Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Giới thiệu Tải về Bình luận

Cách tính delta, cách tính delta phẩy trong phương trình bậc 2 là kiến thức quan trọng và là nền tảng cho các bài toán từ cơ bản đến nâng cao của môn Toán 9. Trong bài viết hôm nay Download.vn sẽ giới thiệu chi tiết công thức tính delta, delta phẩy ứng dụng giải phương trình bậc 2 và nhiều dạng bài tập mẫu vận dụng.

Thông qua tài liệu cách tính delta, delta phẩy các bạn có thêm nhiều gợi ý tham khảo, nhanh chóng nắm được công thức để biết cách vận dụng vào giải bài tập. Bên cạnh đó các bạn xem thêm một số bài tập Toán nâng cao lớp 9, tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

1. Phương trình bậc hai một ẩn
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
3. Hệ thức Viet
4. Tại sao phải tìm ∆?
5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2
6. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy
7. Bài tập tự luyện

1. Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

ax² + bx + c = 0

Trong đó a ≠ 0, a, b là hệ số, c là hằng số.

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

+ Tính: ∆ = b² – 4ac

Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\ +\sqrt{\triangle}}{2a};\ x_2=\frac{-b\ -\sqrt{\triangle}}{2a}$

Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$

Nếu ∆ < 0 thì phương trìnhax² + bx + c = 0 vô nghiệm:

+ Tính : ∆’ = b’² - ac trong đó $b'=\frac{b}{2}$ ( được gọi là công thức nghiệm thu gọn)

Nếu ∆' > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b'\ +\sqrt{\triangle'}}{a};\ x_2=\frac{-b\ -\sqrt{\triangle'}}{a}$

Nếu ∆' = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b'}{a}$

Nếu ∆' < 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm.

3. Hệ thức Viet

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)\left({ }^{*}\right)$ có 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ . Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau: thì ta có Công thức Vi-et như sau:

$\left\{\begin{array}{l} S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \\ P=x_{1} x_{2}=\frac{c}{a} \end{array},\left(S^{2}-4 P \geqslant 0\right)\right.$

Hệ thức Viet dùng để giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau liên quan đến hàm số bậc 2 và các bài toán quy về hàm số bậc 2 . Xong 3 công thức nghiệm bên trên thì chúng ta đã có thể thoải mái làm bài tập rồi. Hãy cùng đến các bài tập vận dụng ngay dưới đây.

Phân dạng bài tập sử dụng công thức delta, delta phẩy

Ứng với 3 công thức trên, chúng ta có các dạng bài tập tương ứng: Giải phương trình bậc 2 một ẩn cơ bản và biện luận nghiệm phương trình bậc 2 một ẩn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cần nắm vững công thức nghiệm delta, công thức nghiệm delta phẩy và định lý Vi-et (dùng để giải các bài toán biện luận tham số).

4. Tại sao phải tìm ∆?

Ta xét phương trình bậc 2:

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

⇔ a(x² + $\frac{b}{a}$ x) + c = 0 (rút hệ số a làm nhân tử chung)

⇔ a[x² +2. $\frac{b}{{2a}}$ .x + ${\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2}$ - ${\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2}$ ]+ c = 0 (thêm bớt các hệ số để xuất hiện hằng đẳng thức)

$⇔\ a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ -\frac{b^2}{4a}+c=0$ (biến đổi hằng đẳng thức)

$\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2}{4a}-c$ (chuyển vế)

$\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2-4ac}{4a}$ (quy đồng mẫu thức)

$\Leftrightarrow 4a^2.\left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 = b^2-4ac$ (1) (nhân chéo do a ≠ 0)

Vế phải của phương trình (1) chính là $\triangle$ mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Vì 4a²> 0 với mọi a ≠ 0 và $\left ( x+\frac{b}{2a}\right ) ^2 \ge 0$ nên vế trái luôn dương. Do đó chúng ta mới phải biện luận nghiệm của b² – 4ac.

