Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo trang 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41

Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41 là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 11 tham khảo.

Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5 Phương trình lượng giác cơ bản được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 40, 41. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 40, 41 mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

I. Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 trang 40, 41

Bài 1

Giải các phương trình lượng giác sau:$a)$ $\sin 2x={\displaystyle \frac{1}{2}}$;$b)$ $\sin \left(x–{\displaystyle \frac{\pi }{7}}\right)=\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$;$c)$ $\sin 4x–\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=0$.

Gợi ý đáp án

$a)$ $\sin 2x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\iff [\begin{array}{c}2x={\displaystyle \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\\ 2x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}\\ x={\displaystyle \frac{5\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\pi }{12}+k\pi ;{\displaystyle \frac{5\pi }{12}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\right\}$

$b)$ $\sin \left(x–{\displaystyle \frac{\pi }{7}}\right)=\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$

$\iff \begin{array}{}\text{(1)}& [\begin{array}{}x–{\displaystyle \frac{\pi }{7}={\displaystyle \frac{2\pi }{7}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}}\\ x–{\displaystyle \frac{\pi }{7}=\pi –{\displaystyle \frac{2\pi }{7}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\end{array}$

$\iff \begin{array}{}\text{(2)}& [\begin{array}{}x={\displaystyle \frac{3\pi }{7}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\\ x={\displaystyle \frac{6\pi }{7}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3\pi }{7}+k2\pi ;{\displaystyle \frac{6\pi }{7}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\right\}$

$c)$ $\sin 4x–\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=0$

$\iff \sin 4x=\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$

$\iff \sin 4x=\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}–x–{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}\right)$

$\iff \sin 4x=\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}–x}\right)$

$\iff \begin{array}{}\text{(3)}& [\begin{array}{l}4x={\displaystyle \frac{\pi }{3}–x+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\\ 4x=\pi –\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}–x}\right)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}\end{array}$

$\iff \begin{array}{}\text{(4)}& [\begin{array}{}x={\displaystyle \frac{\pi }{15}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}}}\\ x={\displaystyle \frac{2\pi }{9}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\pi }{15}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{5};{\displaystyle \frac{2\pi }{9}+k{\displaystyle \frac{2\pi }{3};k\in \mathbb{Z}}}}}\end{array}\right\}$

Bài 2

Giải các phương trình lượng giác sau:$a)$ $\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$;$b)$ $\cos 4x=\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$;$c)$ ${\cos }^{2}x=1$.

Gợi ý đáp án

$a)$ $\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\iff \begin{array}{}\text{(5)}& [\begin{array}{}x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}={\displaystyle \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}}\\ x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}=–{\displaystyle \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\end{array}$

$\iff \begin{array}{}\text{(6)}& [\begin{array}{}x=–{\displaystyle \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\\ x=–{\displaystyle \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\begin{array}{c}–{\displaystyle \frac{\pi }{6}+k2\pi ;–{\displaystyle \frac{\pi }{2}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\right\}$

$b)$ $\cos 4x=\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$

$\iff \begin{array}{}\text{(7)}& [\begin{array}{}4x={\displaystyle \frac{5\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\\ 4x=–{\displaystyle \frac{5\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\end{array}\end{array}$

$\iff \begin{array}{}\text{(8)}& [\begin{array}{}x={\displaystyle \frac{5\pi }{48}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}}}\\ x=–{\displaystyle \frac{5\pi }{48}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{\begin{array}{c}\pm {\displaystyle \frac{5\pi }{48}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2};k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\right\}$

$c)$ ${\cos }^{2}x=1$

$\iff \begin{array}{}\text{(9)}& [\begin{array}{}\cos x=1\\ \cos x=–1\end{array}\end{array}$

$\iff \begin{array}{}\text{(10)}& [\begin{array}{}x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}\end{array}$

$\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$.

Bài 3

Giải các phương trình lượng giác sau:$a)$ $\tan x=\tan {55}^o$;$b)$ $\tan (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=0$.

Gợi ý đáp án

$a)$ $\tan x=\tan {55}^o$

$\iff x={55}^o+k{.180}^o,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{{55}^o+k{.180}^o,k\in \mathbb{Z}\}$

$b)$ $\tan (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=0$

$\iff 2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}=k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$

$\iff x=–{\displaystyle \frac{\pi }{8}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}}}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left\{\begin{array}{c}–{\displaystyle \frac{\pi }{8}+k{\displaystyle \frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\right\}$

Bài 4

Giải các phương trình lượng giác sau:$a)$ $\cot \left({\displaystyle \frac{1}{2}x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}\right)=–1$;$b)$ $\cot 3x=–{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$.

Gợi ý đáp án

$a)$ $\cot \left({\displaystyle \frac{1}{2}x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}\right)=–1$

$\iff {\displaystyle \frac{1}{2}x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}+k\pi }}}$

$\iff x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$

$b)$ $\cot 3x=–{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

$\iff 3x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$

$\iff x={\displaystyle \frac{2\pi }{9}+k{\displaystyle \frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}}}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2\pi }{9}+k{\displaystyle \frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\right\}$

Bài 5

Tại các giá trị nào của $x$ thì đồ thị hàm số $y=\cos x$ và $y=\sin x$ giao nhau?

