Giải Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai Giải SGK Toán 9 Tập 2 (trang 56, 57)

Giải Toán lớp 9 trang 56, 57 tập 2 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi và bài tập của Bài 8: Phương trình quy về phương trình bậc hai thuộc chương 4 Đại số 9.

Giải Toán 9 Bài 8 tập 2 Phương trình quy về phương trình bậc hai được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 56, 57 tập 2 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai
Trả lời câu hỏi Toán 9 Bài 7
Giải Toán 9 trang 56 tập 2
Giải Toán 9 trang 56 tập 2: Luyện tập

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương trình trùng phương

Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

$a{x^4} + {\rm{ }}b{x^2} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\left( {a{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0} \right)$

Cách giải:

Giải phương trình trùng phương $a{x^4} + {\rm{ }}b{x^2} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\left( {a{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0} \right)$

+ Đặt ${x^2} = {\rm{ }}t,{\rm{ }}t{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0.$ Giải Toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

+ Giải phương trình $a{t^2} + {\rm{ }}bt{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

+ Với mỗi giá trị tìm được của t (thỏa mãn $t \ge 0$ ), lại giải phương trình ${x^2} = {\rm{ }}t.$

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Bài 7

Câu hỏi 1

Giải phương trình trùng phương:

a) 4x⁴ + x² – 5 = 0

b) 3x⁴ + 4x² + 1 = 0

Gợi ý đáp án

a) 4x⁴ + x² – 5 = 0 (*)

Đặt x² = t (điều kiện t ≥ 0)

Phương trình (*) trở thành

4t² + t - 5 = 0 (**)

Ta có a = 4; b = 1; c = -5

Dễ thấy a + b + c = 0

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${t_1} = 1\left( {tm} \right);{t_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 5}}{4}\left( {ktm} \right)$

Với t = 1 => x = 1 hoặc x = -1

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1 hoặc x = -1

b) 3x⁴ + 4x² + 1 = 0 (*)

Đặt x² = t (điều kiện t ≥ 0)

Phương trình (*) trở thành

3t² + 4t + 1 = 0 (**)

Ta có a = 3; b = 4; c = 1

Dễ thấy a - b + c = 0

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${t_1} = - 1\left( {ktm} \right);{t_2} = \frac{{ - c}}{a} = - \frac{1}{3}\left( {ktm} \right)$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu hỏi 2

Giải phương trình: $\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{{x^2} - 9}} = \frac{1}{{x - 3}}$

Bằng cách điền vào các chỗ trống (..) và trả lời các câu hỏi

- Điều kiện: x ≠ …

- Khử mẫu và biến đổi ta được: x² – 3x + 6 = … <=> x² – 4x + 3 = 0

- Nghiệm của phương trình x² – 4x + 3 = 0 là: x₁ = …; x₂ = ….

Hỏi x₁ có thỏa mãn điều kiện nói trên không? Tương tự, đối với x₂?

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: …

Gợi ý đáp án

- Điều kiện: x ≠ ± 3

- Khử mẫu và biến đổi ta được: x² – 3x + 6 = x + 3 <=> x² – 4x + 3 = 0

- Nghiệm của phương trình x² – 4x + 3 = 0 là: x₁ = 1; x₂ = 3

Kết hợp với điều kiện xác định ta có:

x₁ = 1 thỏa mãn điều kiện

x₂ = 3 Không thỏa mãn điều kiện

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

Câu hỏi 3

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích:

x³ + 3x² + 2x = 0

Gợi ý đáp án

Thực hiện giải phương trình như sau:

x³ + 3x² + 2x = 0

=> x(x² + 3x + 2) = 0

Trường hợp 1: x = 0

Trường hợp 2: x² + 3x + 2 = 0

Ta có: a = 1; b = 3; c = 2

Dễ thấy a – b + c = 0

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ = -1; x₂ = -c/a = -2

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-1; -2}

Giải Toán 9 trang 56 tập 2

Bài 34

Giải các phương trình trùng phương:

a) x⁴ – 5x² + 4 = 0;

b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0;

