Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9 Toán nâng cao lớp 9

Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9 là tài liệu luyện thi không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 9 chuẩn thi thi học sinh giỏi và thi vào 10. Tài liệu bao gồm các dạng bài trắc nghiệm Đại số và Hình học trọng tâm trong chương trình Toán 9.

270 Bài toán nâng cao lớp 9 được biên soạn khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực khá đến giỏi. Với mỗi chủ đề bao gồm nhiều dạng bài tập tổng hợp với nhiều ý hỏi, phủ kín các dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản.

270 Bài toán nâng cao lớp 9 Có đáp án

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.

Câu 4.

a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.

Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|

Câu 9.

a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

Câu 11. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) |2x – 3| = |1 – x|

b) x2 – 4x ≤ 5

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

Câu 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

Câu 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

Câu 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A=\frac{1}{x^{2}-4 x+9}

Câu 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):

a) \sqrt{7}+\sqrt{15} và 7

b) \sqrt{17}+\sqrt{5}+1 và \sqrt{45}

c) \frac{23-2 \sqrt{19}}{3} và \sqrt{27}

d) \sqrt{3 \sqrt{2}} và \sqrt{2 \sqrt{3}}

Câu 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn \sqrt{2} nhưng nhỏ hơn \sqrt{3}

Câu 19. Giải phương trình: \sqrt{3 x^{2}+6 x+7}+\sqrt{5 x^{2}+10 x+21}=5-2 x-x^{2}.

Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=x^{2} y với các điều kiện x, y>0 và 2 x+x y=4.

Câu 21. Cho

S=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+\ldots .+\frac{1}{\sqrt{k(1998-k+1)}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1998-1}}.

Hãy so sánh S và 2 \cdot \frac{1998}{1999}.

Câu 22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.

Câu 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng:

Câu 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ:

Câu 25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?

Câu 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng:

Câu 27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng:

Câu 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Câu 29. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).

Câu 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.

Câu 31. Chứng minh rằng: [x] + [y] ≤ [x + y].

Câu 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của: với x, y, z > 0.

Câu 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4.

Câu 35. Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.

Câu 36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:

a) ab và a/b là số vô tỉ.

b) a + b và a/b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

Câu 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:

Câu 39. Chứng minh rằng [2x] bằng 2[x] hoặc 2[x] + 1

Câu 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.

Câu 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:

M=\sqrt{x^{2}+4 x+4}+\sqrt{x^{2}-6 x+9}.

c) Giải phương trình: \sqrt{4 x^{2}+20 x+25}+\sqrt{x^{2}-8 x+16}=\sqrt{x^{2}+18 x+81}

Câu 43. Giải phương trình: 2 x^{2}-8 x-3 \sqrt{x^{2}-4 x-5}=12.

Câu 44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:

A=\sqrt{x^{2}+x+2} \quad B=\frac{1}{\sqrt{1-3 x}} \quad C=2-\sqrt{1-9 x^{2}} \quad D=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-5 x+6}}

Câu 45. Giải phương trình:\frac{x^{2}-3 x}{\sqrt{x-3}}=0

46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :\mathrm{A}=\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{x}.

47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B=\sqrt{3-x}+x

48. So sánh:

a) \mathrm{a}=\sqrt{2+\sqrt{3}} và \mathrm{b}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}

b) \sqrt{5-\sqrt{13+4 \sqrt{3}}} và \sqrt{3}-1

c) \sqrt{\mathrm{n}+2}-\sqrt{\mathrm{n}+1}\sqrt{\mathrm{n}+1}-\sqrt{\mathrm{n}} (n là số nguyên dương)

49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : \mathrm{A}=1-\sqrt{1-6 \mathrm{x}+9 \mathrm{x}^{2}}+(3 \mathrm{x}-1)^{2}.

50. Tính:

a) \sqrt{4-2 \sqrt{3}}

b) \sqrt{11+6 \sqrt{2}}

c) \sqrt{27-10 \sqrt{2}}

d) \mathrm{A}=\sqrt{\mathrm{m}^{2}+8 \mathrm{~m}+16}+\sqrt{\mathrm{m}^{2}-8 \mathrm{~m}+16}

e) B=\sqrt{n+2 \sqrt{n-1}}+\sqrt{n-2 \sqrt{n-1}} \quad(n \geq 1)

51. Rút gọn biểu thức : M=\frac{8 \sqrt{41}}{\sqrt{45+4 \sqrt{41}}+\sqrt{45-4 \sqrt{41}}}.

52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2 \mathrm{x}-\mathrm{y})^{2}+(\mathrm{y}-2)^{2}+\sqrt{(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})^{2}}=0

53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :\mathrm{P}=\sqrt{25 \mathrm{x}^{2}-20 \mathrm{x}+4}+\sqrt{25 \mathrm{x}^{2}-30 \mathrm{x}+9}.

54. Giải các phương trình sau :

a) \sqrt{x^{2}-x-2}-\sqrt{x-2}=0

b) \sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}+1=\mathrm{x}^{2}

c) \sqrt{x^{2}-x}+\sqrt{x^{2}+x-2}=0

d) x-\sqrt{x^{4}-2 x^{2}+1}=1

e) \sqrt{x^{2}+4 x+4}+|x-4|=0

g) \sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}=-5

h) \sqrt{\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+1}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{x}+9}=1

i) \sqrt{\mathrm{x}+5}+\sqrt{2-\mathrm{x}}=\mathrm{x}^{2}-25

k) \sqrt{\mathrm{x}+3-4 \sqrt{\mathrm{x}-1}}+\sqrt{\mathrm{x}+8-6 \sqrt{\mathrm{x}-1}}=1

1) \sqrt{8 x+1}+\sqrt{3 x-5}=\sqrt{7 x+4}+\sqrt{2 x-2}

55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện :x y=1 và x>y. CMR: \frac{x^{2}+y^{2}}{2} \geq 2 \sqrt{2}.

.........................

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm Toán 9 nâng cao

Chia sẻ bởi: 👨 Trịnh Thị Thanh
85
  • Lượt tải: 10.291
  • Lượt xem: 22.605
  • Phát hành:
  • Dung lượng: 821,3 KB
Liên kết tải về
Tìm thêm: Toán 9
Sắp xếp theo