ta có phương trình $\dfrac{{1,8}}{x} + 6 = \dfrac{{1,8}}{y} (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} = \dfrac{{1,6}}{y}\\\dfrac{{1,8}}{x} + 6 = \dfrac{{1,8}}{y}\end{array} \right.$

Đặt $\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v$ ta có hệ sau $\left\{ \begin{array}{l}2u = 1,6v\\1,8u + 6 = 1,8v\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 0,8v\\1,8.0,8v - 1,8v = - 6\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{{50}}{3}\\u = \dfrac{{40}}{3}\end{array} \right.$

Thay lại cách đặt ta được $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{{40}}{3}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{{50}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,075\\y = 0,06\end{array} \right. (TM )$

Vậy vận tốc người đi từ A là 0,075 km/phút hay 4,5 km/giờ

Vận tốc người đi từ B là 0,06 km/phút hay 3,6 km/giờ.

Bài 44

Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm³ là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích 10 cm³ và 7 g kẽm có thể tích 1 cm³.

Xem gợi ý đáp án

Gọi x;y lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đã cho (ĐK: 0 < x;y < 124)

Vì vật có khối lượng 124g nên ta có phương trình x + y = 124 (1)

Biết cứ 89g đồng thì có thể tích là 10cm³nên 1g đồng có thể tích là $\dfrac{{10}}{{89}}\,c{m^3}$

Suy ra x gam đồng có thể tích là $\dfrac{{10}}{{89}}x\,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Biết cứ 7g kẽm thì có thể tích là 1cm³nên 1g kẽm có thể tích là $\dfrac{1}{7}\,c{m^3}$

Suy ra y gam kẽm có thể tích là $\dfrac{1}{7}y\,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Vì thể tích vật đã cho là $15\,c{m^3}$ nên ta có phương trình $\dfrac{{10}}{{89}}x + \dfrac{1}{7}y = 15 (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 124\\\dfrac{{10}}{{89}}x + \dfrac{1}{7}y = 15\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 124 - x\\70x + 89\left( {124 - x} \right) = 15.7.89\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 124 - x\\ - 19x = - 1691\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 89\\y = 35\end{array} \right. (TM )$

Vậy khối lượng đồng và kẽm trong vật đã cho lần lượt là 89g và 35g.

Bài 45

Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình độ II làm việc nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi nên họ làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

Xem gợi ý đáp án

Với năng suất ban đầu, giả sử đội I làm một mình xong công việc trong x (ngày) và đội II làm một mình xong công việc trong y (ngày)
Điều kiện: x, y > 12

Như vậy, mỗi ngày đội I làm được $\displaystyle{1 \over x}$ công việc và đội II làm được $\displaystyle{1 \over y}$ công việc.

Hai đội cùng làm sẽ xong trong 12 ngày nên 1 ngày cả hai đội làm được $\displaystyle {1 \over {12}}$ công việc. Ta có phương trình:

$\displaystyle{1 \over x} + \displaystyle{1 \over y} = \displaystyle{1 \over {12}}(1)$

Trong 8 ngày làm chung, cả hai đội làm được $\left( \displaystyle{{8 \over x} + \displaystyle{8 \over y}} \right)$ công việc. Do năng suất gấp đôi nên đội II mỗi ngày làm được $\displaystyle{2 \over y}$ công việc và làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày nên trong 3,5 ngày này đội II làm được $3,5.\displaystyle{2 \over y} = \displaystyle{7 \over y}$ công việc. Ta có phương trình:

$\left( \displaystyle{{8 \over x} + \displaystyle{8 \over y}} \right)+\displaystyle{7 \over y}=1\Leftrightarrow \displaystyle{8 \over x} + \displaystyle{{15} \over y}=1 \, (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\\dfrac{8}{x} + \dfrac{{15}}{y} = 1\end{array} \right.$

Đặt:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x} = a\\ \dfrac{1}{y} = b \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a + b = \dfrac{1}{{12}}\\ 8a + 15b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}} - b\\ 8\left( {\dfrac{1}{{12}} - b} \right) + 15b = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}} - b\\ \dfrac{2}{3} + 7b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{{21}}\\ b = \dfrac{1}{{21}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{28}}\\ b = \dfrac{1}{{21}} \end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{28}}\\ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{21}} \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 28\\ y = 21 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy x = 28 (nhận) và y = 21 (nhận)

Vậy đội I làm một mình xong công việc trong 28 ngày, đội II làm một mình xong công việc trong 21 ngày.

Bài 46

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15% , đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch đươc bao nhiêu tấn thóc?

Xem gợi ý đáp án

Gọi x (tấn) và y (tấn) lần lượt là số thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái (x, y > 0 và x < 720, y < 720)

- Năm ngoái, hai đơn vị thu được 720 tấn thóc nên ta có: x + y = 720.

- Năm nay:

+ Số thóc đơn vị thứ nhất thu được: x + 15%.x = x + 0,15x = 1,15x.

+ Số thóc đơn vị thứ hai thu được là: y + 12%y = y + 0,12y = 1,12y.

Năm nay, cả hai đơn vị thu được 819 tấn thóc nên ta có: 1,15x + 1,12y = 819

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 720\\\dfrac{{115}}{{100}}x + \dfrac{{112}}{{100}}y = 819\end{array} \right. \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 720\\ 1,15x + 1,12y = 819 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 720 - y\\ 1,15.\left( {720 - y} \right) + 1,12y = 819 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 720 - y\\ 828 - 1,15y + 1,12y = 819 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 720 - y\\ 0,03y = 9 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 300\\ x = 720 - 300 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 300\\ x = 420 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy:

- Năm ngoái: đơn vị 1 thu được 420 tấn, đơn vị 2 thu được 300 tấn.

- Năm nay: đơn vị 1 thu được 1,15.420 = 483 tấn; đơn vị 2 thu được 1,12.300 = 336 tấn

Chia sẻ bởi: