Bài tập Bình phương của một tổng Hằng đẳng thức số 1

Bài tập bình phương của một tổng bao gồm nhiều dạng câu hỏi khác nhau có đáp án giải chi tiết kèm theo bài tự luyện. Qua đó các bạn học sinh lớp 8 củng cố và mở rộng kiến thức giải toán về hằng đẳng thức của mình tiến bộ hơn.

Bình phương của một tổng là tài liệu vô cùng hữu ích, các em học sinh sẽ được thử sức với các dạng bài tập trắc nghiệm kết hợp tự luận từ cơ bản đến nâng cao. Qua tài liệu này giúp các em tự tin kiểm tra và nắm vững kiến thức mình đã học ở chương trình về hằng đẳng thức đáng nhớ. Vậy sau đây là trọn bộ tài liệu bài tập về bình phương của một tổng mời các bạn cùng theo dõi tại đây. Bên cạnh đó để nâng cao kiến thức Toán 8 các bạn xem thêm bài tập toán nâng cao lớp 8, bài tập hiệu hai bình phương.

1. Bình phương của một tổng

Với A, B là một biểu thức hoặc một số tuỳ ý, ta có:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

Ví dụ 1 : Khai triển biểu thức sau: (2x + 3)²

(2x + 3)² = (2x)² + 2 . 2x . 3 + 3² = 4x² + 12x + 9.

Ví dụ 2 : Viết biểu thức 9x² + 24x + 16 dưới dạng bình phương của một tổng.

 9x² + 24x + 16 = (3x)² + 2 . 3x . 4 + 4² = (3x + 4)²

2. Hằng đẳng thức

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhất nhân với số thứ hai rồi cộng với bình phương của số thứ hai.

Mở rộng

Với A, B, C là một biểu thức hoặc một số tuỳ ý, ta có:

(A + B + C)² = A² + B² + C² + 2AB + 2BC + 2AC

(Công thức này được chứng minh trong phần bài tập vận dụng)

3. Các dạng bài tập về bình phương của một tổng

Dạng 1: Khai triển biểu thức cho trước

*Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định các biểu thức
• Bước 2: Liên hệ sử dụng hằng đẳng thức phù hợp;
• Bước 3: Sử dụng tính chất của luỹ thừa để khai thác biểu thức.

Bài tập vận dụng: Khai triển các biểu thức sau:

a) (x + 5)²

b) (2x + 4)²

Hướng dẫn

a) (x + 5)² = x² + 2 . x. 5 + 5² = x² + 10x + 25

b) (2x + 4)² = (2x)² + 2 . 2x . 4 + 4² = 4x² + 16x + 16

Dạng 2: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng

*Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định các biểu thức ;
• Bước 2: Liên hệ sử dụng công thức bình phương của một tổng.

Bài tập vận dụng

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng.

a) x² + 2x + 1

b) 4x² + 4x + 1

Hướng dẫn giải

a) x² + 2x + 1 = x² + 2 . x . 1 + 1² = (x + 1)²

b) 4x² + 4x + 1 = (2x)² + 2 . 2x . 1 + 1² = (2x + 1)²

Dạng 3: Tính nhanh

*Phương pháp giải:

• Bước 1: Tách số (hoặc các hạng tử) thành tổng các số một cách hợp lí, thông thường sẽ tách thành tổng của các số tròn chục, tròn trăm;
• Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng;
• Bước 3: Tính.

Bài tập vận dụng

Tính nhanh:

a) 101²

b) 301²

c) 275² + 2.275.25 + 25²

d) 128² + 2.128.22 + 22²

Hướng dẫn giải

a) 101 ² = (100 + 1) ² = 100 ² + 2.100.1 + 1 ² = 10000 + 200 + 1 = 10201

b) 301² = (300 + 1)² = 300² + 2.300.1 + 1² = 90000 + 600 + 1 = 90601

c) 275² + 2.275.25 + 25² = (275 + 25)² = 300² = 90000

d) 128 ² + 2.128.22 + 22 ² = (128 + 22) ² = 150 ² = 22500

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức

*Phương pháp giải:

Vận dụng một cách linh hoạt hằng đẳng thức bình phương của một tổng để biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi đồng thời cả hai vế cùng bằng một biểu thức.

Bài tập vận dụng

Chứng minh rằng: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac.

Hướng dẫn giải 

Ta có: (a + b + c)²

= [(a + b) + c]²

= (a + b)² + 2(a + b)c + c²

= a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

Vậy (a + b + c) ² = a ² + b ² + c ² + 2ab + 2bc + 2ac.

4. Bài tập bình phương của một tổng (Có đáp án)

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:

Gợi ý đáp án

a) x² + 8x + 16 = x² + 2.4x + 4² = (x + 4)²

b) 9x² + 12x + 4 = (3x)² + 2.3x.2 + 2² = (3x + 2)²

Bài 2: Thực hiện phép tính:

Gợi ý đáp án

a) (3x+ 2y)² = (3x)² + 2.3x.2y + (2y)² = 9x² + 12xy + 4y²

b) (x + xy)² = x² + 2.x.xy + (xy)² = x² + 2x2²y + x²y²

c) (1 + 3a)² = 1² + 2.1.3a + (3a)² = 1 + 6a + 9a²

d) (a + 2b)² + (2a + b)² = a² + 2.a.2b + (2b)² + (2a)² + 2.2a.b + b²

= a² + 4ab + 4b² + 4a² + 4ab + b²

= 5a² + 8ab + 5b²

Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức A = 16x² + 24x + 9 tại x = 1

Gợi ý đáp án

Ta có: A = 16x² + 24x + 9 = (4x)² + 2.4x.3 + 3² = (4x + 3)²(*)

Thay x = 1 vào biểu thức (*) ta được:

A = (4.1 + 3)² = 7² = 49

Vậy tại x = 1 biểu thức A có giá trị bằng 49

5. Bài tập bình phương của một tổng (Tự luyện)

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:

Bài 2: Thu gọn các biểu thức sau:

a) (2x + 1)² + 2(2x + 1) + 1

b) (3x – 2y)² + 4(3x – 2y) + 4

c) (x + 3)² + (x + 2)² + 2(x + 3)(x + 2)

d) 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²

e) (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x – y + z)(y – z)

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:

a) A = (2x + 3)² – (2x + 1)² – 6x tại x = 201

b) B = (2x + 5)² – 4(x + 3)(x – 3) tại \(x=\frac{1}{20}\)

c) C = x² + 8xy + 16y² tại x + 4y = 5

Bài 4. Tìm x, biết:

a) (2x + 1)² – (4x² – 1) = 0

b) (x + 2)² – x(x – 3) = 0

c) (x + 1)² + x(4 – x) = 13

d) (2x + 1)² – 4x(x + 1) = 17

e) (3x + 1)² – 9x(x – 2) = 25