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0

Xem gợi ý đáp án

a) x⁴ – 5x² + 4 = 0 (1)

Đặt x² = t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành : t² – 5t + 4 = 0 (2)

Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t₁ = 1; t₂ = c/a = 4

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;

+ Với t = 4 ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

b) 2x⁴ – 3x² – 2 = 0; (1)

Đặt x² = t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành : 2t² – 3t – 2 = 0 (2)

Giải (2) : Có a = 2 ; b = -3 ; c = -2

⇒ Δ = (-3)² - 4.2.(-2) = 25 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm

${t_1} = \dfrac{{ - \left( { - 3} \right) - 5}}{{2.2}} = \dfrac{{ - 1}}{2}$

${t_2} = \dfrac{{ - \left( { - 3} \right) + 5}}{{2.2}} = 2\left( {tm} \right)$

Chỉ có giá trị t₁ = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 2 ⇒ x² = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

c) 3x⁴ + 10x² + 3 = 0 (1)

Đặt x² = t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành : 3t² + 10t + 3 = 0 (2)

Giải (2) : Có a = 3; b' = 5; c = 3

⇒ Δ’ = 5² – 3.3 = 16 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Cả hai giá trị đều không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

Bài 35

$a) \dfrac{(x+ 3)(x-3)}{3}+ 2 = x(1 - x)$

$b) \dfrac{x+ 2}{x-5} + 3 = \dfrac{6}{2-x}$

Xem gợi ý đáp án

$a) \dfrac{(x+ 3)(x-3)}{3}+ 2 = x(1 - x)$

Quy đồng và khử mẫu ta được:

$\Leftrightarrow {x^2} - 9 + 6 = 3x{\rm{ - }}3{x^2}$

$\Leftrightarrow 4{x^2}{\rm{ - }}3x{\rm{ - }}3 = 0;\Delta = 57>0$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là:

$\displaystyle {x_1} = {\rm{ }}{{3 + \sqrt {57} } \over 8},{x_2} = {\rm{ }}{{3 - \sqrt {57} } \over 8}$

$b) \dfrac{x+ 2}{x-5} + 3 = \dfrac{6}{2-x}$

Điều kiện x ≠ 2, x ≠ 5.

Quy đồng và khử mẫu ta được:

(x + 2)(2 – x) + 3(x – 5)(2 – x) = 6(x – 5)

$\Leftrightarrow 4 - {x^2} + 3\left( {2x - {x^2} - 10 + 5x} \right) = 6x - 30$

$\Leftrightarrow 4{\rm{ - }}{x^2}{\rm{ - }}3{x^2} + 21x{\rm{ - }}30 = 6x{\rm{ - }}30$

$\Leftrightarrow 4{x^2}{\rm{ - }}15x{\rm{ - }}4 = 0,$

$\Delta = 225 + 64 = 289 > 0,\sqrt \Delta = 17$

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là $\displaystyle {x_1} = {\rm{ }} - {1 \over 4},{x_2} = 4$ (thỏa mãn điều kiện)

Bài 36

Giải các phương trình:

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0;

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0.

Xem gợi ý đáp án

a) (3x² – 5x + 1)(x² – 4) = 0

⇔ 3x² – 5x + 1 = 0 (1)

hoặc x² – 4 = 0 (2)

+ Giải (1): 3x² – 5x + 1 = 0

Có a = 3; b = -5; c = 1 ⇒ Δ = (-5)² – 4.3 = 13 > 0

Phương trình có hai nghiệm:

${x_1} = \dfrac{{5 - \sqrt {13} }}{6};{x_2} = \dfrac{{5 + \sqrt {13} }}{6}$

+ Giải (2): x² – 4 = 0 ⇔ x² = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2.