Biện luận nghiệm của biểu thức

+ Với b² – 4ac < 0, vì vế trái của phương trình (1) lớn hơn bằng 0, vế phải của phương trình (1) nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với b² – 4ac = 0, phương trình trên trở thành:

$4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}$

Phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$ .

+ Với b² – 4ac > 0, phương trình trên trở thành:

$4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right ) ^2= b^2-4ac$

$\Leftrightarrow {\left[ {2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)} \right]^2} = {b^2} - 4ac \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = \sqrt {{b^2} - 4ac} \\ 2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = - \sqrt {{b^2} - 4ac} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ x + \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ x = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array} \right.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

$x_1 = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$ và $x_2 = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận thấy rằng b² – 4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt ∆ = b² – 4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$
Trường hợp nghiệm	Công thức nghiệm $\Delta = {b^2} - 4ac$	Công thức nghiệm thu gọn (áp dụng khi hệ số $b$ chẵn) $\Delta = b{'^2} - ac$ với $b' = \frac{b}{2}$
Phương trình vô nghiệm	$\Delta < 0$	$\Delta ' < 0$
Phương trình có nghiệm kép	$\Delta = 0$ . Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$	$\Delta ' = 0$ . Phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt	$\Delta > 0$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$	$\Delta ' > 0$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

6. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy

Bài 1: Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

$a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0;$

$b) 13852{x^2} - 14x + 1 = 0;$

Lời giải:

$a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0$

Ta có: $a = 4,\ b' = 2,\ c = 1$

Suy ra $\Delta' = {2^2} - 4.1 = 0$

Do đó phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \dfrac{ - 2}{4} = - \dfrac{1 }{ 2}.$

$b) 13852{x^2} - 14x + 1 = 0$

Ta có: $a = 13852,\ b' = - 7,\ c = 1$

Suy ra $\Delta' = {( - 7)^2} - 13852.1 = - 13803 < 0$

Do đó phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải các phương trình dưới đây:

a, x² - 5x + 4 = 0	b, 6x² + x + 5 = 0
c, 16x² - 40x + 25 = 0	d, x² - 10x + 21 = 0
e, x² - 2x - 8 = 0	f, 4x² - 5x + 1 = 0
g, x² + 3x + 16 = 0	h, 2x² + 2x + 1 = 0

Nhận xét: đây là dạng toán điển hình trong chuỗi bài tập liên quan đến phương trình bậc hai, sử dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình bậc hai.

Lời giải:

a, x² - 5x + 4 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-5)² - 4.1.4 = 25 - 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+3}{2}=4$ và $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-3}{2}=1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 4}

b, 6x² + x + 5 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 1² - 4.6.5 = 1 - 120 = - 119 < 0

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c, 16x² - 40x + 25 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép)

Ta có: ∆' = b'² – ac = (-20)² - 16.25 = 400 - 400 = 0

Phương trình đã cho có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b'}{a}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left \{ \frac{5}{4} \right \}$

d, x² - 10x + 21 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆' = b'² – ac = (-5)² - 1.21 = 25 - 21 = 4 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-5+2}{1}=-3$ và $x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-5-2}{1}=-7$

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-7; -3}

e, x² - 2x - 8 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆' = b'² – ac = (-1)² - 1.(-8) = 1 + 8 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a} =\frac{1+3}{1}=4$ và $x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{1-3}{1}=-2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 4}

f, 4x² - 5x + 1 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-5)² - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1=1$ và $x_2=\frac{1}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left \{ \frac{1}{4};1 \right \}$

g, x² + 3x + 16 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 3² - 4.1.16 = 9 - 64 = -55 < 0

Phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm.

h, $2x^2+2x+1=0$

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' < 0 nên phương trình đã cho có vô nghiệm)

Ta có: $\Delta = {b'^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = 1 - 8 = - 7 < 0$

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 3: Cho phương trình $x^2-6x+m^2-4m=0$ (1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét: đây là một dạng toán giúp các bạn học sinh ôn tập được kiến thức về cách tính công thức nghiệm của phương trình bậc hai cũng như ghi nhớ được các trường hợp nghiệm của phương trình bậc hai.

Lời giải:

a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:

$1^2-6.1+m^2-4m=0 \Leftrightarrow m^2-4m-5=0$ (2)

Xét phương trình (2)

Có $\Delta'=b'^2-ac=(-2)^2-1.(-5)=9>0$

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $m_1=5$ và $m_2=-1$

Vậy với m = 5 hoặc m = -1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

b, Xét phương trình (1) có:

$\Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9$

Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi $\Delta'=0$

$\Leftrightarrow -m^2+4m+9=0$ (2)

Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (2) có $m=2\pm \sqrt{13}$

Vậy với $m=2\pm\sqrt{13}$ thì phương trình (1) có nghiệm kép

c, Xét phương trình (1) có:

$\Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta'>0$

$\Leftrightarrow -m^2+4m+9>0$

$\Leftrightarrow 2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}$

Vậy với $2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

7. Bài tập tự luyện

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b:

(a+1) x² – 2 (a + b)x + (b- 1) = 0

Bài 2: Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m² + m +1 = 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m

Bài 3: Giả sử phương trình bậc hai x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng a² + b² là một hợp số.

Bài 4: Cho phương trình (2m – 1)x² – 2(m + 4 )x +5m + 2 = 0 (m #½)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Bài 5: Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: 2x² + (2m – 1)x +m – 1 =0

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.

Xác định m để phương trình có hai nghiệm phan biệt x₁, x₂ thỏa mãn -1 < x1 < x₂ < 1

Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂, hãy lập một hệ thức giữa x₁, x₂ không có m

Chia sẻ bởi:

Trịnh Thị Thanh

Download

Mời bạn đánh giá!

Lượt tải: 66
Lượt xem: 45.180
Dung lượng: 447 KB

Liên kết tải về

Link Download chính thức:

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 Download

Tìm thêm: Toán 9

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tài liệu tham khảo khác

Chủ đề liên quan

Mới nhất trong tuần

Bài tập Tết môn Toán lớp 9 năm 2023 - 2024
162 Ôn tập Toán 9 (Có đáp án)
Bộ đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán cấp Tỉnh, TP
40.224 50 đề thi HSG Toán 9
Tuyển tập 60 đề thi học kì 1 môn Toán lớp 9
10.559 Đề thi cuối kì 1 Toán 9 (Có đáp án)
Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
255 Ôn tập Toán 9
Cách chứng minh tam giác vuông
198 Chứng minh tam giác vuông
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác: Lý thuyết & các dạng bài tập
287 Ôn tập Hình học lớp 9
Các dạng toán về căn bậc hai
11.138 Hệ thống bài tập về căn bậc 2
Phiếu bài tập cuối tuần Toán 9
1.272 Trọn bộ bài tập cuối tuần Toán lớp 9
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn
1.777 Ôn tập Toán 9
Bộ đề thi khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán lớp 9 năm 2023 - 2024
23.713 8 Đề khảo sát chất lượng đầu năm lớp 9 (Có ma trận, đáp án)

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

1. Phương trình bậc hai một ẩn

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

3. Hệ thức Viet

4. Tại sao phải tìm ∆?

5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2

6. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy

7. Bài tập tự luyện

Download

Link Download chính thức:

Tài liệu tham khảo khác

Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Thành Phố Hồ Chí Minh

Bộ 47 đề thi vào lớp 10 môn Toán

Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng

Chủ đề liên quan

Mới nhất trong tuần

Bài tập Tết môn Toán lớp 9 năm 2023 - 2024

Bộ đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán cấp Tỉnh, TP

Tuyển tập 60 đề thi học kì 1 môn Toán lớp 9

Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Cách chứng minh tam giác vuông

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác: Lý thuyết & các dạng bài tập

Các dạng toán về căn bậc hai

Phiếu bài tập cuối tuần Toán 9

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Bộ đề thi khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán lớp 9 năm 2023 - 2024

Tài khoản

Gói thành viên

Giới thiệu

Điều khoản

Bảo mật

Liên hệ

Facebook

Twitter

DMCA