Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số Giải SGK Toán 10 trang 58, 59 - Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Toán 10 Bài 9 Kết nối tri thức trang 58, 59 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần luyện tập và 5 bài tập trong SGK bài Tích của một vectơ với một số thuộc chương 4 Vectơ.

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9 trang 58, 59 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 Bài 9 Kết nối tri thức là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Luyện tập Toán 10 Bài 9 Kết nối tri thức

Luyện tập 2

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có:

\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3.\overrightarrow {OG}\)

Gợi ý đáp án

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

\(\begin{matrix} \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \hfill \\ = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} \hfill \\ = 3\overrightarrow {OG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) \hfill \\ \end{matrix}\)

Do G là trọng tâm tam giác ABC => \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0\)

=> \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3.\overrightarrow {OG}\)

Luyện tập 3

Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto \(\overrightarrow u ;\overrightarrow v\) theo hai vecto \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b\) , tức là tìm các số x, y, z, t để \(\overrightarrow u = x.\overrightarrow a + y\overrightarrow b ;\overrightarrow v = t\overrightarrow a + z\overrightarrow b\)

Gợi ý đáp án

Hình vẽ minh họa:

Xét hình bình hành OABC ta có:

\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ;\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow b ;\overrightarrow {OB} = \overrightarrow u\)

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow u = \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + 2.\overrightarrow b\)(Quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OMNP ta có:

\(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow v ;\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow b ;\overrightarrow {OP} = - 2\overrightarrow a\)

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow v = \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} = 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow a = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b\)

Vậy \(\overrightarrow u = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b ;\overrightarrow v = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b\)

Giải Toán 10 trang 58, 59 Kết nối tri thức tập 1

Bài 4.11 trang 58

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị \(\overrightarrow {AM}\)theo hai vecto \(\overrightarrow {AB}\)và \(\overrightarrow {AD} .\)

Gợi ý đáp án

Học sinh tự vẽ hình

Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD tại E.

Khi đó tứ giác ABME là hình bình hành.

Do đó: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} .\)

Dễ thấy: \(AE = BM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}\)

Vậy \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}\)

Bài 4.12 trang 58

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .\)

Gợi ý đáp án

Ta có:

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN}\)

Mặt khác: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \end{array}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \\\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN} } \right) + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .\)

Bài 4.13 trang 58

Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 .\)

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .\)

Gợi ý đáp án

a)

Ta có: \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 .\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {KA} = - 2\overrightarrow {KB}\)

Suy ra vectơ \(\overrightarrow {KA} và vecto\;\overrightarrow {KB}\) cùng phương, ngược chiều và KA = 2.KB

\Rightarrow K,A,Bthẳng hàng, K nằm giữa A và B thỏa mãn: KA = 2.KB

Bài 4.14 trang 58

Cho tam giác ABC

a) Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0\)

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM}\)

Gợi ý đáp án

a) Ta có: 

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho \(AD = \frac{1}{4}AB;\;\,AE = \frac{1}{2}AC\)

Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE}\)hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.

Bài 4.15 trang 59

Chất điểm A chịu tác động của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}}\) như hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là \(\overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}} + \;\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 )\). Tính độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}} biết \overrightarrow {{F_1}}\) có độ lớn là 20N.

Gợi ý đáp án

Bước 1: Đặt \(\overrightarrow u = \overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}}\). Ta xác định các điểm như hình dưới.

Dễ dàng xác định điểm C, là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD. Do đó vecto \(\overrightarrow u\) chính là vectơ \(\overrightarrow {AC}\)

Vì chất điểm A ở trang thái cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}} + \;\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0\)hay \(\;\overrightarrow u + \;\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0\)

\(\Leftrightarrow \;\overrightarrow u và \;\overrightarrow {{F_3}}\) là hai vecto đối nhau.

\(\Leftrightarrow A\) là trung điểm của EC.

Bước 2:

Ta có:\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = AD = 20,\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = AB,\;\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = AC.\)

Do A, C, E thẳng hàng nên \(\widehat {CAB} = {180^o} - \widehat {EAB} = {60^o}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {CAD} = {90^o} - {60^o} = {30^o}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \frac{{AD}}{{\cos {{30}^o}}} = \frac{{40\sqrt 3 }}{3};\;\\AB = DC = AC.\sin {30^o} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{20\sqrt 3 }}{3},\;\;\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}.\)

Lý thuyết Tích của một vectơ với một số

1. Tích của vecto với một số

+) Tích của một vecto \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0\)với một số thực k là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a\).

+) Vecto \(k\overrightarrow a\)có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và

Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a\)nếu k > 0

Ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a\)nếu k < 0

+) Quy ước: \(k\overrightarrow a  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \\k = 0\end{array} \right.\)

  Nhận xét: Hai vecto \(\overrightarrow a\)và \(\overrightarrow b\)cùng phương khi và chỉ khi tồn tại k để \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b .\)

2. Các tính chất của phép nhân vecto với 1 số

+) Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b\)và hai số thực k,t ta luôn có:

\(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a k + t)\,\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a  = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a  =  - \,\overrightarrow a \end{array}\)

+) Nhận xét:

I là trung điểm của \(AB \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0\)

G là trọng tâm \(\Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0\)