Gợi ý đáp án

Đồ thị hàm số $y=\cos x$ và $y=\sin x$ giao nhau khi và chỉ khi phương trình $\cos x=\sin x$ có nghiệm $x$ thỏa mãn.

Ta thấy $\sin x$ và $\cos x$ không đồng thời bằng $0$ nên xét với $\cos x\ne 0$, chia cả hai vế của phương trình cho $\cos x$ ta được:

${\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}=1}$

$\iff \tan x=1$

$\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}+k\pi \text{ với }k\in \mathbb{Z}}$

Vậy tại các giá trị $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}+k\pi \text{ với }k\in \mathbb{Z}}$ thì đồ thị hàm số $y=\cos x$ và $y=\sin x$ giao nhau.

Bài 6

Trong Hình $9$, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm $O$ và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật $A$ gắn ở đầu của lò xo dao động quanh $O$. Toạ độ $s$ (cm) của $A$ trên trục $Ox$ vào thời điểm $t$ (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức $s=10\sin (10t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$. Vào các thời điểm nào thì $s=–5\sqrt{3}$ cm?

Gợi ý đáp án

Trong Hình $9$, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm $O$ và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật $A$ gắn ở đầu của lò xo dao động quanh $O$. Toạ độ $s$ (cm) của $A$ trên trục $Ox$ vào thời điểm $t$ (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức $s=10\sin (10t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$. Vào các thời điểm nào thì $s=–5\sqrt{3}$ cm?

Gợi ý đáp án

Ta có: $s=–5\sqrt{3}$

$\iff 10\sin (10t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=–5\sqrt{3}$

$\iff \sin (10t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=–{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\iff \begin{array}{}\text{(11)}& [\begin{array}{l}10t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}=–{\displaystyle \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}}\\ 10t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}=\pi –\left(–{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\end{array}\end{array}$

$\iff \begin{array}{}\text{(12)}& [\begin{array}{}10t=–{\displaystyle \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\\ 10t={\displaystyle \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}}\end{array}\end{array}$

$\iff \begin{array}{}\text{(13)}& [\begin{array}{}t=–{\displaystyle \frac{\pi }{12}+k{\displaystyle \frac{\pi }{5},k\in \mathbb{Z}}}\\ t={\displaystyle \frac{\pi }{12}+k{\displaystyle \frac{\pi }{5},k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\end{array}$

Vậy vào các thời điểm $t=–{\displaystyle \frac{\pi }{12}+k{\displaystyle \frac{\pi }{5}}}$ ($k\ge 1,k\in \mathbb{Z}$) hoặc $t={\displaystyle \frac{\pi }{12}+k{\displaystyle \frac{\pi }{5}}}$($k\ge 0,k\in \mathbb{Z}$) thì $s=–5\sqrt{3}$ cm.

Bài 7

Trong Hình $10$, ngọn đèn trên hải đăng $H$ cách bờ biển $y{y}^{\prime }$ một khoảng $HO=1$ km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$ rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm $M$ mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ.

$a)$ Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng $HO$. Viết hàm số biểu thị tọa độ $y_M$ của điểm $M$ trên trục $Oy$ theo thời gian $t$.$b)$ Ngôi nhà $N$ nằm trên bờ biển với tọa độ $y_N=–1$ (km). Xác định các thời điểm $t$ mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Gợi ý đáp án

$a)$ Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$ rad/s tức là mỗi giây đèn xoay được một góc ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$ rad.

$\Rightarrow$ Sau $t$ giây đèn xoay được góc $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{10}t}$ rad.

Xét tam giác vuông $MOH$ ta có:

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{OM}{OH}={\displaystyle \frac{OM}{1}=OM}}$

Suy ra $y_M=OM=\tan \alpha =\tan \left({\displaystyle \frac{\pi }{10}t}\right)$

$b)$ Khi đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà thì điểm $M$ trùng với điểm $N$ và $y_M=y_N=–1$.

Ta có: $y_N=–1$

$\iff \tan \left({\displaystyle \frac{\pi }{10}t}\right)=–1$

$\iff \begin{array}{}\text{(14)}& [\begin{array}{}{\displaystyle \frac{\pi }{10}t={\displaystyle \frac{–\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}(\text{ Loại vì đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ })}}\\ {\displaystyle \frac{\pi }{10}t={\displaystyle \frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}}\end{array}\end{array}$

$\iff t={\displaystyle \frac{15}{2}+10k\text{ với }k\in \mathbb{Z}}$

Vậy vào các thời điểm $t={\displaystyle \frac{15}{2}+10k\text{ với }k\ge –{\displaystyle \frac{3}{4},k\in \mathbb{Z}}}$ thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

II. Luyện tập Phương trình lượng giác cơ bản