Vậy phương trình có tập nghiệm

${x_1} = \dfrac{{5 - \sqrt {13} }}{6};{x_2} = \dfrac{{5 + \sqrt {13} }}{6};{x_3} = - 2;{x_4} = 2$

b) (2x² + x – 4)² – (2x – 1)² = 0

⇔ (2x² + x – 4 – 2x + 1)(2x² + x – 4 + 2x – 1) = 0

⇔ (2x² – x – 3)(2x² + 3x – 5) = 0

⇔ 2x² – x – 3 = 0 (1)

hoặc 2x² + 3x – 5 = 0 (2)

+ Giải (1): 2x² – x – 3 = 0

Có a = 2; b = -1; c = -3 ⇒ a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

+ Giải (2): 2x² + 3x – 5 = 0

Có a = 2; b = 3; c = -5 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\{1;-2,5;-1;1,5\}$

Giải Toán 9 trang 56 tập 2: Luyện tập

Bài 37

$a) 9{x^4} - 10{x^2} + 1 = 0$

$b) 5{x^4} + 2{x^2}{\rm{ - }}16 = 10{\rm{ - }}{x^2}$

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0

$d) \displaystyle 2{x^2} + 1 = {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} - 4$

Xem gợi ý đáp án

a) 9x⁴ – 10x² + 1 = 0 (1)

Đặt x² = t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó (1) trở thành : 9t² – 10t + 1 = 0 (2)

Giải (2):

Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1

⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình (2) có nghiệm t₁ = 1; t₂ = c/a = 1/9.

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.

+ Với $t = \dfrac{1}{9} \Rightarrow {x^2} = \dfrac{1}{9} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{1}{3}$

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là: $\displaystyle {x_1} = - 1,{x_2} = 1,{x_3} = - {1 \over 3},{x_4} = {\rm{ }}{1 \over 3}$

$b) 5{x^4} + 2{x^2}{\rm{ - }}16 = 10{\rm{ - }}{x^2}$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}5{x^4} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}26{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

Đặt $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} \ge {\rm{ }}0$ , ta có: $5{t^2} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} - 26{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}26{\rm{ }} = {\rm{ }}529{\rm{ }} = {\rm{ }}{23^2};$

${\rm{ }}{t_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} - 2,6$ (loại).

Do đó: $x^2=2$ suy ra ${x_1} = {\rm{ }}\sqrt 2 ,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - \sqrt 2$

c) 0,3x⁴ + 1,8x² + 1,5 = 0 (1)

Đặt x² = t, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó, (1) trở thành : 0,3t² + 1,8t + 1,5 = 0 (2)

Giải (2) :

có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5

⇒ a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t₁ = -1 và t₂ = -c/a = -5.

Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

$d) \displaystyle 2{x^2} + 1 = {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} - 4$

$\displaystyle 2{x^2} + 1 = {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} - 4 \displaystyle \Leftrightarrow 2{x^2} + 5 - {\rm{ }}{1 \over {{x^2}}} = 0.$

Điều kiện x ≠ 0

$2{x^4} + {\rm{ }}5{x^2}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$ Đặt $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} \ge {\rm{ }}0$ , ta có:

$2{t^2} + 5t{\rm{ - }}1 = 0;\Delta = 25 + 8 = 33,$

$\displaystyle {t_1} = {\rm{ }}{{ - 5 + \sqrt {33} } \over 4}(tm),{t_2} = {\rm{ }}{{ - 5 - \sqrt {33} } \over 4}$ (loại)

Do đó $\displaystyle x^2= {\rm{ }}{{ - 5 + \sqrt {33} } \over 4}$ suy ra $\displaystyle {x_1} = {\rm{ }}{{\sqrt { - 5 + \sqrt {33} } } \over 2},{x_2} = {\rm{ }} - {{\sqrt { - 5 + \sqrt {33} } } \over 2}$

