Cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn Chứng minh tiếp tuyến

Cách chứng minh tiếp tuyến đường tròn là một trong những kiến thức quan trọng giúp các em học sinh lớp 9 giải được các dạng bài tập Hình học. Vậy dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn là gì, cách chứng minh tiếp tuyến đường tròn như thế nào? Mời các em học sinh hãy cùng Download.vn theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn bao gồm dấu hiệu nhận biết, cách chứng minh, ví dụ minh họa kèm theo một số bài tập có đáp án giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm công thức tính chu vi hình chữ nhật, công thức tính diện tích hình vuông.

1. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn

• Dấu hiệu 1: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
• Dấu hiệu 2: Theo định nghĩa tiếp tuyến đường thẳng vuông góc với bán kính của đường tròn tạo một điểm thuộc đường tròn, điểm này gọi là tiếp điểm.

2. Cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn

- Cách 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với bán kính của đường tròn.

- Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng d bằng bán kính R của đường tròn.

- Cách 3: Chứng minh hệ thức MA² = MB.MC thì MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

3. Ví dụ chứng minh tiếp tuyến của đường tròn

Ví dụ 1 : Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA² = MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

Vì MA² = MB.MC ⇒

Xét ΔMAC và ΔMBA có

: góc chung

⇒ ΔMAC ∼ ΔMBA (c.g.c)

 (1)

Kẻ đường kính AD của (O)

Ta có  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

Mà  (chứng minh trên)

Suy ra   (3)

Lại có =90^o  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=  90^o (4)

Từ (3) và (4) suy ra = 90^o hay = 90^o

⇒ OA ⊥ MA

Do A ∈ (O)

⇒ MA là tiếp tuyến của (O).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, cắt AB,AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AI. Chứng minh MF là tiếp tuyến của (O).

Gợi ý đáp án

Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BF ⊥ AC , CE ⊥ AB

Xét tam giác ABC, có BF ∩ CE = {I}

⇒ I là trực tâm tam giác ABC

Gọi H là giao điểm của AI với BC

⇒ AH ⊥ BC tại H

Xét tam giác AFI vuông tại F, có M là trung điểm của AI

⇒ FM = MA = MI

⇒ ΔFMA cân tại M

(hai góc ở đáy) (1)

Xét tam giác OFC, có OF = OC

⇒ FOC cân tại O

⇒   (hai góc ở đáy) (2)

Xét tam giác AHC vuông tại H, có: = 90^o (hai góc phụ nhau)(3)

Từ (1), (2) và (3)  = 90^O

Mà = 90^O

⇒ MF ⊥ OF

Vậy MF là tiếp tuyến của (O).

4. Bài tập tự luyện chứng minh tiếp tuyến

Bài tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A va B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng BM cắt OD tại F.

a) Chứng minh

b) Tứ giác MEOF là hình gì?

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Bài tập 2: Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Qua M vẽ tiếp tuyến xy và gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên xy. Xác định vị trí của điểm M trên (O) sao cho diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10cm và Bx là tiếp tuyến của (O). Gọi C là một điểm trên (O) sao cho và E là giao điểm của các tia AC và Bx.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, CE và BC.

b) Tính độ dài đoạn thẳng BE.

Bài tập 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M thuộc (O) sao cho MA < MB. Vẽ dây MN vuông góc với AB tại H. Đường thẳng AN cắt BM tại C. Đường thẳng qua C vuông góc với AB tại K và cắt BN tại D.

a) Chứng minh bốn điểm A, M, C, K thuộc cùng một đường tròn.

b) Chứng minh BK là tia phân giác của góc MBN.

c) Chứng minh tam giác KMC cân và KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Tìm vị trí của M trên (O) để tứ giác MNKC trở thành hình thoi.