Phương pháp tọa độ hóa hình không gian Tọa độ hóa hình học không gian

Giới thiệu Tải về
  • 5 Đánh giá

Phương pháp tọa độ hóa hình không gian là tài liệu hữu ích, hướng dẫn sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian cổ điển.

Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh lớp 12 có thêm nhiều tài liệu học tập, củng cố kiến thức để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia sắp tới. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm: Bộ công thức Toán ôn thi THPT Quốc gia. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

Phương pháp tọa độ hóa hình không gian

I. Các công thức tọa độ hóa hình không gian

1. Vectơ trong không gian

Trong không gian cho các vect \overrightarrow{u_{1}}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), \overrightarrow{u_{2}}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) và số k tùy \hat{y}

\begin{array}{l} \overrightarrow{u_{1}}=\overrightarrow{u_{2}} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x_{1}=x_{2} \\ y_{1}=y_{2} \\ z_{1}=z_{2} \end{array}\right. \\ \overrightarrow{u_{1}} \pm \overrightarrow{u_{2}}=\left(x_{1} \pm x_{2}, y_{1} \pm y_{2}, z_{1} \pm z_{2}\right) \end{array}

k \overrightarrow{u_{1}}=\left(k x_{1}, k y_{1}, k z_{1}\right)

- Tích có hướng: \overrightarrow{u_{1}} \cdot \overrightarrow{u_{2}}=x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}+z_{1} \cdot z_{2}

- Hai vectơ vuông góc nhau \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{1}} \cdot \overrightarrow{u_{2}}=0 \Leftrightarrow x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}+z_{1} \cdot z_{2}=0

\left|\overrightarrow{u_{1}}\right|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}

- Gọi \varphi là góc hợp bởi hai vectơ \left(0^{\circ} \leqslant \varphi \leqslant 180^{\circ}\right)

\begin{aligned} \cos \varphi=\cos \left(\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)=\frac{\overrightarrow{u_{1}} \cdot \overrightarrow{u_{2}}}{\left|\overrightarrow{u_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{u_{2}}\right|}=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}} \\ \overrightarrow{A B}=\left(x_{B}-x_{A}, y_{B}-y_{A}, z_{B}-z_{A}\right) \\ A B=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B}-z_{A}\right)^{2}} \end{aligned}

- Tọa độ các điểm đặc biệt:

- Tọa độ trung điểm I của A B:I\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}, \frac{y_{A}+y_{B}}{2}, \frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác A B C:

G\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}, \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}, \frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}\right.),

- Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

G\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}+x_{D}}{4}, \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}+y_{D}}{4}, \frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}+z_{D}}{4}\right)

Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc của hai vectơ xác định bởi

\vec{u}=\left[\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right]=\left(\left|\begin{array}{ll} y_{1} & z_{1} \\ y_{2} & z_{2} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} z_{1} & x_{1} \\ z_{2} & x_{2} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} x_{1} & z_{1} \\ x_{2} & z_{2} \end{array}\right|\right)

- Một số tính chất của tích có hướng

\star \vec{a}\vec{b} cùng phương \Leftrightarrow[\vec{a}, \vec{b}]=\overrightarrow{0}

A, B, C thẳng hàng \Leftrightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=\overrightarrow{0}

Ba vectơ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} đồng phẳng \Leftrightarrow[\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c}=0

Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng \Leftrightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D} \neq \overrightarrow{0}

\star|[\vec{a}, \vec{b}]|=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cdot \sin (\vec{a}, \vec{b})

Các ứng dụng của tích có hướng

\star S_{A B C D}=|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}]|

\starDiện tích tam giác:S_{A B C}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]|

*Thể tích khối hộp: 

V_{A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}=\left|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}] \cdot \overrightarrow{A A^{\prime}}\right|

*Thể tích tứ diện:

V_{A B C D}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}] \cdot \overrightarrow{A D}|

2. Phương trình mặt phẳng

- Phương trình tổng quát(\alpha): a x+b y+c z+d=0 với \left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 0\right).

- Phương trình mặt phẳng (\alpha) qua M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) và có vectơ pháp tuyến \vec{n}=(a, b, c)

(\alpha): a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)+c\left(z-z_{0}\right)=0

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (\alpha) qua A(a, 0,0) ; B(0, b, 0) ; C(0,0, c)

(\alpha): \frac{x-x_{0}}{a}+\frac{y-y_{0}}{b}+\frac{z-z_{0}}{c}=1, \quadvới a, b, c \neq 0

- Nếu \vec{n}=(a, b, c) là vectơ pháp tuyến của (\alpha) thì k \vec{n}, k \neq 0 cũng là vectơ pháp tuyến của (\alpha). Do đó một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Trong một số trường hợp ta có thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách chọn một giá trị cụ thể (hoặc b hoặc c) và tính hai giá trị còn lại đảm bảo đúng tỉ lệ a: b: c.

3. Góc

Góc giũa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (\alpha) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{\alpha}}, mặt phẳng (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{\beta}}, khi đó góc giữa (\alpha)(\beta) được tính bằng

\cos ((\alpha),(\beta))=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_{\alpha}}, \overrightarrow{n_{\beta}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_{\alpha}} \cdot \overrightarrow{n_{\beta}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{\alpha}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{\beta}}\right|}
Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d_{1}d_{2} có các vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}}\overrightarrow{u_{2}}, khi đó góc giữa d_{1}d_{2}  tính bằng

\cos \left(d_{1}, d_{2}\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_{2}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{u_{1}} \cdot \overrightarrow{u_{2}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{u_{2}}\right|}

.............

Mời các bạn tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Mời bạn đánh giá!
Liên kết tải về
Tìm thêm: Toán 12