Bài 38

$a) {\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x$

$b) {x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)({x^2}-{\rm{ }}2)$

c) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5)

$d) \dfrac{x(x - 7)}{3} – 1 = \dfrac{x}{2} - \dfrac{x-4}{3}$

$e) \dfrac{14}{x^{2}-9} = 1 - \dfrac{1}{3-x}$

$f) \dfrac{2x}{x+1} = \dfrac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}$

Xem gợi ý đáp án

$a) {\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x$

${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Delta = 25{\rm{ - }}16 = 9>0$

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: ${x_1} = \dfrac{{ - 5 - 3}}{{2.2}} = - 2;{x_2} = \dfrac{{ - 5 + 3}}{{2.2}} = - \dfrac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

$b) {x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)({x^2}-{\rm{ }}2)$

${x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)({x^2}-{\rm{ }}2)$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }}-{\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2$

${\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\displaystyle \Delta' = 16 + 22 = 38,{x_1} = {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {38} } \over 2},{x_2} = {{ - 4 - \sqrt {38} } \over 2}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

c) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x² + 1,5)

⇔ x³ - 3x² + 3x – 1 + 0,5x² = x³ + 1,5x

⇔ x³ + 1,5x – x³ + 3x² – 3x + 1 – 0,5x² = 0

⇔ 2,5x² – 1,5x + 1 = 0

Có a = 2,5; b = -1,5; c = 1

⇒ Δ = (-1,5)² – 4.2,5.1 = -7,75 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

$d) \dfrac{x(x - 7)}{3} – 1 = \dfrac{x}{2} - \dfrac{x-4}{3}$

$\dfrac{x(x - 7)}{3}– 1=\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-4}{3}$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}2x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}14x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}8$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}15x{\rm{ }}-{\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}0;$

$\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}225{\rm{ }} + {\rm{ }}112{\rm{ }} = {\rm{ }}337>0$

$\displaystyle {x_1} = {{15 + \sqrt {337} } \over 4},{x_2} = {\rm{ }}{{15 - \sqrt {337} } \over 4}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

$e) \dfrac{14}{x^{2}-9} = 1 - \dfrac{1}{3-x}$

Khi đó

$\begin{array}{l}\dfrac{{14}}{{{x^2} - 9}} = 1 - \dfrac{1}{{3 - x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{14}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 14 = {x^2} - 9 + x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 20 = 0\end{array}$

${\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}81>0$

Nên $\displaystyle {x_1} = {{ - 1 - 9} \over 2} = - 5;{x_2} = {{ - 1 + 9} \over 2} = 4$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm ${x_1} = {\rm{ }} - 5,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4.$

$f) \dfrac{2x}{x+1} = \dfrac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}$

$\dfrac{2x}{x+1} = \dfrac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}.$ Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 4

Qui đồng và khử mẫu ta được:

$2x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}8$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Có a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0 nên ${x_1} = - 1,{x_2} = 8$

Vì ${x_1}$ = - 1 không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là x = 8.

Bài 39

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích:

a) (3x² – 7x – 10).[2x² + (1 – √5)x + √5 – 3] = 0

b) x³ + 3x² – 2x – 6 = 0;

c) (x² – 1)(0,6x + 1) = 0,6x² + x;

d) (x² + 2x – 5)² = (x² – x + 5)².

Xem gợi ý đáp án

a) $(3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10)[2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\left( {3{x^2} - 7x - 10} \right)\left[ {2{x^2} + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x + \sqrt 5 - 3} \right] = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} - 7x - 10 = 0\,\left( 1 \right)\\2{x^2} + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x + \sqrt 5 - 3 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.$

+ Giải phương trình (1).

Ta có $a - b + c = 3 - \left( { - 7} \right) + \left( { - 10} \right) = 0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x = - 1;x = 10.

+ Giải phương trình (2)

Ta thấy $a + b + c = 2 + 1 - \sqrt 5 + \sqrt 5 - 3 = 0$ nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $x = 1;x = \dfrac{{\sqrt 5 - 3}}{2}$

Vậy phương trình đã cho có bốn nghệm $x = - 1;x = 10;x = 1;x = \dfrac{{\sqrt 5 - 3}}{2}.$

$b) {x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} - 2x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\x = - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \\x = - 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm $x = \sqrt 2 ;x = - \sqrt 2 ;x = - 3$

$c) ({x^{2}} - {\rm{ }}1)\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x$

$\begin{array}{l}\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {0,6x + 1} \right) = 0,6{x^2} + x\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {0,6x + 1} \right) = x\left( {0,6x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {0,6x + 1} \right) - x\left( {0,6x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {0,6x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0,6x + 1 = 0\\{x^2} - x - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5}}{3}\\{x^2} - x - 1 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}$

Phương trình (*) có $\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1\left( { - 1} \right) = 5 > 0$ nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $x = - \dfrac{5}{3};x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2};x = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$

$d) {({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2}$

$\begin{array}{l}{\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} - {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x - 5 + {x^2} - x + 5} \right)\left( {{x^2} + 2x - 5 - {x^2} + x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + x} \right)\left( {3x - 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 1 = 0\\3x - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có ba nghiệm $x = 0;x = - \dfrac{1}{2};x = \dfrac{{10}}{3}$

Bài 40

$a) 3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$b) {({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

c) $x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7$

$d) \dfrac{x}{x+ 1} – 10 . \dfrac{x+1}{x}= 3$

Xem gợi ý đáp án

$a) 3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Đặt ${x^2} + x = t$ ta được phương trình $3{t^2} - 2t - 1 = 0$

Phương trình này có $a + b + c = 3 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) = 0$ nên có hai nghiệm $t = 1;t = - \dfrac{1}{3}$

+ Với ${t_1} = 1$ ta có ${x^2} + x = 1$ hay ${x^2} + x - 1 = 0$ có $\Delta = {1^2} + 4.1.1 = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}$

+ Với $t = - \dfrac{1}{3} \Rightarrow {x^2} + x = - \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + 1 = 0$ có $\Delta = {3^2} - 4.3.1 = - 3 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}.$

$b) {({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Ta có

$\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 4x + 2} \right)^2} + {x^2} - 4x + 2 - 6 = 0\end{array}$

Đặt $t = {x^2} - 4x + 2$ ta được phương trình ${t^2} + t - 6 = 0$ có $\Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 25 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 5$ nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 1 + 5}}{2} = 2\\t = \dfrac{{ - 1 - 5}}{2} = - 3\end{array} \right.$

+ Với $t = 2 \Rightarrow {x^2} - 4x + 2 = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.$

+ Với $t = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 0 có \Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.5 = - 4 < 0$ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0;x = 4.

c) $x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7$

$x - \sqrt x = 5\sqrt x + 7 \Leftrightarrow x - 6\sqrt x - 7 = 0$

ĐK: $x \ge 0$

Đặt $\sqrt x = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 6t - 7 = 0 có a - b + c = 1 - \left( { - 6} \right) + \left( { - 7} \right) = 0$ nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}t = - 1\left( L \right)\\t = 7\left( N \right)\end{array} \right.$

Với $t = 7 \Rightarrow \sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm x = 49.

$d) \dfrac{x}{x+ 1} – 10 . \dfrac{x+1}{x}= 3$

$ĐK:x \ne \left\{ { - 1;0} \right\}$

Đặt $\dfrac{x}{{x + 1}} = t \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{x} = \dfrac{1}{t}$ , ta có phương trình $t - 10.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} - 3t - 10 = 0$

Phương trình trên có $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 49 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 7$ nên có hai nghiệm $\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{3 + 7}}{2} = 5\\t = \dfrac{{3 - 7}}{2} = - 2\end{array} \right.$