Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo trang 14, 15, 16, 17, 18

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 14, 15, 16, 17, 18.

Giải bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 1 Bài 2 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài. Đồng thời, cũng là tài liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh ôn tập Bài 2 Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Mời thầy cô và các em theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn:

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Tập 1 trang 18

Bài 1 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5.

Hướng dẫn giải:

a) \(\underset{[1;6]}{\max} f(x)=f(1)=6; \ \underset{[1;6]}{\min} f(x)=f(5)=1;\)

b) \(\underset{[-3;3]}{\max} g(x)=g(1)=7\)

\(\underset{[-3;3]}{\min} g(x)=g(-3) =g(-1)=1;\)

Bài 2

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x³ – 12x + 1 trên đoạn [−1; 3];

b) y = − x³ + 24x² – 180x + 400 trên đoạn [3; 11];

c) \(y = \frac{2x+1}{x-2}\) trên đoạn [3; 7];

d) y = sin2x trên đoạn \([0;\frac{7\pi }{12} ]\)

Hướng dẫn giải:

a) y = x³ – 12x + 1 trên đoạn [−1; 3]

Ta có: y' = 3x² - 12

y' = 0 ⇔ x = 2 (vì x ∈ [−1; 3])

y(- 1) = 12; y(2) = - 15; y(3) = - 8

Do đó \(\underset{[-1;3]}{\max} y=y(-1)=12; \ \underset{[-1;3]}{\min} y=y(2)=-15;\)

b) y = − x³ + 24x² – 180x + 400 trên đoạn [3; 11]

Ta có: y' = - 3x² + 48x - 180

y' = 0 ⇔ x = 6 hoặc x = 10

y(3) = 49; y(6) = - 32; y(10) = 0; y(11) = - 7

Do đó \(\underset{[3;11]}{\max} y=y(3)=49; \ \underset{[3;11]}{\min} y=y(6)=-32\)

c) \(y = \frac{2x+1}{x-2}\) trên đoạn [3; 7]

Ta có: \(y=-\frac{5}{\left(x-1\right)^2}<0\) với mọi x ∈ [3; 7].

Do đó \(\underset{[3;7]}{\max} y=y(3)=7; \ \underset{[3;]}{\min} y=y(7)=3\)

d) y = sin2x trên đoạn \([0;\frac{7\pi }{12} ]\)

Bài 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x³ – 3x – 4 trên nửa khoảng [−3; 2);

b) \(y = \frac{3x^{2} -4x}{x^{2} -1}\) trên khoảng (−1; +∞).

Hướng dẫn giải:

a) y = x³ – 3x – 4 trên nửa khoảng [−3; 2);

Ta có: y' = 3x² - 3x

y' = 0 ⇔ x = - 1 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có: \(\underset{[-3;2]}{\max} y=y(-1)=-2; \ \underset{[-3;2]}{\min} y=y(-3)=-22;\)

b) \(y = \frac{3x^{2} -4x}{x^{2} -1}\) trên khoảng (−1; +∞).

TXĐ: D = (−1; +∞) \ {1}

Ta có: \(y'=\frac{4x^2-6x+4}{\left(x^2-1\right)^2}>0\) với mọi x thuộc D

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

Bài 4

Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa số có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4 m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Hướng dẫn giải:

Nửa chu vi của cửa sổ là: 2 m

Gọi x (m) là chiều dài của cửa sổ. (0 < x < 2)

=> Chiều rộng của cửa sổ là: 2 - x (m)

Diện tích cửa sổ là: x(2 - x) = 2x - x² (m²)

Xét hàm số y = S(x) = 2x - x² (0 < x < 2)

Ta có: y' = 2 - 2x; y' = 0 ⇔ x = 1

Bảng biến thiên:

Vậy diện tích khung cửa sổ lớn nhất là 1m² khi x = 1, tức là khung cửa sổ có dạng hình vuông cạnh 1m.

Bài 5

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

\(y = 2\sqrt{1-x^{2} } +x^{2}\)

Hướng dẫn giải:

\(y = 2\sqrt{1-x^{2} } +x^{2}\)

Tập xác định: [- 1; 1]

Ta có: \(y'=2x-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}\); y' = 0 ⇔ x = 0

y(- 1) = 1; y(0) = 2; y(1) = 1

Do đó \(\underset{[-1;1]}{\max} y=y(0)=2; \ \underset{[-1;1]}{\min} y=y(-1)=y(1)=1\).

Bài 6

Khối lượng q (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán p (nghìn đồng/kg) theo công thức \(p=15-\frac{1}{2}q\). Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức R = pq.

a) Viết công thức biểu diễn R theo p.

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(p=15-\frac{1}{2}q\) ⇒ q = 30 - 2p

Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm là:

\(R = pq = p(30 - 2p) = 30p - 2p^2\)

b) Xét hàm số \(y = R(p) = 30p - 2p^2\)

Tập xác định của hàm số: \((0; +\infty)\)

Ta có: y' = 30 - 4p; y' = 0 ⇔ \(p=\frac{15}{2}\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Vậy cửa tiệm đạt doanh thu cao nhất là \(\frac{225}{2}\) nghìn đồng nếu giá bán là \(\frac{15}{2}\) nghìn đồng/kg.

Bài 7

Hộp sữa 1 l được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Đổi 1 lít = 1 000 cm³.

Diện tích đáy là: S_đáy = x² (cm²)

Thể tích hộp sữa: V = S_đáy . h = 1 000 (cm³)

⇒ \(h=\frac{1\ 000}{x^2}\) (cm)

Diện tích toàn phần của hộp sữa là:

\(2x^2+4xh=2x^2+\frac{4\ 000}{x}\) (cm²)

Xét hàm số \(y = S(x) = 2x^2+\frac{4\ 000}{x}\) với x > 0.

Ta có: \(y'=4x-\frac{4\ 000}{x^2}\)

y' = 0 ⇔ x = 10 (vì x > 0)

Lập bảng biến thiên của hàm số y = S(x):

Vậy để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất thì đáy là hình vuông cạnh 10 cm.