Bài tập bất đẳng thức lớp 9 (Có đáp án) Các dạng bài tập về bất đẳng thức

Tải về Bình luận

Bài tập bất đẳng thức lớp 9 thuộc dạng toán cơ bản trọng tâm có trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10 môn Toán.

Các dạng bài tập về bất đẳng thức lớp 9 gồm 150 bài khác nhau được biên soạn với nhiều mức độ trong đó 50 câu có đáp án giải chi tiết kèm theo 100 câu tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về bất đẳng thức để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi sắp tới. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

150 Bài tập bất đẳng thức lớp 9 (Có đáp án)

Bài 1: Cho $a \geq 3$ $a \geq 3$, tìm giá trị nhỏ nhất của $\mathrm{S}=a+\frac{1}{a}$ $\mathrm{S}=a+\frac{1}{a}$

Gợi ý đáp án

$S=a+\frac{1}{a}=\frac{8 \mathrm{a}}{9}+\left(\frac{a}{9}+\frac{1}{a}\right) \geq \frac{24}{9}+2 \sqrt{\frac{a}{9} \cdot \frac{1}{a}}=\frac{10}{3}$ $S=a+\frac{1}{a}=\frac{8 \mathrm{a}}{9}+\left(\frac{a}{9}+\frac{1}{a}\right) \geq \frac{24}{9}+2 \sqrt{\frac{a}{9} \cdot \frac{1}{a}}=\frac{10}{3}$

Bài 2: Cho $a \geq 2,$ $a \geq 2,$ tìm giá trị nhỏ nhất của $\mathrm{S}=a+\frac{1}{a^2}$ $\mathrm{S}=a+\frac{1}{a^2}$

Gợi ý đáp án

$\mathrm{S}=a+\frac{1}{a^2}=\frac{6 \mathrm{a}}{8}+\left(\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^2}\right) \geq \frac{12}{8}+3 \sqrt[3]{\frac{a}{8} \cdot \frac{a}{8} \cdot \frac{1}{a^2}}=\frac{12}{8}+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$ $\mathrm{S}=a+\frac{1}{a^2}=\frac{6 \mathrm{a}}{8}+\left(\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^2}\right) \geq \frac{12}{8}+3 \sqrt[3]{\frac{a}{8} \cdot \frac{a}{8} \cdot \frac{1}{a^2}}=\frac{12}{8}+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$

Bài 3: Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}>0 và \mathrm{a}+b \leq 1$ $\mathrm{a}, \mathrm{b}>0 và \mathrm{a}+b \leq 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của $\mathrm{S}=a b+\frac{1}{a b}$ $\mathrm{S}=a b+\frac{1}{a b}$

Gợi ý đáp án

$\mathrm{S}=a b+\frac{1}{a b}=\left(a b+\frac{1}{16 \mathrm{a} b}\right)+\frac{15}{16 \mathrm{a} b} \geq 2 \sqrt{a b \frac{1}{16 \mathrm{a} b}}+\frac{15}{16\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=\frac{17}{4}$ $\mathrm{S}=a b+\frac{1}{a b}=\left(a b+\frac{1}{16 \mathrm{a} b}\right)+\frac{15}{16 \mathrm{a} b} \geq 2 \sqrt{a b \frac{1}{16 \mathrm{a} b}}+\frac{15}{16\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=\frac{17}{4}$

Bài 4: Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}>0$ $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}>0$ và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$ $a+b+c \leq \frac{3}{2}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}$ $S=\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}$

Gợi ý đáp án

Cách l:

$\begin{aligned} & S=\sqrt{a^2+\underbrace{\frac{1}{16 b^2}+\ldots+\frac{1}{16 b^2}}_{16}}+\sqrt{b^2+\underbrace{\frac{1}{16 c^2}+\ldots+\frac{1}{16 c^2}}_{16}}+\sqrt{c^2+\underbrace{\frac{1}{16 a^2}+\ldots+\frac{1}{16 a^2}}_{16}} \geq \\ & \geq \sqrt{17 \cdot \sqrt[17]{\frac{a^2}{16^{16} b^{32}}}}+\sqrt{17 \cdot \sqrt[13]{\frac{a^2}{16^{16} b^{32}}}}+\sqrt{17 \cdot \sqrt[17]{\frac{a^2}{16^{16} b^{32}}}}=\sqrt{17}\left[\sqrt[17]{\frac{a}{16^8 b^{16}}}+\sqrt[17]{\frac{b}{16^8 c^{16}}}+\sqrt[17]{\frac{c}{16^8 a^{16}}}\right] \geq \\ & \geq 3 \sqrt{17} \cdot \sqrt[17]{\frac{1}{16^8 a^5 b^5 c^5}}=\frac{3 \sqrt{17}}{2 \sqrt[11]{(2 a \cdot 2 b \cdot 2 c)^5}} \geq \frac{3 \sqrt{17}}{2 \sqrt[12]{\left(\frac{2 a+2 b+2 c}{3}\right)^{15}}} \geq \frac{3 \sqrt{17}}{2} \\ & \end{aligned}$ $\begin{aligned} & S=\sqrt{a^2+\underbrace{\frac{1}{16 b^2}+\ldots+\frac{1}{16 b^2}}_{16}}+\sqrt{b^2+\underbrace{\frac{1}{16 c^2}+\ldots+\frac{1}{16 c^2}}_{16}}+\sqrt{c^2+\underbrace{\frac{1}{16 a^2}+\ldots+\frac{1}{16 a^2}}_{16}} \geq \\ & \geq \sqrt{17 \cdot \sqrt[17]{\frac{a^2}{16^{16} b^{32}}}}+\sqrt{17 \cdot \sqrt[13]{\frac{a^2}{16^{16} b^{32}}}}+\sqrt{17 \cdot \sqrt[17]{\frac{a^2}{16^{16} b^{32}}}}=\sqrt{17}\left[\sqrt[17]{\frac{a}{16^8 b^{16}}}+\sqrt[17]{\frac{b}{16^8 c^{16}}}+\sqrt[17]{\frac{c}{16^8 a^{16}}}\right] \geq \\ & \geq 3 \sqrt{17} \cdot \sqrt[17]{\frac{1}{16^8 a^5 b^5 c^5}}=\frac{3 \sqrt{17}}{2 \sqrt[11]{(2 a \cdot 2 b \cdot 2 c)^5}} \geq \frac{3 \sqrt{17}}{2 \sqrt[12]{\left(\frac{2 a+2 b+2 c}{3}\right)^{15}}} \geq \frac{3 \sqrt{17}}{2} \\ & \end{aligned}$

Cách 2:

$\begin{aligned} & \mathrm{S}=\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}} \\ & \left(1^2+4^2\right)\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right) \geq\left(1 \cdot a+4 \cdot \frac{1}{b}\right)^2 \Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}} \geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\frac{4}{b}\right) \end{aligned}$ $\begin{aligned} & \mathrm{S}=\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}} \\ & \left(1^2+4^2\right)\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right) \geq\left(1 \cdot a+4 \cdot \frac{1}{b}\right)^2 \Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}} \geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\frac{4}{b}\right) \end{aligned}$

..........

Tải file tài liệu để xem thêm bài tập bất đẳng thức lớp 9

Chia sẻ bởi: