21 công thức giải nhanh phần Hàm số Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

TOP 21 Công thức giải nhanh hàm số dưới đây là những công thức quan trọng các em lớp 12 cần ghi nhớ để vận dụng tính toán nhanh nhất các bài toán liên quan đến hàm số và cho ra kết quả chính xác.

Trong kì thi THPT Quốc gia môn Toán thì số lượng công thức cần ghi nhớ là không hề nhỏ. Đối với các bài thi trắc nghiệm, điều cần thiết là các em học sinh cần nắm kiến thức rộng và có phương pháp giải nhanh hiệu quả để có thể ghi điểm nhiều nhất. Bên cạnh công thức hàm số các bạn xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

I. Một số công thức về đạo hàm

1.1. Bảng đạo hàm của hàm số biến x

Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản

(xα)’ = α.xα-1

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = – sin x

\((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\)

\((cot x)’ = \frac{-1}{sin^2 x} = -(1 + cot2 x)\)

\((logα x)’ = \frac{1}{x.lnα}\)

\((ln x)’ = \frac{1}{x}\)

(αx)’ = αx . lnα

(ex)’ = ex

1.2. Bảng đạo hàm của hàm số biến u = f(x)

Dưới đây là bảng đạo hàm các hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit của một hàm số đa thức u = f(x).

Bảng đạo hàm các hàm số nâng cao

(uα)’ = α.u’.uα-1

(sin u)’ = u’.cos u

(cos u)’ = – u’.sin u

\((tan u)’ = \frac{u’}{cos^2 u} = u'(1 + tan2 u)\)

\((cot u)’ = \frac{-u}{sin^2 u} = -u'(1 + cot2 x)\)

\((logα u)’ = \frac{u}{u.lnα}\)

\((ln u)’ = \frac{u’}{u}\)

(αu)’ = u’.αu.lnα

(eu)’ = u’.eu

1.3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N}, n > 1)\) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)’} = n{x^{n – 1}}.\)

Nhận xét:

(C)’= 0 (với C là hằng số).

(x)’=1.

Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt {x}\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)

1.4. Đạo hàm của phép toán tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

\({\left( {u + v} \right)’} = {u’} + {v’}; {\left( {u – v} \right)’} = {u’} – {v’}; {\left( {u.v} \right)’} = {u’}.v + u.{v’};\)

\(\left ( \frac{u}{v} \right )’=\frac{u’v-uv’}{v^2},(v(x) \ne 0)\)

Mở rộng:

\(({u_1} + {u_2} + … + {u_n})’ = {u_1}’ + {u_2}’ + … + {u_n}’.\)

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: (ku)’ = ku’.

Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)’} = \frac{{ – v’}}{{{v^2}}} , (v(x)\ne 0)\)

\((u.v.{\rm{w}})’ = u’.v.{\rm{w}} + u.v’.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}’\)

1.5. Đạo hàm của hàm hợp

Định lý: Cho hàm số y = f(u) với u = u(x) thì ta có: \(y’_u=y’_u.u’_x.\)

Hệ quả:

\(({u^n}) = n.{u^{n – 1}}.u’,n \in \mathbb{N}^*. \left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}\)

Đặc biệt

\(- \left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)=\frac{a d-b c}{(c x+d)^{2}}\)
\(- \left(\frac{a x^{2}+b x+c}{d x+e}\right)^{\prime}=\frac{a d x^{2}+2 a e x+b e-c d}{(d x+e)^{2}}\)

\(- \left(\frac{a x^{2}+b x+c}{d x^{2}+e x+f}\right)=\frac{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ d & e\end{array}\right| x^{2}+2\left|\begin{array}{ll}a & c \\ d & f\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b & c \\ e & f\end{array}\right|}{\left(d x^{2}+e x+f\right)^{2}}\)

\(=\frac{(a e-b d) x^{2}+2(a f-c d) x+(b f-c e)}{\left(d x^{2}+e x+f\right)^{2}}\)

II. Tính đơn điệu của hàm số:

+ Hàm phân thức hữu tỉ:\(\mathrm{y}=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}\left(\mathrm{x} \neq \frac{-\mathrm{d}}{\mathrm{c}}\right)\) dấu '=' khi xét đạo hàm \(\mathrm{y}^{\prime}\) không xảy ra

+ Hàm bậc ba \(\mathrm{y}=\mathrm{ax}^{3}+\mathrm{bx}^{2}+\mathrm{cx}+\mathrm{d}\) có đạo hàm \(\mathrm{y}^{\prime}=3 \mathrm{ax}^{2}+2 \mathrm{bx}+\mathrm{c}\)

2.1. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

2.2. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

• Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
• Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
• Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

2.3. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
• Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.
• Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

III. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (a, b)

• Bước 1: Tìm TXD, tìm f' (x)
• Bước 2: Tìm các nghiệm \(x_{1}\) của phương trình \(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=0\) hoặc tại đó hàm liên tục và không có đạo hàm.
• Bước 3: So sánh các giá trị \(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{i}\right)\) với \(\mathrm{f}(\mathrm{a}), \mathrm{f}(\mathrm{b})\)
• Bước 4: Kết luân Quy tắc tìm cực trị 

IV. Quy tắc tìm cực trị

4.1. Quy tắc 1

• Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 2. Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
• Bước 3. Lập bảng biến thiên.
• Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

4.2. Quy tắc 2

• Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệu x_i (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.
• Bước 3. Tính f''(x) và f''(x_i ) .
• Bước 4. Dựa vào dấu của f''(x_i )suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.