Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8 Ôn thi học sinh giỏi lớp 8 môn Toán

Ví dụ 1: \(x(x+4)(x+6)(x+10)+128=[x(x+10)][(x+4)(x+6)]+128\)

\(=(x^2+10x)(x^2+10x+24)+128\)

Đặt \(x^2+10x+12=y\), đa thức có dạng

\((y-12)(y+12)+128=y^2-144+128=y^2-16=(y+4)(y-4)\)\(=(x^2+10x+8)(x^2+10x+16)=(x+2)(x+8)(x^2+10x+8)\)

Ví dụ 2: \(A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1\)

Giả sử x ≠ 0 ta viết

\(x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1=x^{2}\left(x^{2}+6 x+7-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)\)\(=x^{2}\left[\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+6\left(x-\frac{1}{x}\right)+7\right]\)

\(\text { Đặt } x-\frac{1}{x}=y \text { thì } x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=y^{2}+2, \text { do dó }\)

\(\mathrm{A}=\mathrm{x}^{2}\left(\mathrm{y}^{2}+2+6 \mathrm{y}+7\right)=\mathrm{x}^{2}(\mathrm{y}+3)^{2}=(\mathrm{xy}+3 \mathrm{x})^{2}\)\(=\left[\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{2}+3 \mathrm{x}\right]^{2}=\left(\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x}-1\right)^{2}\)

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

\(A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1=x^{4}+\left(6 x^{3}-2 x^{2}\right)+\left(9 x^{2}-6 x+1\right)\)

\(=x^{4}+2 x^{2}(3 x-1)+(3 x-1)^{2}=\left(x^{2}+3 x-1\right)^{2}\)

Ví dụ 3: \(A=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x+y+z)^{2}+(x y+y z+z x)^{2}\)

\(=\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+2(x y+y z+z x)\right]\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+(x y+y z+z x)^{2}\)

Đặt \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=a, x y+y z+z x=b \operatorname{ta} c ó\)

\(A=a(a+2 b)+b^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+x y+y z+z x\right)^{2}\)

Ví dụ 4:\(\mathrm{B}=2\left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right)-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}-2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x+y+z)^{2}+(x+y+z)^{4}\)

Đặt \(x^{4}+y^{4}+z^{4}=a, x^{2}+y^{2}+z^{2}=b, x+y+z=c \operatorname{ta} c ó\)

\(\mathrm{B}=2 \mathrm{a}-\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{bc}^{2}+\mathrm{c}^{4}=2 \mathrm{a}-2 \mathrm{b}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{bc}^{2}+\mathrm{c}^{4}=2\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}^{2}\right)+\left(\mathrm{b}-\mathrm{c}^{2}\right)^{2}\)

Ta lại có: \(a-b^{2}=-2\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right) \text { và } b-c^{2}=-2(x y+y z+z x)\) Do đó;

\(\mathrm{B}=-4\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right)+4(\mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx})^{2}\)

\(=-4 x^{2} y^{2}-4 y^{2} z^{2}-4 z^{2} x^{2}+4 x^{2} y^{2}+4 y^{2} z^{2}+4 z^{2} x^{2}+8 x^{2} y z+8 x y^{2} z+8 x y z^{2}\)\(=8 x y z(x+y+z)\)

Ví dụ 5: \((a+b+c)^{3}-4\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)-12 a b c\)

Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m² – n²

^{\(a^{3}+b^{3}=(a+b)\left[(a-b)^{2}+a b\right]=m\left(n^{2}+\frac{m^{2}-n^{2}}{4}\right)\)}. Ta có:

\(C=(m+c)^{3}-4 \cdot \frac{m^{3}+3 m n^{2}}{4}-4 c^{3}-3 c\left(m^{2}-n^{2}\right)\)\(=3\left(-c^{3}+m c^{2}-m n^{2}+c n^{2}\right)\)

\(=3\left[\mathrm{c}^{2}(\mathrm{m}-\mathrm{c})-\mathrm{n}^{2}(\mathrm{m}-\mathrm{c})\right]=3(\mathrm{m}-\mathrm{c})(\mathrm{c}-\mathrm{n})(\mathrm{c}+\mathrm{n})\)\(=3(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{c}+\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{c}-\mathrm{a}+\mathrm{b})\)

III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:

Ví dụ 1: \(x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-14 x+3\)

Nhận xét: các số ±1, ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

\(\left(x^{2}+a x+b\right)\left(x^{2}+c x+d\right)=x^{4}+(a+c) x^{3}+(a c+b+d) x^{2}+(a d+b c) x+b d\)

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: \(\left\{\begin{array}{l} a+c=-6 \\ a c+b+d=12 \\ a d+b c=-14 \\ b d=3 \end{array}\right.\)

..............